2023届山东省德州市高三上学期期末数学试题含解析

这是一份2023届山东省德州市高三上学期期末数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届山东省德州市高三上学期期末数学试题

一、单选题
1．已知集合，，那么“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先化简集合，再根据集合的包含关系及充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由可得，即，所以，
由可得，解得，所以，
因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．已知复数z满足3z－1＝（z＋2）i，则z＝（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】复数，代入已知等式，利用复数相等求解未知数.
【详解】设复数，代入，有，
则，解得，∴.
故选：D
3．函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（    ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由的值依次求出的值，然后根据函数的性质确定，得函数解析式，计算函数值．
【详解】，，，代入分别是，
在定义域内，即是偶函数，因此取值或0，
时，在上不是减函数，
只有满足，此时，，
．
故选：B．
4．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是，则制作这样一个粮仓的用料面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆锥的母线为，底面半径为，高为，根据题意列出方程求出的值，再计算圆柱和圆锥侧面积之和即可求解.
【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为，则，，解得：，
所以.
圆柱体的侧面积为，
所以制作这样一个粮仓的用料面积为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用圆锥的侧面积和母线长求出圆锥和圆柱底面圆的半径，再利用母线和底面半径求出圆锥的高，进而求出圆柱的高，再计算两个几何体侧面积之和即可.
5．已知菱形的边长为，菱形的对角线与交于点，，点是线段上靠近的三等分点，则在上的投影向量的模长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据数量积定义和题干条件算出菱形的四个内角，然后直接利用投影向量的模长公式计算.
【详解】菱形对角线相互垂直，即，根据数量积的定义，，故，即，又为锐角，则，根据投影向量的模长公式，在上的投影向量的模长为：，依题意，，即，故，于是，即投影向量的模长为.

故选：B
6．曲线上有两个不同动点，动点到的最小距离为，点与和的距离之和的最小值为，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对于可直接利用两点间的距离公式结合二次函数进行求解，对于可利用抛物线的性质，结合图象观察发现取得最值时的的位置进行求解.
【详解】设，则，结合关系式可变形为：，当，即动点坐标为时，取到最小距离，即；
由题知，曲线为抛物线在第一象限的部分以及原点，其焦点为，准线为，设，过作准线，垂足为，根据抛物线定义，，过作准线，垂足为，交抛物线于，当在运动时，结合下图可知，，当运动到时取得等号，即的最小值为.故.
故选：C

7．已知，，，其中a，b，，则（    ）
A．c 【答案】B
【分析】构造函数利用导数讨论单调性结合题设即可比较大小.
【详解】构造函数，
令解得，令解得，
所以在单调递减，单调递增，
因为，所以即，
所以，
因为，所以即，
所以，
因为，所以，即，
即，
因为在单调递增，
所以，所以，
所以，又因为在单调递减，
且 a，b，，所以，
故选：B.
8．已知函数f（x）＝sinx的图像与直线恰好有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为，，则的值为（    ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
【答案】A
【分析】注意到过定点，该点为f（x）＝sinx的对称中心，则，.又恰好有3个交点，则直线为f（x）＝sinx在处切线，则，据此可得答案.
【详解】，得直线过定点，
该点为f（x）＝sinx的对称中心，则，.
得，.
又恰好有3个交点，则直线为f（x）＝sinx在处切线，则.
又，
则.
故选：A

二、多选题
9．已知定义在上的奇函数图象连续不断，且满足，则下列结论正确的是（    ）
A．函数的周期T＝2 B．
C．在上有4个零点 D．是函数图象的一个对称中心
【答案】ABD
【分析】首先判断函数的周期，再根据函数的周期和奇函数的性质，计算特殊值，并结合中心对称的性质，判断选项.
【详解】A.因为函数满足，所以函数是周期函数，周期，故A正确；
B.因为函数是定义域为的奇函数，所以，且，又函数是周期为2的函数，所以，所以，，，所以，故B正确；
C.根据周期可知，且，所以函数在区间上至少有5个零点，
故C错误；
D.因为函数周期为2的奇函数，所以，且，所以，所以函数关于点对称，故D正确.
故选：ABD
10．已知数列的前项和为，且，则（    ）
A． B．
C．数列为等差数列 D．为奇数时，
【答案】ABD
【分析】利用并项求和法可判断AD选项；利用等差数列的定义可判断BC选项.
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，因为，则，
对任意的，由可得，
上述两个等式作差可得，
所以，数列中的奇数项成以为首项，公差为的等差数列，
数列中的偶数项成以为首项，公差为的等差数列，
当为奇数时，设，则，
当为偶数时，设，则，
综上所述，，B对；
对于C选项，，故数列不是等差数列，C错；
对于D选项，当为奇数时，设，则，
则

