中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与平行四边形存在性问题（2份打包，教师版+原卷版）

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如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A(﹣1，0)、B两点，交直线l于点A、C(2，﹣3)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P是线段AC上的一个动点，过点P做PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
(4)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案解析】解：(1)把A(﹣1，0)、C(2，﹣3)分别代入y＝ax2＋bx﹣3，
得．解得．
故该抛物线解析式是y＝x2﹣2x﹣3；
(2)存在，理由如下：∵S△ABD＝S△ABC，C(2，﹣3)，
∴eq \f(1,2)AB•|yC|＝eq \f(1,2)AB•|yD|，即|yC|＝|yD|，
∴|yD|＝3，
∴yD＝3或yD＝﹣3．
∴D(0，3)或(0，﹣3)；
(3)由A(﹣1，0)、C(2，﹣3)得到直线AC解析式为y＝﹣x﹣1．
设点P的坐标为(m，﹣m﹣1)(﹣1≤m≤2)，则点E的坐标为(m，m2﹣2m﹣3)，
∴PE＝﹣m﹣1﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2＋m＋2＝﹣(m﹣eq \f(1,2))2＋eq \f(9,4)，
∵﹣1＜0，
∴当m＝eq \f(1,2)时，PE取最大值，最大值为eq \f(9,4)；
(4)存在．理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K(0，﹣3)，
∵C(2，﹣3)，
∴CK∥x轴，CK＝2，
当AC是平行四边形ACF1G1的边时，可得G1(﹣3，0)．
当AC是平行四边形AF1CG2的对角线时，AG2＝CK，可得G2(1，0)，
当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1±eq \r(7)，
∴F3(1﹣eq \r(7)，3)，F4(1＋eq \r(7)，3)，
由平移的性质可知G3(4﹣eq \r(7)，0)，G4(4＋eq \r(7)，0)．
综上所述，满足条件的点G的坐标为(﹣3，0)或(1，0)或(4﹣eq \r(7)，0)或(4＋eq \r(7)，0)．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于点A．直线y＝eq \f(1,2)x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求线段AB的长度；
(2)将抛物线W平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，与直线BC的一个交点为P，若以A、B、D、P为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，求平移后的抛物线表达式．
【答案解析】解：(1)在y＝x2﹣2x中，令y＝0得x2﹣2x＝0，
解得x＝0或x＝2，
∴A(2，0)，
在y＝eq \f(1,2)x﹣2中，令y＝0得eq \f(1,2)x﹣2＝0，解得x＝4，
∴B(4，0)，
∴AB＝4﹣2＝2；
答：线段AB的长度是2；
(2)设抛物线W：y＝x2﹣2x平移后表达式为y＝x2＋bx＋c，由题意知抛物线y＝x2＋bx＋c过D、P，
设D(0，m)，P(n，eq \f(1,2)n﹣2)，
又A(2，0)，B(4，0)，
①当AP、BD为平行四边形对角线时，AP、BD的中点重合，如图：
∴，解得，
∴D(0，﹣1)，P(2，﹣1)，
将D(0，﹣1)，P(2，﹣1)代入y＝x2＋bx＋c得：
，解得，
∴此时平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣1；
②当AD、BP为对角线时，AD、BP的中点重合，如图：
∴，解得，
∴D(0，﹣3)，P(﹣2，﹣3)，
将D(0，﹣3)，P(﹣2，﹣3)代入y＝x2＋bx＋c得：
，解得，
∴此时平移后的抛物线表达式为y＝x2＋2x﹣3；
