2022宁波三锋教研联盟高二下学期期中联考数学试题含解析

绝密★考试结束前2021学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考高二年级数学学科  试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，若，则等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求导，然后直接验证答案可得.【详解】因为，，，所以ACD错误，B正确.故选：B2. 函数的最小正周期是（    ）A. π B. 2π C. 3π D. 4π【答案】A【解析】分析】化简得出，即可求出最小正周期.【详解】，最小正周期故选：A.3. 曲线在点处的切线方程为A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【详解】设 ， ，曲线在点处的切线方程为 化为，故选B.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线，属于简单难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.4. 宁波某高中某次高二年级测试，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布，且，该校有500人参加此次测试，估计该校数学成绩不低于96分的学生人数为（    ）A. 60 B. 80 C. 100 D. 120【答案】C【解析】【分析】先求出，再由对称性得，再求人数即可.【详解】由题意知：，，则学生人数为人.故选：C.5. 已知是第四象限角，且，（    ）A. 7 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出、，再由两角和的正切公式计算可得；【详解】解：因为且，所以，又是第四象限角，所以，所以，所以；故选：D6. 定义在R上的函数的导函数为，且的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）
 A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值【答案】D【解析】【分析】先由函数图像得到在各区间上的正负，再判断单调性及极值即可.【详解】由图像知：当时，，当时，，当时，，则函数在区间上单调递增，A错误，B错误；函数在区间上单调递减，C错误；函数在单减，在上单增，在处取得极小值，D正确.故选：D.7. 甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，则四名同学所选项目各不相同且只有乙同学选篮球发生的概率（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由分步乘法计数原理可得总的选法，然后特殊元素优先排可得满足题意的选法，再由古典概型概率公式可得.【详解】四名同学从四种球类项目中选择一项，每人有4种选择，由分步乘法计数原理可得总的选法有种，由于乙同学选篮球，且四名同学所选项目各不相同，所以问题相当于将足球、排球、羽毛球三种球类项目分别分配给甲、丙、丁3位同学，共种，所以所求概率.故选：B8. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】依题意在上恒成立，根据二倍角公式得到，令，即，恒成立，参变分离可得，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；【详解】解：在区间上是增函数，在上恒成立，，因为，所以令，则，即，，，令，，则，在上单调递减，，即，故选：A．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. (多选)设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则（    ）A. P(AB)＝ B. P(AB)＝C. P(B)＝ D. P(B)＝【答案】AC【解析】【分析】【详解】P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，由P(A|B)＝，得P(B)＝＝×2＝.10. 下列说法正确的是（    ）A. 是第二象限角 B. 已知，则C.  D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为3【答案】ACD【解析】【分析】由终边相同角的性质判断A；由诱导公式判断B；由倍角公式判断C；由弧长公式得出半径，进而得出扇形面积.【详解】，是第二象限角，则是第二象限角，故A正确；，，故B错误；，故C正确；设扇形的半径为，则，则，故D正确；故选：ACD11. 的展开式中（    ）A. 常数项为8 B. 常数项为16 C. 的系数为32 D. 的系数为40【答案】BD【解析】【分析】由结合二项展开式求解即可.【详解】，常数项为，A错误，B正确；含的项为，则的系数为40，C错误，D正确.故选：BD.12. 已知函数在（0，+）上的最小值为3，直线l表达式为，则下列结论正确的是（    ）A. 实数 B. 当时，l是曲线的切线C. 存在直线l与曲线相切且与有2个公共点 D. 曲线与直线l可能有4个公共点【答案】AC【解析】【分析】对函数进行求导，通过导数判断函数的单调侏得时，取得最小值，进而可判断A;对B，判断方程是否有解；对C，利用导数的几何意义；对D，转化为三次方程的根的个数；【详解】对A，因为,因为,所以时，取得最小值，所以,所以.故A正确；对B，设切点为,又因为，所以切线满足斜率,方程无解，故B错误；对C，设切点，则，切线方程为，因为切线过点，所以，即，令，所以，令，，或；，所以在单调递增，在单调递减；，，所以，使得，所以，联立方程与可得：，，令，则，令或，则在单调递增，在单调递减，且，所以在仅有一个零点，故C正确；对D，方程在上至多有三个根，故D错误；故选：AC非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取4次，记摸得白球个数为X，若，则___________，____________．【答案】    ①. 4    ②. 【解析】【分析】先判断出，再由二项分布的期望方差公式求解即可.【详解】由题意知：，则，解得；.故答案为：4；.14. 设函数的导函数为，且，则___________．【答案】【解析】【分析】求导，将代入导函数可得，然后可得.