高中数学高考专题37 利用正态分布三段区间的概率值估计人数(解析版)

这是一份高中数学高考专题37 利用正态分布三段区间的概率值估计人数(解析版)，共41页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．某小区有1000户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在210度以上的居民户数约为（ ）
（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）
A．17B．23C．90D．159
【答案】D
【分析】
先求用电量在210度以上的概率，再求用电量在210度以上的居民户数.
【详解】
由题得，，
所以，
所以，
所以用电量在210度以上的居民户数为．
【点睛】
（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法；（2）对于正态分布曲线的概率的计算，不要死记硬背，要结合其图像分析求解.
2．某校1000名学生的某次数学考试成绩服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩位于区间(51，69]的人数大约是（ ）
A．997B．954C．800D．683
【答案】D
【分析】
由题图知，，其中，，∴，从而可求出成绩位于区间的人数.
【详解】
由题图知，，其中，，
∴，
∴人数大约为0.6827×1000≈683.
故选：D.
【点睛】
此题考查正态分布曲线的特点及曲线表示的意义，属于基础题.
3．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的全市理科学生约1万人．某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？（ ）
参考数据：若，则，，
A．1600B．1700C．4000D．8000
【答案】A
【分析】
利用正态分布的性质及密度曲线特点求解数学成绩高于的大致人数，然后估计他的排名.
【详解】
由理科学生的数学成绩服从正态分布可知，，，
又，故，
所以，
又全市理科学生约1万人， 故成绩高于分的大致有人，
所以他的数学成绩大约排在全市第名.
故选：A.
【点睛】
本题考查正态分布及概率计算，较简单，只需要根据正态分布密度曲线的分布特点及题目所给数据进行计算即可.
4．已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在的人数约为（ ）
(附：，则，)
A．36014B．72027C．108041D．168222
【答案】B
【分析】
由题可求出，，即可由此求出，进而求出成绩落在的人数.
【详解】
，，
，，
，
这些考生成绩落在的人数约为.
故选：B.
【点睛】
本题考查正态分布的相关概率计算，属于基础题.
5．某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布，成绩在(117,126]之外的人数估计有（ ）
（附：若服从，则，）
A．1814人B．3173人C．5228人D．5907人
【答案】A
【分析】
由,可得,进而由数据及对称性求得概率,即可求解.
【详解】
由题,,,
,
所以,
所以人,
故选:A
【点睛】
本题考查正态分布的应用,考查由正态分布的区间及对称性求概率.
6．设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若，则，）
A．7539B．7028C．6587D．6038
【答案】C
【分析】
由题意正方形的面积为，再根据正态分布曲线的性质，求得阴影部分的面积，利用面积比的几何概型求得落在阴影部分的概率，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为
又由随机变量服从正态分布，
所以正态分布密度曲线关于对称，且，
又由，即，
所以阴影部分的面积为，
由面积比的几何概型可得概率为，
所以落入阴影部分的点的个数的估计值是，故选C．
【点睛】
本题主要考查了正态分布密度曲线的性质，以及面积比的几何概型的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的性质，准确求得落在阴影部分的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
7．贵阳市一模考试中，某校高三1500名学生的数学成绩X近似服从正态分布，则该校数学成绩的及格人数可估计为（ ）（成绩达到90分为及格）（参考数据：）
A．900B．1020C．1140D．1260
【答案】D
【分析】
根据题意得，从而得到，故，再估计及格人数即可.
【详解】
由题得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴该校数学成绩的及格率可估计为，
所以该校及格人数为（人）.
故选：D．
【点睛】
本题考查正态分布的性质，是基础题.
8．“学习强国”是一个网络学习平台，给人们提供了丰富的学习素材．某单位为了鼓励职工加强学习，组织了200名职工对“学习强国”中的内容进行了测试，并统计了测试成绩（单位：分）．若测试成绩服从正态分布，且成绩在区间内的人数占总人数的，则此次测试成绩不低于130分的职工人数大约为（ ）
A．10B．32C．34D．37
【答案】B
【分析】
设测试成绩为，则，先求出对应的概率，进而可求出结果.
【详解】
设测试成绩为，则，
又，
所以，
所以成绩不低于130分的职工人数大约为．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查正态分布中求指定区间的概率，属于基础题型.
9．若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布，现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为，则的数学期望为（ ）
参考数据:若随机变量服从正态分布则，则，，.
A．2.718B．6.827C．8.186D．9.545
【答案】C
【分析】
先求恰在500元至2000元之间概率，再求数学期望.
【详解】
的数学期望为
故选：C
【点睛】
本题考查正态分布及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．若随机变量服从正态分布，则，，.已知某校名学生某次数学考试成绩服从正态分布，据此估计该校本次数学考试成绩在分以上的学生人数约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由题意，，，结合原则可得，乘以得答案.
【详解】
由题意，，，故，
以此，估计该校本次数学考试成绩在分以上的学生人数约为.
故选：C.
【点睛】
本题考查正态分布中原则的应用，考查计算能力，属于中等题.
11．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(99，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约1万人．某学生在这次考试中的数学成绩是109分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？（ ）
A．1 600B．1 700C．4000D．8 000
【答案】A
【分析】
根据理科学生的数学成绩服从正态分布N(99，100)，得到，由，求得，即可得结论.
