2023届山东省淄博市高三下学期高考模拟考试（一模）数学试题含答案

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2023届山东省淄博市高三下学期高考模拟考试

数学

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的.

1.若集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.设复数，则（    ）

A.0 B.1 C.2 D.3

3.函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，得到函数的图象，只需将的图象（    ）

A.向左平移个单位  B.向右平移个单位

C.向左平移个单位  D.向右平移个单位

4.如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为2，若该几何体的表面积为20π，则其体积为（    ）

A. B. C. D.

5.某公园有如图所示至共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（    ）

A.168 B.336 C.338 D.84

6.已知中，，，，过点作垂直于点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

7.直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率为（    ）

A. B. C. D.

8.已知，，.其中为自然对数的底数，则（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.某学校为普及安全知识，对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（    ）

A.图中的值为0.016

B.估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间

C.该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人

D.该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80

10.已知函数，则（    ）

A.当时，在有最小值1

B.当时，图象关于点中心对称

C.当时，对任意恒成立

D.至少有一个零点的充要条件是

11.已知曲线的方程为（且)，，分别为与轴的左、右交点，为上任意一点(不与，重合)，则（    ）

A.若，则为双曲线，且渐近线方程为

B.若点坐标为，则为焦点在轴上的椭圆

C.若点的坐标为，线段与轴垂直，则

D.若直线，的斜率分别为，，则

12.如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，则（    ）

A.存在唯一点，使得

B.存在唯一点，使得直线与平面所成的角取到最小值

C.若，则三棱锥外接球的表面积为

D.若异面直线与所成的角为，则动点的轨迹是抛物线的一部分

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分

13.在二项式的展开式中，常数项是______.

14.若，，则______.

15.在平面直角坐标系中，已知点，直线与圆交于，两点，若为正三角形，则实数______.

16.已知函数若存在实数，满足，则的最大值是______.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知数列中，，.

(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；

(2)求数列的前项和

18.(12分)在中，角，，的对边分别是，，，满足

(1)求角；

(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.

19.(12分)某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出(万元)与年度销售量(万台)的数据，如表所示:

其中，

(1)若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程；

(2)若用模型拟合得到的回归方程为，经计算线性回归模型及该模型的分别为0.75和0.88，请根据的数值选择更好的回归模型拟合与的关系，选而计算出年度广告费为何值时，利的预报值最大？

参考公式：，；

20.(12分)已知多面体中，，且，，

(1)证明:；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值

21.(12分)已知抛物线：上一点到其焦点的距离为3，，为抛物线上异于原点的两点.延长，分别交抛物线于点，，直线，相交于点.

(1)若，求四边形面积的最小值；

(2)证明:点在定直线上.

22.(12分)已知函数和有相同的最小值.

(1)求的值；

(2)设.方程有两个不相等的实根，，求证:

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淄博市2022−2023学年度高三模拟考试

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.C；2.D；3.C；4.A；5.B；6.A；7.C；8.B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.BCD；10.AC；11.BD；12.BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.；14.；15.；16..

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）解：（1）因为，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列；

（4分得分点中解释了首项和公差得1分，“等差数列”得1分）

（2）由（1）知：

数列的通项公式为：，

则，（没有可得分）

①，

②，

①②得：

则

18.（12分）解：（1）由可得：，

由余弦定理知，，

因此.

（2）在中，由，得，

在中，由，可得，

所以；

在中，由，得，

解得，

，

，

因为，，

所以，

因此的最小值为.

另解：由，

可得

化简可得，即，

即，可得

因为，，由基本不等式可得，

所以的最小值为.

19.（12分）解：（1）

所以

关于的线性回归方程：

（2）因为，越大拟合效果越好，

选用回归方程更好，

，

即当时，时，利润的预报值最大

20.（12分）解证：（1）连接,，

在中，，，

可得，即,

同时，可得

同理可得

因为，，且平面，平面，

，

所以平面；

又因为平面，所以

（2）在中，易得，且，

所以，

同时，，

以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，如图所示

建立空间直角坐标系；

其中，，，，

，，

设向量为平面的法向量，

满足，

不妨取

直线与平面所成角的正弦值为：

21.（12分）解：（1）由抛物线定义可知，，解得，

即抛物线方程为

由题意，设，，直线的方程，

由，消去得，恒成立，

由韦达定理可知：，

故

因为，所以直线的方程为，

于是，

则（，即时等号成立）；

即四边形面积的最小值为.

（2）设，，，因为，，，都在上，

所以，

因为，，三点共线，所以有，

即，整理得：

同理，因为，，三点共线，可得

即，

解得：

由（1）可知，，代入上式可得：，

得，

即点在定直线上

22.（12分）解证：（1），

所以；

函数的定义域为，，

令解得，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以

因为函数和有相同的最小值，

所以

即

（2），

令，则，

所以即在上单调递增

因为，

所以

使，

于是在上单调递减，在上单调递增.

又，当时，

则当时

方程有两个不相等的实根，，

不妨设.

设，

则，

，

由即

得，

并代入上式，得

所以是减函数，

，即，

又由题意，得，

而，且在上单调递增，

所以即，又，故.