【详解】因为所以，整理得所以所以.故答案为：15. 冬奥会首金诞生于短道速滑男女混合接力赛，赛后4位运动员依次接受采访，曲春雨要求不第1个接受采访，武大靖在任子威后接受采访（可以不相邻），则采访安排方式有__________种．【答案】9【解析】【分析】先考虑曲春雨，再结合倍缩法解决定序问题考虑剩下的3位选手，最后由分步计数原理求解即可.【详解】先考虑曲春雨，有3种采访安排，再考虑剩下的3位选手，武大靖在任子威后，有种，按照分步计数原理共有种.故答案为：9.16. 已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】先求函数的导函数，由条件是函数的唯一极值点，说明在上无解，或有唯一解 ，求实数的取值【详解】的定义域为 是函数的唯一极值点 是导函数的唯一根（Ⅰ）在无变号零点令 ，则 ，即在上单调递增此时 （Ⅱ）当 在有解 时，此时 ，解得 此时 在 和 上均单调递增，不符合题意故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知的二项式展开式的各项二项式系数和与各项系数和均为128，（1）求展开式中所有的有理项；（2）求展开式中系数最大的项．【答案】（1），    （2）或【解析】【分析】（1）根据二项式系数和性质，以及二项式系数和为，可得，解出，再由通项公式，再写出有理项；（2）由通项得出展开式中系数最大的项．【小问1详解】二项展开式的各二项式系数的和为，各项系数的和为由已知得，故，此时展开式的通项为：，当时，该项为有理项，故展开式中所有的有理项为，【小问2详解】展开式通项为，，故二项式系数最大时系数最大，即第或第项系数最大，即系数最大的项为，；18. 已知函数（1）求的值；（2）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）2    （2）最大值为3，最小值为.【解析】【分析】（1）先由倍角公式和辅助角公式得到，再代入计算即可；（2）先求出，再由正弦函数的最值求解即可.【小问1详解】
 ，则；【小问2详解】由得，则，则，即在区间上的最大值为3，最小值为.19. 已知函数，．（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当时，函数在上的最小值为2，求实数a的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）转换为恒成立问题即在上恒成立，进行求解即可；（2）求导可得，按照，进行讨论，由单调性求最值即可得解.【小问1详解】∵，∴∵在上是增函数，∴在上恒成立，即在上恒成立.∴.【小问2详解】由（1）得，.①若，在上恒成立，此时在上是增函数.所以，解得（舍去）.②若时，在上是减函数，在上是增函数.所以，解得综上，20. 某高中设计了一个生物实验考查方案：考生从5道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过，已知5道备选题中考生甲有3道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．【答案】（1）分布列见解析，期望均为；    （2）见解析【解析】【分析】（1）先求出甲正确完成的题目为1，2，3，乙正确完成的题目为0，1，2，3，分别计算对应的概率，列出分布列计算期望即可；（2）直接比较两人完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率即可做出判断.【小问1详解】设甲、乙两考生正确完成题数分别为，则，，则甲考生正确完成题数的概率分布列为：123数学期望；易得，，，则乙考生正确完成题数的概率分布列为：0123数学期望；【小问2详解】由（1）知：，从期望上看两人水平相当；，，因为，则甲通过的可能性要大于乙，因此可以判断甲的实验操作能力更强.21. 某高中调查暑假学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图：
 （1）求的值，并求高一、高二全体学生中随机抽取1人，该人每天锻炼时间超过40分钟的概率；（2）在高一、高二学生中各随机抽取1人，求至少有一人的锻炼时间小于30分钟的概率；（3）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取50人，其锻炼时间位于的人数，求X的数学期望．注：①计算得标准差；②若，则：，．【答案】（1），概率为；    （2）0.84；    （3）17.065【解析】【分析】（1）由频率和为1求出即可，直接由古典概型计算概率即可；（2）先分别求出在高一、高二学生中随机抽取1人，锻炼时间小于30分钟的概率，再由对立事件计算至少有一人的锻炼时间小于30分钟的概率即可；（3）先求出，再由二项分布期望公式求解即可.【小问1详解】，解得，该人每天锻炼时间超过40分钟的概率为；【小问2详解】设事件在高一学生中随机抽取1人，锻炼时间小于30分钟，事件在高二学生中随机抽取1人，锻炼时间小于30分钟，事件在高一、高二学生中各随机抽取1人，至少有一人锻炼时间小于30分钟，则，，则；【小问3详解】，又，则，从而，则，依题意知：，则.22. 已知函数，（1）讨论单调性；（2）构造函数若对于任意的，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；    （2）.【解析】【分析】（1）对函数求导，对a进行讨论，解导数不等式，即可得到函数单调性;（2）由题意可将原不等式变形为，构造函数，不等式可变为，求导判断函数的单调性，可得，通过分离参数，构造函数即可得到答案.【小问1详解】的定义域为，，当时，恒成立，则函数在上单调递增；当时，时，则：当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】，定义域为，则，即，由定义域知：，则不等式可变形，令，则不等式可变为，且，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，当时，趋向负无穷时趋向于0；当时恒成立，由，当时，同时也满足，当时，因为在上单调递增，只需满足，综上，原不等式要成立，只需成立，分离参数得在上恒成立，令，定义域为，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，当时有最小值，综上，实数a的取值范围.【点睛】关键点点睛：分类讨论研究函数的单调性以及利用导数研究函数的恒成立问题，关键是构造新函数,研究新函数的单调性以及分离参数进行解决.