综上所述，平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣1或y＝x2＋2x﹣3．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=x2＋bx＋c的图象经过A(﹣1，0)，C(0，﹣2)两点，将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2，平移后点A的对应点为点B．
(1)求抛物线C1与C2的函数表达式；
(2)若点M是抛物线C1上一动点，点N是抛物线C2上一动点，请问是否存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：(1)∵y＝x2＋bx＋c的图象经过C(0，﹣2)，
∴c＝﹣2，
将A(﹣1，0)代入y＝x2＋bx﹣2中，
解得b＝﹣1，
∴抛物线C1的函数表达式为y=x2﹣x﹣2=(x﹣eq \f(1,2))2﹣eq \f(9,4)，
∵将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2，
∴抛物线C2的函数表达式为y=x2-5x+4；
(2)存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形，理由如下：
∵点A(﹣1，0)向右平移2个单位得到点B，
∴B(1，0)，
∴AB＝2，
由题意知，以AB为边的平行四边形的面积为8，则MN∥AB，MN＝AB，AB边上的高为4，
∵抛物线C1：y=x2﹣x﹣2的顶点为(eq \f(1,2),﹣eq \f(9,4))，而4>eq \f(9,4)，
∴在x轴下方不存在满足条件的点M、N；
在C1：y=x2﹣x﹣2中，令y＝4，即x2﹣x﹣2＝4，解得x＝﹣2或x＝3，
∴M1(﹣2，4)或M2(3，4)，
在C2：y=x2﹣5x+4中，令y＝4，即x2﹣5x＋4＝4，解得x＝0或x＝5，
∴N1(0，4)或N2(5，4)．
综上所述，点M、N的坐标分别为M(﹣2，4)，N(0，4)或M(3，4)，N(5，4)．
如图1，抛物线y＝﹣eq \f(\r(3),3)x2﹣eq \f(2\r(3),3)x＋eq \r(3)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，过点B作直线BD∥直线AC，交抛物线y于另一点D，点P为直线AC上方抛物线上一动点．
(1)求线段AB的长．
(2)过点P作PF∥y轴交AC于点Q，交直线BD于点F，过点P作PE⊥AC于点E，求2eq \r(3)PE＋3PF的最大值及此时点P的坐标．
(3)如图2，将抛物线y＝﹣eq \f(\r(3),3)x2﹣eq \f(2\r(3),3)x＋eq \r(3)向右平移3个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线上一点，点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
【答案解析】解：(1)令﹣eq \f(\r(3),3)x2﹣eq \f(2\r(3),3)x＋eq \r(3)＝0，解得x＝1或x＝﹣3，
∴A(﹣3，0)，B(1，0)，
∴AB＝4；
(2)∵y＝﹣eq \f(\r(3),3)x2﹣eq \f(2\r(3),3)x＋eq \r(3)，
∴C(0，eq \r(3))，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得，
∴y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \r(3)，
∵AC∥BD，
∴直线BD的解析式为y＝eq \f(\r(3),3)x﹣eq \f(\r(3),3)，
设点P(t，﹣eq \f(\r(3),3)t2﹣eq \f(2\r(3),3)t＋eq \r(3))，则Q(t，eq \f(\r(3),3)t＋eq \r(3))，F(t，eq \f(\r(3),3)t﹣eq \f(\r(3),3))，
∵点P为直线AC上方，
∴PQ＝﹣eq \f(\r(3),3)t2﹣eq \f(2\r(3),3)t＋eq \r(3)﹣eq \f(\r(3),3)t﹣eq \r(3)＝﹣eq \f(\r(3),3)t2﹣eq \r(3)t，
PF＝﹣eq \f(\r(3),3)t2﹣eq \f(2\r(3),3)t＋eq \r(3)﹣eq \f(\r(3),3)t＋eq \f(\r(3),3)＝﹣eq \f(\r(3),3)t2﹣eq \r(3)t＋eq \f(4\r(3),3)，
∵OA＝3，OC＝eq \r(3)，
∴∠CAO＝30°，
∵PE⊥AC，PF⊥AO，
∴∠QPE＝30°，
∴PE＝eq \f(\r(3),2)PQ，
∴2eq \r(3)PE＋3PF＝3PQ＋3PF＝3(﹣eq \f(\r(3),3)t2﹣eq \r(3)t﹣eq \f(\r(3),3)t2﹣eq \r(3)t＋eq \f(4\r(3),3))
