2023年陕西省铜川市中考数学一模试卷(含解析）

2023年陕西省铜川市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的倒数为(    )A.  B.  C.  D. 2.  如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于(    )A.
B.
C.
D. 3.  下列计算不正确的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  如图，、是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  如图，在中，为斜边上的中线，过点作，连接、，若，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 6.  如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元方程组的解是(    )
A.  B.  C.  D. 7.  下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值： 下列选项中，正确的是(    )A. 这个函数的开口向下 B. 这个函数的图像与轴无交点
C. 当时，的值随的增大而减小 D. 这个函数的最小值小于二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）8.  计算：______．9.  已知、、在数轴上的位置如图所示，化简：        ．
 10.  古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比约是黄金分割比．著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人的身体满足上述黄金分割比，且身高为，则此人的肚脐到足底的长度约是______精确到．11.  在平面直角坐标系中，等腰直角如图放置，其中，直角顶点在反比例函数的图象上，若，则______．
12.  中国结象征着中华民族的历史文化与精神，小贤家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于点，，则的长为        ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）13.  化简：四、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）14.  本小题分
计算：．15.  本小题分
解不等式组：．16.  本小题分
如图，已知，，是的一个外角．
请用尺规作图法，求作射线，使保留作图痕迹，不写作法
17.  本小题分
如图，在中，，，于点，且求证：≌．
18.  本小题分
如图，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，且点的对应点是，点、的对应点分别是、．
点、之间的距离是______；
请在图中画出．
19.  本小题分
保护环境，人人有责，某校为培养学生“垃圾分类，从我做起”的环保意识，组织开展“游戏互动”、“趣味问答”、“模拟投放”三项活动分别以、、来依次表示这三项活动活动开始前，将，，这三个字母分别写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小南同学先从中随机抽取一张卡片放回后洗匀，小晶同学从中再随机抽取一张卡片．
求小南抽到参加“趣味问答”活动的概率；
用列表法或画树状图法，求小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的概率．20.  本小题分
已知有一块三角形材料，其中，高，现需要在三角形上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形的顶点、分别在边，上，、在上，裁下的正方形的边长是多少？
21.  本小题分
如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值．输入输出根据以上信息，解答下列问题：
当输入的值为时，输出的值为______；
求，的值；
当输出的值为时，求输入的值．
22.  本小题分
阳光中学积极开展课后延时服务活动，提供了“有趣的生物实验，虚拟机器人竞赛，国际象棋大赛，趣味篮球训练，经典影视欣赏”等课程供学生自由选择一个学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“非常满意；比较满意；基本满意；不满意”四个等级绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：
该校抽样调查的学生人数为        人，请补全条形统计图；
样本中，学生对课后延时服务满意情况的“中位数”所在等级为        ，“众数”所在等级为        ；填“，，或”
若该校共有学生人，估计全校学生对课后延时服务满意的包含，，三个等级有多少人？23.  本小题分
如图，是的直径，是的切线，、是的弦，且，垂足为，连接并延长，交于点．
求证：；
若的半径，，求线段的长．
24.  本小题分
如图，的半径为，，点为上任意一点，则的最小值为        ．
如图，已知矩形，点为上方一点，连接，，作于点，点是的内心，求角的度数．
如图，在的条件下，连接，，若矩形的边长，，，求此时的最小值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
的倒数为．
故选C．
直接根据倒数的定义即可得出结论．
本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是的两数互为倒数是解答此题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：如图：

，
，
．
故选：．
根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可．
本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：，故选项A计算正确；
B.，故选项B计算正确；
C.，故选项C计算正确；
D.，故选项D计算不正确．
故选：．
利用单项式除以单项式法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则逐个计算，根据计算结果得结论．
本题考查了整式的混合运算，掌握单项式乘单项式、单项式除以单项式、积的乘方法则是解决本题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：、、、分别为、、、的中点，
，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
当时，，则四边形为矩形，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，，，，，得到四边形为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定定理是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：在中，为斜边上的中线，，
，
，，
，
故选：．
先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，再利用勾股定理求出的长即可．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，正确求出是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：把代入得，
解得，即点坐标为，
所以二元一次方程组的解为．
故选：．
先利用直线确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到答案．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
 7.【答案】 【解析】解：抛物线经过点，，
抛物线对称轴为直线，
抛物线经过点，
当时，随增大而减小，
抛物线开口向上，且跟轴有交点，故A，B错误，不符合题意；
时，随增大而增减小，故C错误，不符合题意；
由对称性可知，在处取得最小值，且最小值小于故D正确，符合题意．
故选：．
根据抛物线经过点，可得抛物线对称轴为直线，由抛物线经过点可得抛物线开口向上，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 8.【答案】 【解析】解：原式，
故答案为：．
根据零指数幂和负整数指数幂的运算性质进行计算即可．
本题考查零指数幂、负整数指数幂，掌握零指数幂、负整数指数幂的运算性质是正确计算的前提．
 9.【答案】 【解析】解：由数轴可得，
，，，
原式