，D对.
故选：ABD.
11．设函数，，则下列说法正确的有（    ）
A．函数在上为减函数
B．对，都有恒成立
C．对，都有恒成立
D．函数有两个极值点
【答案】BC
【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用利用导数研究函数的单调性，可判断B选项；指数函数的单调性可判断C选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断D选项.
【详解】因为，其中，则，.
对于A选项，，由可得，
所以，函数的减区间为，A错；
对于B选项，对，令，
，由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，，B对；
对于C选项，，令，
当时，，则；
当时，，则.
故，，C对；
对于D选项，，其中，，
令，当时，，此时，
故函数在上单调递减；
当时，，此时函数单调递增，
故函数在上至多一个零点，故函数至多一个极值点，D错.
故选：BC.
12．正方体的棱长是，、分别是、的中点，则下列结论正确的是（    ）
A．
B．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是
C．平面截正方体所得的截面周长是
D．与平面所成的角的正切值是
【答案】AC
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，可判断AD选项；分析可知以为球心，为半径的球面与侧面的交线是以点为圆心，半径为的圆，利用扇形的弧长公式可判断B选项；确定平面与正方体各棱的交点，求出截面周长，可判断C选项.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
对于A选项，、、、，
，，则，，A对；
对于B选项，因为平面，
所以，以为球心，为半径的球面与侧面的交线是以点为圆心，半径为的圆，
故交线长为，B错；
对于D选项，易知点、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，，
设直线与平面所成角为，则，
所以，，故，
因此，与平面所成的角的正切值是，D错.
对于C选项，设平面交棱于点，其中，，
因为平面，所以，，解得，即点，
同理可知，平面交棱于点，

由空间中两点间的距离公式可得，
同理可得，，
因此， 平面截正方体所得的截面为五边形，
其周长是，C对.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.

三、填空题
13．已知函数的部分图象如图所示，若在锐角中，，则______．

【答案】##
【分析】由图象可求得函数的解析式，由的取值范围以及可求得角的值.
【详解】由图可知，函数的最小正周期为，则，
因为，且，则，
所以，，可得，故，
因为为锐角，则，则，，
所以，，故.
故答案为：.
14．已知直线与圆交于、两点．若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用勾股定理可得出圆心到直线距离的取值范围，利用点到直线的距离公式可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由勾股定理可知，圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，解得.
故答案为：.
15．已知正方形，边长为，动点自点出发沿运动，动点自点出发沿运动，且动点的速度是动点的2倍，若二者同时出发，且到达时停止，另一个点也停止，则该过程中的最大值是______．
【答案】
【分析】设点的运动速度为，运动时间为，以为坐标原点建立平面直角 ，分别在、、和的情况下，利用表示出坐标，利用向量数量积的坐标运算可将表示为关于的函数性质，利用二次函数性质可求得最大值.
【详解】不妨设点的运动速度为，则点的运动速度为，运动时间为；
以为坐标原点，正方向为轴，可建立平面直角坐标系，
①当时，，，

此时恒成立，；
②当时，，，

，
则当时，；
③当时，，，

，
则当时，；
④当时，，，

，则；
综上所述：的最大值为.

四、双空题
16．如图所示，已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点，则的取值范围为______；记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则的取值范围是______．

【答案】         
【分析】分析可知直线与轴不重合，设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，利用韦达定理结合已知条件求出的取值范围，可求得的取值范围；设圆切、、分别于点、、，分析可知直线的倾斜角取值范围为，推导出圆、圆的半径、满足，求得，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】设直线的倾斜角为，
在双曲线中，，，则，故点，
若直线与轴重合，则直线与双曲线交于该双曲线的两个实轴的端点，不合乎题意，
所以，直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
，可得，
，可得，
所以，，且
当时，，此时，
当时，轴，此时，
当时，，此时，
综上，，
不妨设点在第一象限，则；
设圆切、、分别于点、、，

过的直线与双曲线的右支交于、两点，可知直线的倾斜角取值范围为，
由切线长定理可得，，，
所以，
，则，所以点的横坐标为.
故点的横坐标也为，同理可知点的横坐标为，故轴，
故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.
在中，，，
，，所以，，
所以，，则，
所以，
即，则，
由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为，
则，
故，
则，其中，
令，其中，则在单调递减，在单调递增.
因为，，则当时，，
故.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