＝3(﹣eq \f(2\r(3),3)t2﹣2eq \r(3)t＋eq \f(4\r(3),3))＝﹣2eq \r(3)t2﹣6eq \r(3)t＋4eq \r(3)＝﹣2eq \r(3)(t＋eq \f(3,2))2＋eq \f(17,2)eq \r(3)，
∴当t＝﹣eq \f(3,2)时，2eq \r(3)PE＋3PF有最大值eq \f(17,2)eq \r(3)，此时P(﹣eq \f(3,2)，eq \f(5,4)eq \r(3))；
(3)∵y＝﹣eq \f(\r(3),3)(x＋1)2＋eq \f(4\r(3),3)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线向右平移3个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣eq \f(\r(3),3)(x﹣2)2＋eq \f(4\r(3),3)，
设M(m，﹣eq \f(\r(3),3)m2＋eq \f(4\r(3),3)m)，N(﹣1，n)，
①当AB为平行四边形的对角线时，
﹣3＋1＝m﹣1，0＝n﹣eq \f(\r(3),3)m2＋eq \f(4\r(3),3)m，
∴m＝﹣1，n＝eq \f(5\r(3),3)，
∴N(﹣1，eq \f(5\r(3),3))，M(﹣1，eq \f(5\r(3),3))；
②当AM为平行四边形的对角线时，
﹣3＋m＝1﹣1，﹣eq \f(\r(3),3)m2＋eq \f(4\r(3),3)m＝n，
∴m＝3，n＝eq \r(3)，
∴M(3，eq \r(3))，N(﹣1，eq \r(3))；
③当AN为平行四边形的对角线时，
﹣3﹣1＝1＋m，﹣eq \f(\r(3),3)m2＋eq \f(4\r(3),3)m＝n，
∴m＝﹣5，n＝﹣15eq \r(3)，
∴M(﹣5，﹣15eq \r(3))，N(﹣1，﹣15eq \r(3))；
综上所述：N点坐标为(﹣1，eq \r(3))或(﹣1，eq \f(5\r(3),3))或(﹣1，﹣15eq \r(3))．
在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(﹣2，0)、点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且过点(2，3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P为直线BC上方抛物线上(不与B、C重合)一动点，过点P作PD∥y轴，交BC于D，过点P作PE∥x轴，交直线BC于E，求PE＋DB的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线沿x轴向左平移1个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线y′上一点，点N为原抛物线对称轴上一点，当以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标，并写出求其中一个N点坐标的解答过程．
【答案解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(﹣2，0)和点(2，3)，
∴，解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣eq \f(3,8)x2＋eq \f(3,4)x＋3；
(2)∵y＝﹣eq \f(3,8)x2＋eq \f(3,4)x＋3，
令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)，
令y＝0，得﹣eq \f(3,8)x2＋eq \f(3,4)x＋3＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴B(4，0)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋d，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣eq \f(3,4)x＋3，
设P(m，﹣eq \f(3,8)m2＋eq \f(3,4)m＋3)(0＜m＜4)，延长PD交x轴于点F，如图1，
∵PD∥y轴，
∴D(m，﹣eq \f(3,4)m＋3)，F(m，0)，
∵PE∥x轴，
∴点E的纵坐标与点P的纵坐标相同，
∴﹣eq \f(3,8)m2＋eq \f(3,4)m＋3＝﹣eq \f(3,4)x＋3，
∴x＝eq \f(1,2)m2﹣m，
∴E(eq \f(1,2)m2﹣m，﹣eq \f(3,8)m2＋eq \f(3,4)m＋3)，