．
故答案为：．
先根据数轴上各点的位置确定、、的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可．
本题考查的是绝对值的性质及数轴的特点，根据数轴上各点的位置对、、的符号作出判断是解答此题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：设此人的肚脐到足底的长度为，则人体的头顶到肚脐的长度为，
由题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
此人的肚脐到足底的长度约是，
故答案为：．
设此人的肚脐到足底的长度为，则人体的头顶到肚脐的长度为，然后根据黄金分割的定义可得得：，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，近似数和有效数字，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：如图，过点作轴于点，

是等腰直角三角形，且，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
点在反比例函数的图形上，
．
故答案为：．
过点作轴于点，根据“三线合一”及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，则，又点在反比例函数的图象上，代入即可．
本题主要考查反比例函数上的点的性质，等腰直角三角形的性质等，利用等腰直角三角形的性质作出正确的辅助线是解题关键．
 12.【答案】 【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
垂直，
，
，
，
故EF的长为，
故答案为：．
根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 13.【答案】解：原式

． 【解析】先算括号内的减法，再算乘法即可．
本题考查了分式的混合运算，掌握运算法则是解此题的关键．
 14.【答案】解：原式
． 【解析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 15.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为． 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 16.【答案】解：如图，射线即为所求． 【解析】利用尺规作图作出的平分线，得到射线．
本题考查的是尺规作图、平行线的判定，能够利用基本尺规作图作出已知角的角平分线是解题的关键．
 17.【答案】证明：，，
，
，
，
在和中，
，
≌． 【解析】由垂直的定义可知，，由平行线的性质可得，，进而由可得结论．
本题主要考查全等三角形的判定，垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础．
 18.【答案】解：；
如图所示，即为所求．
 【解析】解：，，
点、之间的距离是，
故答案为：；
如图所示，即为所求．
根据两点间的距离公式即可得到结论；
根据平移的性质作出图形即可．
本题考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质．
 19.【答案】解依题意知抽到参加“趣味问答”的概率为；
树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的结果有种，
小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的概率为． 【解析】直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了用树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 20.【答案】解：正方形的边在上，
，
∽，
是的高，
，
设，则，
，
解得：，
这个正方形零件的边长为． 【解析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出边长．
本题主要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
 21.【答案】 【解析】解：当输入的值为时，输出的值为，
故答案为：；
将代入得，
解得；
令，
由得，
舍去，
由，得，
，
输出的值为时，输入的值为．
把代入，即可得到结论；
将代入解方程即可得到结论；
解方程即可得到结论．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键．
 22.【答案】     【解析】解：校抽样调查的学生人数为为人，
则等级的人数为人，
补充统计图如图所示，

解：根据题意，中位数为第，个数的平均数，在等级，等级人数最多，则众数在等级
样本中，学生对课后延时服务满意情况的“中位数”所在等级为，
“众数”所在等级为，
故答案为：，；
人，
答：估计全校学生对课后延时服务满意的包含，，三个等级有人．
用等级的人数除以占比得出总人数，进而得出等级的人数，并补充统计图；
根据中位数与众数的定义即可求解；
用样本估计总体，用乘以，，等级的人数的占比即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 23.【答案】证明：是的切线，
，
，
，
，
，
．
解：如图，连接，
是直径，
，
，，
，
，
，
，
，，
，

∽，
，
，
．
故答案为：． 【解析】根据平行线的判定和切线的性质解答即可；
通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可．
本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．
 24.【答案】 【解析】解：当、、三点共线，且点在线段上时，有最小值，最小值为：，
故答案为：；
，
，
，
点是的内心，
，
，
；
如图，作的外接圆，连接，，，
过作，交的延长线于，

设的半径为，
由可知的最小值为：，
点是的内心，
，
，，
≌，
，
优弧所对的圆周角为，
，
又，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由作图可知，，
，
，
，
，
故C的最小值为：．
当、、三点共线，且点在线段上时，有最小值；
点是的内心，故有，利用三角形内角和定理即可求解；
如图，作的外接圆，连接，，，过作，交的延长线于，设的半径为，由可知的最小值为：，由易证优弧所对的圆周角为，即，结合已知解直角三角形得；同理求出和即可解决．
本题考查了线段的加减、三角形内角和、内心及角平分线的性质、圆周角定理、勾股定理、解直角三角形；解题的关键掌握内心的概念，构造三角形外接圆模型．