2023年中考数学二轮复习《直角三角形》中档题练习（含答案）

这是一份2023年中考数学二轮复习《直角三角形》中档题练习（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为( )
A.2 B.2eq \r(3) C.4 D.4eq \r(3)
2.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=( )2
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E.如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
4.郑萌用已知线段a，b(a＞b，且eq \r(2)b≠a)，根据下列步骤作△ABC，则郑萌所作的三角形是( )
步骤：
①作线段AB＝a；
②作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点O；以点O为圆心，AB为直径画⊙O；
③以点B为圆心，线段b的长为半径画弧，交⊙O于点C，连结BC，AC.
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
5.直角三角形的三边为a﹣b，a，a＋b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为( )
A.61 B.71 C.81 D.91
6.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝eq \f(3,5)BC,点F是AC边上一点.将ΔBCF沿直线BF翻折得到ΔBC'F，C'B交AC与点E.连接C'C，若C'F⊥AC，则CC′：BC′的比值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,5)eq \r(2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(2,5)eq \r(3)
7.赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)＝24，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.如图，一圆柱高8cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是( )
A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
9.如图，已知∠ABC＝60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE.
则下列结论：①BE＝AE；②BD＝AE；③AE＝2DE；④S△ABE＝S△CBE，其中正确的结论是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为( )
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.12 cm
11.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA＝CQ时，连结PQ交AC于D，则DE的长为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(2,5)
12.一个六边形的六个内角都是120°(如图)，连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是( )
A.13 B.14 C.15 D.16
二、填空题
13.等腰三角形一腰上的高线等于这条腰的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
14.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.则∠DFC＝ .
15.如图，AC＝4，点B是线段AC的中点，直线l过点C且与AC的夹角为60°，则直线l上有点P，使得∠APB＝30°，则PC的长为 ．
16.如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样的点C共 个．
17.如图，四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD＝CD，∠BCD＝∠CDA＝120°，则＝ ．
18.平面直角坐标系中的任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，x2)，把d(P1，P2)＝|x1﹣x2|＋|y1﹣y2|称为P1，P2两点间的直角距离．
(1)若点P1(1，2)，P2(3，4)，则d(P1，P2)＝ ；
(2)点M(2，3)到直线y＝x＋2上的点的最小直角距离是 ．
三、解答题
19.如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1.
(1)求证：AD=BE；
(2)求AD的长.
20.如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.
(1)求证：CD＝BE；
(2)若AB＝12，试求BF的长.
21.小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．
(1)如果AC＝6cm，BC＝8cm，可求得△ACD的周长为 ；
(2)如果∠CAD：∠BAD＝4：7，可求得∠B的度数为 ；
操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．

22.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220 km的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20 km，风力就会减弱一级.该台风中心正以15 km/h的速度沿北偏东30°方向往C处移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称受台风影响.该城市是否受到该台风的影响？请说明理由.
23.在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题.
如图(1)，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线(图(2))，问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′.
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求.
请你参考小华的做法解决下列问题.如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小.
(1)在图中作出点P(保留作图痕迹，不写作法).
(2)请直接写出△PDE周长的最小值： .
答案
1.C.
2.C
3.B.
4.C
5.C.
6.B.
7.C
8.D.
9.C
10.C.
11.A.
12.C.
13.答案为：30°或150°．
14.答案为：60°.
15.答案为：4或2．
16.答案为：4．
17.答案为：eq \f(4,3)．
18.答案为：4；1．
19.(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC.
又∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS).
∴∠ABE=∠CAD，BE=AD.
(2)∵∠BPQ=∠BAP＋∠ABE=∠BAP＋∠PAE=∠BAC=60°，
又∵BQ⊥PQ，
∴∠PBQ=30°.
∴PB=2PQ=6.
∴BE=PB＋PE=7.
∴AD=BE=7.2.
20.证明：(1)如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠DMF＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°＝∠CDM＝∠CMD，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD＝DM，
在△DMF和△EBF中，
，
∴△DMF≌△EBF(ASA)，
∴DM＝BE，
∴CD＝BE；
(2)∵ED⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC，
∴∠E＝∠BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°，
∴BE＝BF，DM＝FM，
又∵△DMF≌△EBF，
∴MF＝BF，
∴CM＝MF＝BF，
又∵AB＝BC＝12，
∴CM＝MF＝BF＝4.
21.解：操作一：(1)14 (2)35º
操作二：∵AC＝9cm，BC＝12cm，
∴AB＝15(cm)，
根据折叠性质可得AC＝AE＝9cm，
∴BE＝AB﹣AE＝6cm，
设CD＝x，则BD＝12﹣x，DE＝x，
在Rt△BDE中，由题意可得方程x2＋62＝(12﹣x)2，
解得x＝4.5，
∴CD＝4.5cm．
22.解：受到台风的影响.理由如下：
如解图，过点A作AC⊥BC于点C.
由题意，得AB＝220 km，∠ABC＝30°，
∴AC＝eq \f(1,2)AB＝110 km.
∵110÷20＝5.5，
∴12﹣5.5＝6.5＞4.
∴该城市受到该台风的影响.
23.解：(1)作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；
(2)∵点D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE为△ABC中位线，
∵BC＝6，BC边上的高为4，
∴DE＝3，DD′＝4，
∴D′E＝5，
∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E＝3+5＝8.