∴PE＝m﹣(eq \f(1,2)m2﹣m)＝﹣eq \f(1,2)m2＋2m，BF＝4﹣m，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，
∴cs∠CBO＝＝，
∵＝cs∠CBO＝，
∴DB＝eq \f(5,4)BF＝eq \f(5,4)(4﹣m)，
∴PE＋DB＝﹣eq \f(1,2)m2＋2m＋eq \f(5,4)(4﹣m)＝﹣eq \f(1,2)(m﹣eq \f(3,4))2＋，
∵﹣eq \f(1,2)＜0，
∴当m＝eq \f(3,4)时，PE＋DB的最大值为，此时P(eq \f(3,4)，)；
(3)∵y＝﹣eq \f(3,8)x2＋eq \f(3,4)x＋3＝﹣eq \f(3,8)(x﹣1)2＋，
∴抛物线y＝﹣eq \f(3,8)x2＋eq \f(3,4)x＋3对称轴为直线x＝1，顶点为(1，)，
将抛物线y＝﹣eq \f(3,8)x2＋eq \f(3,4)x＋3沿x轴向左平移1个单位得到新抛物线y′＝﹣eq \f(3,8)x2＋，
设M(t，﹣eq \f(3,8)t2＋)，N(1，n)，又A(﹣2，0)，C(0，3)，
①以MN、AC为对角线时，则MN与AC的中点重合，如图2，
∴，解得：，
∴N(1，3)；
②以MA、NC为对角线时，则MA与NC的中点重合，如图3，
∴，解得：，
∴N(1，﹣3)；
③以MC、NA为对角线时，则MC与NA的中点重合，如图4，
∴，解得：，
∴N(1，6)；
综上所述，点N的坐标为(1，3)或(1，﹣3)或(1，6)．
如图，直线l：y＝﹣eq \f(1,2)x＋1与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD∥x轴交l于点D，PE∥y轴交l于点E，求PD＋PE的最大值；
(3)设F为直线l上的点，点P仍在直线l下方的抛物线上，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
【答案解析】解：(1)∵直线y＝﹣eq \f(1,2)x＋1与x轴、y轴分别交于点B、C，
∴B(2，0)、C(0，1)，
∵B、C在抛物线解y＝x2＋bx＋c上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣eq \f(5,2)x＋1；
(2)设P(m，m2﹣eq \f(5,2)m＋1)，
∵PD∥x轴，PE∥y轴，点D，E都在直线y＝﹣eq \f(1,2)x＋1上，
∴E(m，﹣eq \f(1,2)m＋1)，D(﹣2m2＋5m，m2﹣eq \f(5,2)m＋1)，
∴PD＋PE＝﹣2m2＋5m﹣m＋[(﹣eq \f(1,2)m＋1)﹣(m2﹣eq \f(5,2)m＋1)]＝﹣3m2＋6m＝﹣3(m﹣1)2＋3，
∴当m＝1时，PD＋PE的最大值是3；
(3)能，理由如下：由y＝x2﹣eq \f(5,2)x＋1，令0＝x2﹣eq \f(5,2)x＋1，解得：x＝2或x＝eq \f(1,2)，
∴A(eq \f(1,2)，0)，B(2，0)，∴AB＝eq \f(3,2)，
若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，
①当以AB为边时，则AB∥PF1且AB＝PF1，
设P(a，a2﹣eq \f(5,2)a＋1)，则F1(﹣2a2＋5a，a2﹣eq \f(5,2)a＋1)，
∴|﹣2a2＋5a﹣a|＝eq \f(3,2)，
解得：a＝eq \f(3,2)或a＝eq \f(1,2)(与A重合，舍去)或a＝1﹣eq \f(\r(7),2)(舍)或a＝1＋eq \f(\r(7),2)(舍去)，
∴F1(3，﹣eq \f(1,2))；
②当以AB为对角线时，连接PF2交AB于点G，则AG＝BG，PG＝F2G，
设G(m，0)，
∵A(eq \f(1,2)，0)，B(2，0)，
∴m﹣eq \f(1,2)＝2﹣m，
∴m＝eq \f(5,4)，
∴G(eq \f(5,4)，0)，
作PM⊥AB于点M，F2N⊥AB于点N，则NG＝MG，PM＝FN，
设P(b，b2﹣eq \f(5,2)b＋1)(0＜b＜2)，则F2(2b2﹣5b＋4，﹣b2＋eq \f(5,2)b﹣1)，
∴eq \f(5,4)﹣b＝2b2﹣5b＋4﹣eq \f(5,4)，解得：b＝eq \f(3,2)或b＝eq \f(1,2)(与A重合，舍去)，
∴F2(1，eq \f(1,2))，
综上所述，以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形．
此时点F的坐标为F(3，﹣eq \f(1,2))或F(1，eq \f(1,2))．
如图，抛物线y＝﹣x2＋6x﹣5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线为y＝x﹣5．