五、解答题
17．设函数．
(1)求函数的单调增区间；
(2)在中，内角的对边分别为，若为锐角，且，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简可得，根据正弦型函数单调区间的求法可求得结果；
（2）根据可求得，利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式即可求得结果.
【详解】（1），
令，解得：，
的单调增区间为.
（2），，
，，则，解得：，
由余弦定理得：，解得：，，
的面积.
18．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，底面，是上一点．

(1)求证：；
(2)若是的中点，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）以点为原点，、、分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量法可求得的值，再利用空间向量法可求得二面角的余弦值．
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以．
因为，，．
由余弦定理可得，
所以，所以．
又，、平面，所以平面．
因为平面，所以．
（2）解：因为底面，，
以点为原点，、、分别为轴、轴、轴正方向，建立如下图所示空间直角坐标系，

则、、，设，则，，
因为底面，所以平面的一个法向量为，
由题意可得，解得，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
因为，
由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
19．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列，数列的前n项和．
(1)求数列和通项公式；
(2)求的值；
(3)证明：．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析

【分析】（1）根据等差数列的基本量求等差数列的通项，根据找到数列的通项公式，然后再求数列的通项公式.
(2)分别求出奇数项和偶偶数项通项公式再求和.
(3)裂项相消法求和，再证明.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意得，解得，
故数列的通项公式．
因为：，当时，，
两式相减得，
又n＝1时，，所以，所以，
因为，所以，而，
即，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，，所以．
（2）当k＝2m，时，，
当k＝2m－1，时，

所以

．
（3）由
可得
＝
因为，所以，
所以．则原命题得证．
20．由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率；A公司生产t万件防护服还需投入成本（48＋7x＋50t）（万元）．
(1)将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（政府补贴x万元计入公司收入）；
(2)对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？
【答案】(1)，
(2)0.6

【分析】（1）根据已知条件求得关于的关系式.
（2）根据已知条件列不等式并分离常数，结合函数的单调性求得的最小值.
【详解】（1）由题意可得，



所以A公司生产防护服的利润（万元）与补贴（万元）的函数关系为：
，；
（2）由题意可知，问题可转化为对所有的恒成立，
即在但成立，
即，
令，则，
此时，
令
任取，
，其中.
当时，，；
当时，，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
且．所以的最大值为，则．
所以复工率k达到0.6时，对任意的，A公司才能不产生亏损．
21．已知椭圆的左右焦点分别是，，点P在椭圆C上，以为直径的圆过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知A，B是椭圆C上的两个不同的动点，以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，是否存在以点O为圆心的定圆与AB相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，

【分析】（1）对于圆令得、、的坐标，且，由求出可得椭圆的方程；
（2）设，，当AB斜率存在时，直线AB的方程为与椭圆方程联立，由韦达定理代入的坐标运算得，再代入原点到AB的距离为；当AB斜率不存在时由题意知求出圆心到AB的距离可得答案
【详解】（1）对于，令，得，
所以，，，
圆心为，因为，所以，
所以，所以，
所以椭圆的方程为：；
（2）设，，
当AB斜率存在时，直线AB的方程为，
，消去得，
，
，
，，
因为以线段AB为直径的圆经过坐标原点，所以，
，
，
，
化简得：，
原点到AB的距离为，
当AB斜率不存在时由题意知：，，
圆心到AB的距离，
综上所述，存在以O为圆心的定圆与直线AB相切，定圆的方程为.
22．设函数，其中为自然对数的底数．
(1)当时，判断函数的单调性；
(2)若直线是函数的切线，求实数的值；
(3)当时，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析

【分析】(1)先求函数的定义域及其导函数，设，利用导数判断的单调性，由此确定不等式和的解集，由此确定函数的单调性；
(2)设切点为，由导数的几何意义可得，，设，利用导数研究函数的性质，由此求，；
(3)设，利用导数研究函数的单调性，由此确定函数的单调性，并求其最小值，集合基本不等式证明结论.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为，所以，
设，则，
所以函数在区间上单调递增，即函数在区间上单调递增，
又因为，所以，，在上为减函数，
，，在上为增函数.
（2）由（1）得
设切点为，则，
因为，所以，得，
所以
设，则，
所以当时，，单调递增
当时，，单调递减
所以
因为方程仅有一解，所以；
（3）因为，
设，则有
所以在单调递增．
因为，
所以存在，使得，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，
因为，所以，
所以．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．