【详解】
因为理科学生的数学成绩服从正态分布N(99，100)，
所以，
所以，
因为，
所以，
即在这次考试中的数学成绩高于109分的学生占总人数的，
，
所以他的数学成绩大约排在全市第名.
故选：A
【点睛】
本题主要考查正态分布的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12．给出下列说法：①“”是“”的充分不必要条件；②命题“，”的否定是“，”；③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“4个人去的景点不相同”，事件为“小赵独自去一个景点”，则；④设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587.（注：若，则，）其中正确说法的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
①求出使的即可判断；
②全称命题的否定是特称命题，根据书写规则来判断；
③利用条件概率的计算公式计算即可；
④利用正太分布的对称性计算即可.
【详解】
解：①由，故“”是“”的充分不必要条件，①正确；
②命题“，”的否定是“，”， ②错误；
③由条件概率的计算公式得，③正确；
④由已知落入阴影部分的点的个数的估计值是
，④正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查充分性必要性的判断，考查条件概率的求解，考查正太分布对称性的应用，是基础题.
13．某校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是（ ）
A．997B．954C．683D．341
【答案】C
【分析】
由题图知，其中，，所以
.
从而可求出成绩位于区间的人数.
【详解】
由题图知，其中，，所以
.
所以人数为.
故选：C
【点睛】
此题考查正态分布曲线的特点及曲线表示的意义，属于基础题.
14．某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动.经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示.据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25.由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为（ ）
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
A．103B．105C．107D．109
【答案】D
【分析】
由频率分布直方图估计其均值，可得，乘以800得答案．
【详解】
解：由频率分布直方图估计其均值，
设日均健步数为，则，
，则，，
，
，
日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为109人，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，属于基础题．
15．某高校高三年级理科共有1500人，在第一次模拟考试中，据统计数学成绩ξ服从正态分布N（100，100），则这次考试年级数学成绩超过120分的人数约为（ ）
参考数据：若ξ服从正态分布N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.9974
A．32人B．34人C．39人D．40人
【答案】B
【分析】
数学成绩服从正态分布故数学成绩关于直线对称，再结合，得到超过的概率，即可得到这次考试年级数学成绩超过分的人数.
【详解】
根据题意，数学成绩服从正态分布，
所以
.
本次考试共有人，所以估计数学分数超过的人数为：
人.
故选：.
【点睛】
本题主要考查的是正态分布，解答此类题关键在于将待求的问题向这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率，考查的是划归及数形结合思想，是中档题.
16．某校高三年级有1000名学生，其中理科班学生占80%，全体理科班学生参加一次考试，考试成绩近似地服从正态分布N（72，36），若考试成绩不低于60分为及格，则此次考试成绩及格的人数约为（ ）
（参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974）
A．778B．780C．782D．784
【答案】C
【分析】
依题意，参加考试的人数为800人，考试成绩近似地服从正态分布N（72，36），根据根据3σ原则，以及正态分布的特点进行求解即可.
【详解】
依题意，参加考试的人数为800人，考试成绩近似地服从正态分布N（72，36），所以μ＝72，σ＝6，
根据3σ原则，P（Z≥60）=1﹣[1﹣P（72﹣2×6≤Z＜72+2×6）]＝0.9772，
所以此次考试成绩及格的人数约为800×0.9772≈782．
故选：C
【点睛】
本题考查了正态分布，主要考查了正态曲线的对称性以及3σ原则，本题属于基础题．
17．本次高三数学考试有1万人次参加，成绩服从正态分布，平均成绩为118分，标准差为10分，则分数在内的人数约为（ ）
（参考数据：，，）
A．6667人B．6827人C．9545人D．9973人
【答案】C
【分析】
正态总体的取值关于对称，位于的概率为，根据概率乘以总体得到结果.
【详解】
因为数学成绩服从正态分布，
所以数学成绩关于对称，
因为，
所以分数落在内的人数为人，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关正态分布的问题，涉及到的知识点有正态总体概率密度曲线的对称性，属于基础题目.
18．已知服从正态分布的随机变量，在区间、和内取值的概率分别为、、和.某企业为名员工定制工作服，设员工的身高（单位：）服从正态分布，则适合身高在范围内员工穿的服装大约要定制（ ）
A．套B．套C．套D．套
【答案】B
【分析】
由可得，，则恰为区间，利用总人数乘以概率即可得到结果.
【详解】
由得：，
，，又
适合身高在范围内员工穿的服装大约要定制：套
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用正态分布进行估计的问题，属于基础题.
19．某学校高三模拟考试中数学成绩服从正态分布，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（ ）人．
参考数据：，）
A．261B．341C．477D．683
【答案】B
【解析】
分析：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是0.6826，根据概率求出位于这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果．
详解：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为人.
故选B .
点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．
二、解答题
20．已知某校共有1000名学生参加体能达标测试，现从中随机抽取100名学生的成绩，将他们的测试成绩(满分：100分)分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如下频数分布表.
（1）求这100名学生的体能测试平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
（2）在这100名学生中，规定：测试成绩不低于80分为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关？
（3）根据样本数据，可认为该校全体学生的体能测试成绩X近似服从正态分布N(μ，14.312)，其中μ近似为样本平均数，则这1000名学生中体能测试成绩不低于84.81分的估计有多少人？
参考公式及数据：X~N(μ，σ2)，P(μ-σ≤X