(1)写出相应点的坐标：A ，B ，C ；
(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大，并求出最大值．
(3)过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N(不与点B、C重合)作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
【答案解析】解：(1)令﹣x2＋6x﹣5＝0，
解得x＝1或x＝5，
∴A(1，0)，B(5，0)，
令x＝0，则y＝﹣5，
∴C(0，﹣5)，
故答案为：(1，0)，(5，0)，(0，﹣5)；
(2)由题意可知0≤t≤4，
∵P点以每秒1个单位的速度向B运动，
∴P点坐标为(1＋t，0)，
∵OB＝OC＝5，
∴∠OBC＝45°，
∵E点以每秒2个单位的速度向C运动，
∴E点坐标为(3﹣eq \r(2)t，﹣eq \r(2)t)，
∴S△PBE＝eq \f(1,2)×(4﹣t)×(eq \r(2)t)＝﹣eq \f(\r(2),2)t2＋2eq \r(2)t＝﹣eq \f(\r(2),2)(t﹣2)2＋2eq \r(2)，
∴当t＝2时，△PBE的面积最大为2eq \r(2)；
(3)∵∠ABC＝45°，AM⊥BC，AB＝4，
∴AM＝2eq \r(2)，
过点M作ME⊥x轴交于点E，
∵∠BAM＝45°，
∴M(3，﹣2)，
设直线AM的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得，
∴y＝﹣x＋1，
∵AM∥NQ，
∴直线NQ的解析式为y＝﹣x＋b'，
设N(m，﹣m2＋6m﹣5)，
∴b'＝﹣m2＋7m﹣5，
∴y＝﹣x﹣m2＋7m﹣5，
联立方程组，解得，
∴Q(，﹣5)，
①当AM为平行四边形的对角线时，1＋3＝m＋，解得m＝1(舍)或m＝8，
此时MA的中点为(2，﹣1)，NQ的中点为(2，﹣8)，
∴此时不构成平行四边形；
②当AN为平行四边形的对角线时，
1＋m＝3＋，解得m＝；
③当AQ为平行四边形的对角线时，
1＋＝3＋m，解得m＝1(舍)或m＝4；
综上所述：N点的横坐标为4或．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，与直线y＝﹣x＋3交于点B、C(0，n)．
(1)求点C的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求该抛物线的表达式；
(3)点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t．若平移BC使点B与P重合，求点C的对应点C′的坐标(用含t的代数式表示)；若点Q在抛物线上，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，求点P的坐标．
【答案解析】解：(1)把C(0，n)代入y＝﹣x＋3得：n＝3，
∴C(0，3)，
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，
答：C(0，3)，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1；
(2)把A(﹣1，0)、B(3，0)，C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c得：
，解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3；
(3)∵点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t，
∴P(1，t)，
∵平移BC使点B与P重合，B(3，0)，
∴C(0，3)的对应点C'坐标为(﹣2，3＋t)，
设Q(m，﹣m2＋2m＋3)，
①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，如图：
∴，解得，
∴P(1，﹣2)；
②当PQ∥BC，BP∥CQ时，BQ中点即为CP中点，如图：
∴，解得，
∴P(1，﹣8)，
综上所述，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，P的坐标为(1，﹣2)或(1，﹣8)．
在平面直角坐标系xOy中，对于二次函数y＝﹣x2＋2mx﹣m2＋4(m是常数)，当m＝1时，记二次函数的图象为C1；m≠1时，记二次函数的图象为C2．如图1，图象C1与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C；如图2，图象C2与x轴交于D、E两点(点D在点E的左侧)．
