2023年广东省佛山市禅城区中考一模数学试卷(含答案)

2023年九年级模拟考试（一）

数学

说明：本卷分第Ⅰ卷（选择题10道题）和第Ⅱ卷（非选择题13道题）两部分，共4页，满分120分，考试时间90分钟.

注意：1.试卷的选择题和非选择题都在答题卷上作答，不能作答在试卷上.

2.要作图或画表，要先铅笔进行画线、绘画，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列四个实数中，最小的实数是（    ）

A. B.0 C.0.999 D.1

2.数据显示，中国已实现“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，全国冰雪运动参与人数达到3.46亿人.数据“3.46亿”用科学记数法表示是（    ）

A. B. C. D.

3.下列运算正确的是（    ）

A. B. C. D.

4.我国民间流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示人们对美好生活的向往、良辰佳节的祝贺。例如下列四个春节常见的喜庆图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ）

A. B. C. D.

5.如图所示，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数为（    ）

A. B. C. D.

6.用一平面去截如图所示的四个几何体，其截面可能是长方形的有（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7.下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛的成绩（平均数和方差）：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则选择________较适宜；

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

8.其环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分。在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了________道题。

A.17 B.18 C.19 D.16

9.如图所示，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为（    ）

A. B. C. D.

10.已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（    ）

A.①②③④ B.②③④ C.②④ D.②③

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分，把正确答案填在答题卡上）

11.因式分解________；

12.若两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比是________；

13.若实数，满足，则的值是________；

14.如图所示，创新小组要测量公园内一棵树的高度，其中一名小组成员站在距离树10米的点处，用测角仪测得树顶的仰角为，已知测角仪的架高米，则这棵树的高度为________米；

15.如图所示，等边的边长为4，点在内运动，运动过程始终保持，则线段的最小值为________.

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）.

16.先化简，再求值：，其中，

17.如图所示，菱形中，点、分别是边、上的点，，，连接、，延长交线段延长线于点；

（1）求证：；

（2）若菱形边长为6，则线段的长是________；

18.为落实中小学课后服务工作的要求，某校开设了四门校本课程供学生选择：（合唱社团）、（陶艺社团）、（数独社团）、（硬笔书法），七年级共有120名学生选择了课程。为了解选择课程学生的学习情况，张老师从这120名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制，单位：分）分成六组，绘制成频数分布直方图.

（1）80~90分这组的数据为：81、89、84、84、84、86、85、88、83，则这组数据的中位数是________分、众数是________分；

（2）根据题中信息，可以估算七年级选择课程的学生成绩在70~90分的人数是________人；

（3）七年级每名学生必须选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，第一门都选了课程.他俩决定随机选择第二门课程，请用列表法或树状图的方法求他俩同时选到课程或课程的概率.

四、解答题（二）（本大题3小题，每题9分，共27分）.

19.我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？

（1）求甲、乙两人各带的钱数；

（2）若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本。由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？

20.如图所示，是的直径，为的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点，连接.若.

（1）求证：为的切线；

（2）求图中阴影部分的面积.

21.如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点；

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在轴上找一点使最大，求这个最大值及点的坐标；

（3）直接写出当时，的取值范围；

五、解答题（三）（本大题2小题，每题12分，共24分）.

22.数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的，数学知识往往起源于人们为了解决某些问题，通过观察、测量、思考、猜想出的一些结论。但是所猜想的结论不一定都是正确的。人们从已有的知识出发，经过推理、论证后，如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理.

（1）推理证明：

在八年级学习等腰三角形和直角三角形时，借助工具测量就能够发现：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，当时并未说明这个结论的正确性。九年级学习了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了。如图1，在中，若是斜边上的中线，则，请你用矩形的性质证明这个结论的正确性。

（2）迁移运用：利用上述结论解决下列问题：

①如图2，在线段异侧以为斜边分别构造两个直角三角形与，、分别是、的中点，判断与的位置关系并说明理由；

②如图3，对角线、相交于点，分别以、为斜边且在同侧分别构造两个直角三角形与，求证：是矩形；

23.如图，抛物线经过，，三点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线下方的抛物线上有一点，使得的面积最大，求点的坐标以及的面积的最大值.

（3）点是抛物线上一个动点，过作轴于，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由；

2023年九年级模拟考试（一）

数学试题评分标准

提醒：评卷前请务必做一次，在题组长的协调下统一标准再评！！

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

11. 12. 13.5 14.11.2 15.

三、解答题（一）

16.解：原式……………………3分（每化对一项给1分）

……………………………………4分

…………………………………………………………5分

当，时，

原式.…………………………………………8分

17.（1）证：∵四边形为菱形，……………………………………1分

∴，…………………………………………2分

，……………………………………………………3分

∵，，

∴，………………………………………………4分

∴，…………………………………………5分

（2）3……………………………………………………8分

18.（1）84，84…………………………2分

（2）64……………………………………4分

（3）七年级每名学生必须选两门不同的课程，第一门都选了课程

∴第二门课程选择、、的可能性相同………………………………5分

列树状图如下：

∴一共有9种可能性相同的结果………………………………6分

其中，第二门课程选择、的结果有2种，分别是、……………………7分

∴（他们同时选到课程或课程）……………………………………8分

四、解答题（二）

19.（1）解设甲带的钱数是，乙带的钱数是；………………………………1分

依题意得：…………………………………………………………3分

解得……………………………………………………………………4分

∴甲带的钱数是37.5，乙带的钱数是25；……………………………………5分

（2）∵

∴两人起来能购买31本作业本…………………………………………6分

而单独购买甲可以购买作业本数为：，

单独购买乙可以购买作业本数为：………………………………7分

∴

∴合起来购买可以比单独购买多6本作业本.……………………………………8分

20.（1）证明：如图，连接，

∵为的切线，

∴，

设为，则

∵，

∴，

∴

∴

∵

∴

∴

∵是的半径

∴为的切线；………………………………………………5分

（2）解：∵，，，

由勾股定理得：，

∵

∴

∴

∴阴影部分的面积

.………………………………………………9分

21.解：（1）把代入，

可得，

∴反比例函数的解析式为；…………………………2分

把点代入得，

可得，

∴.

把，代入，

可得，

解得，

∴一次函数的解析式为；…………………………………………4分

（2）当，，三点共线时，

最大，

∴一次函数与轴的交点就是满足条件得点

∵，令，则，

∴，

令，则，

∴，

∴.…………………………………………7分

（3）或.………………………………………………9分

五、解答题（三）

22.解：证明：

（1）如图，延长至点，使，连接、，

∵，点为中点，

∴四边形为平行四边形，

∵，

∴是矩形，

∴，

∵，

∴；…………………………………………………………4分

（2）.理由如下：

连接、，

∵与的斜边为

∴，

∵为中点，

∴，

∵是中点，

∴；………………………………………………8分

（3）连接，中，

∴点为、中点，

∵与的斜边为、

∴，

∴，，

∴，

∴是矩形.…………………………………………12分

23.解：（1）∵该抛物线过点，

设该抛物线的解析式为.

将，代入，

得，

解得，

∴此抛物线的解析式为.…………………………4分

（2）如图，设点的坐标为

过作轴的平行线交于.

由题意可求得直线的解析式为.

∴点的坐标为.

∴

.

∴

.

∴当时，面积最大值是4.

∴此时.…………………………………………8分

（3）满足条件的点的坐标为，，，.………………………………12分