(1)请直接写出点A、B、C的坐标；
(2)当点O、D、E中恰有一点是其余两点组成线段的中点时，m＝ ；
(3)如图3，C2与C1交于点P，当以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
【答案解析】解：(1)当m＝1时，y＝﹣x2＋2x＋3，
令y＝0则﹣x2＋2x＋3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，
令x＝0则y＝3，
∴C(0，3)；
(2)令﹣x2＋2mx﹣m2＋4＝0，解得x＝m﹣2或x＝m＋2，
∴D(m﹣2，0)，E(m＋2，0)，
①当O为中点时，m﹣2＋m＋2＝0，∴m＝0；
②当D为中点时，2(m﹣2)＝m＋2，解得m＝6；
③当E为中点时，2(m＋2)＝m﹣2，解得m＝﹣6；
综上所述：m的值为0或6或﹣6，
故答案为：0或6或﹣6；
(3)联立方程组，
A(﹣1，0)，C(0，3)；D(m﹣2，0)，
解得x＝，∴P点的横坐标为，∴P(，)，
①当AC为平行四边形的对角线时，﹣1＝m﹣2＋，3＝，
此时m无解；
②当AD为平行四边形的对角线时，﹣1＋m﹣2＝，0＝3＋，
此时无解；
③当AP为平行四边形的对角线时，﹣1＋＝m﹣2，＝3，
解得m＝3；
综上所述：m的值为3．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx﹣3(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(﹣1，0)，连接BC，OB＝2OC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P坐标；
(3)如图2，将抛物线水平向左平移4个单位得到新抛物线y'；点D是新抛物线y'上的点且横坐标为﹣3，点M为新抛物线y'上一点，点E、F为直线AC上的两个动点，请直接写出使得以点D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点M的横坐标，并把求其中一个点M的横坐标的过程写出来．
【答案解析】解：(1)令x＝0，则y＝﹣3，
∴C(0，﹣3)，
∴OC＝3，
∵OB＝2OC，
∴OB＝6，
∴B(6，0)，
将B、C点代入y＝ax2＋bx﹣3，
∴，解得，
∴y＝eq \f(1,2)x2﹣eq \f(5,2)x﹣3；
(2)设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
，解得，
∴y＝eq \f(1,2)x﹣3，
∴设P(t，eq \f(1,2)t2﹣eq \f(5,2)t﹣3)，则Q(t，eq \f(1,2)t﹣3)，
∴PQ＝﹣eq \f(1,2)t2＋3t，
∵CO＝3，BO＝6，
∴BC＝3eq \r(5)，
在Rt△ABC中，sin∠BCO＝eq \f(2\r(5),5)，cs∠BCO＝eq \f(\r(5),5)，
∵PQ∥CO，
∴∠HQP＝∠OCB，
∴sin∠HQP＝eq \f(2\r(5),5)，cs∠HQP＝eq \f(\r(5),5)，
∴HP＝eq \f(2\r(5),5)PQ，HQ＝eq \f(\r(5),5)PQ，
∴△PHQ周长＝HP＋PQ＋HQ
＝(1＋eq \f(3\r(5),5))PQ＝(1＋eq \f(3\r(5),5))(﹣eq \f(1,2)t2＋3t)＝(1＋eq \f(3\r(5),5))[﹣eq \f(1,2)(t﹣3)2＋eq \f(9,2)]，
∵点P是直线BC下方，
∴0＜t＜6，
∴当t＝3时，△PHQ周长有最大值＋eq \f(9,2)，
此时P(3，﹣6)；
(3)∵y＝eq \f(1,2)x2﹣eq \f(5,2)x﹣3＝eq \f(1,2)(x﹣eq \f(5,2))2﹣，
∴平移后的函数解析式为y'＝eq \f(1,2)(x＋eq \f(3,2))2﹣＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x﹣5，
∴D(﹣3，﹣5)，
设M(m，﹣eq \f(1,2)m2＋eq \f(3,2)m﹣5)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
，解得，
∴y＝﹣3x﹣3，
设E(x1，﹣3x1﹣3)，F(x2，﹣3x2﹣3)，
①以EF为平行四边形的对角线时，
．解得m＝或m＝，
∴M(，)或(，)；
②以EM为平行四边形的对角线时，
，解得m＝﹣3(舍)或m＝﹣6，
∴M(﹣6，4)；
③以ED为平行四边形的对角线时，
，解得m＝﹣3(舍)或m＝﹣6，
∴M(﹣6，4)；
综上所述：M点坐标为(，)或(，)或(﹣6，4)．