高中数学高考专题28 抛物线（解析版）

这是一份高中数学高考专题28 抛物线（解析版），共22页。
十年试题分类*探求规律
考点95 抛物线的定义及标准方程
1．（2016全国II文）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ）
（A） （B）1 （C） （D）2
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点，所以，
又因为曲线与交于点，轴，所以，所以，选D．
2．（2012山东文理）已知双曲线：的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】∵双曲线：的离心率为2，所以
又渐近线方程为所以双曲线的渐近线方程为
而抛物的焦点坐标为所以有．
故选D．
考点96 抛物线的几何性质
3．【2020全国Ⅰ理4】已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【思路导引】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案．
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得，故选C．
4．（2020·北京）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）
A．经过点B．经过点
C．平行于直线D．垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示，因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点．
5．【2020天津7】设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选．
6．【2019全国Ⅱ文】若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2B．3
C．4D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
7．(2016全国I理)以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点．已知=，=，则的焦点到准线的距离为
A．2 B．4 C．6 D．8
B【解析】由题意，不妨设抛物线方程为，由，
，可取，，设为坐标原点，
由，得，得，所以选B．
8．【2016四川文科】抛物线的焦点坐标是( )
(A)(0，2) (B) (0，1) (C) (2，0) (D) (1，0)
【答案】D
【解析】由题意，的焦点坐标为，故选D．
9．(2016四川理)设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且=2，则直线的斜率的最大值为
A． B． C． D．1
C【解析】设（不妨设），则，∵，∴，∴∴，∴，故选C．
10．（2015陕西文）已知抛物线()的准线经过点，则该抛物线的焦点坐标为
A．(－1，0) B．(1，0) C．(0，－1) D．(0，1)
【答案】B【解析】因为抛物线的准线方程为，∴，∴焦点坐标为，故选B．
11．（2013新课标1文理）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为
A． B． C． D．
【答案】C【解析】∵，由抛物线的定义可得点的坐标，
∴的面积为．
12．（2015陕西理）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则= ．
【答案】【解析】的准线方程为，又，所以必经过双曲线的左焦点，所以，．
13．（2014湖南文理）如图，正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过 ．
【答案】【解析】由正方形的定义可知BC= CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以，D，将点F的坐标代入抛物线的方程得，变形得，
解得或（舍去），所以．
14．（2013北京文理）若抛物线的焦点坐标为，则 ，准线方程为 ．
【答案】2，【解析】；准线．
15．（2012陕西文理）右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．
【答案】【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为（0，0），设抛物线的方程为，与抛物线的交点为A、B，根据题意知A（–2，–2），B（2，–2），则有，∴，
∴抛物线的解析式为，水位下降1米，则y=–3，此时有或，∴此时水面宽为米．
考点97 直线与抛物线的位置关系
16．（2020全国Ⅲ文7理5）设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解法一：∵直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，∴，代入抛物线方程，求得，∴其焦点坐标为，故选B．
解法二：将代入 得．由OD⊥OE得，即，得，∴抛物线的焦点坐标为，故选B．
17．（2018全国Ⅰ理8）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】根据题意，过点且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，从而可以求得，故选D．
18．（2017新课标Ⅰ理）已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A【解析】由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，由题意有，设，，，
此时直线方程为，
取方程，得，
∴
同理得
由抛物线定义可知
当且仅当（或）时，取得等号．
19．（2017全国Ⅱ文）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在的轴上方），为的准线，点在上且，则到直线的距离为
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题知，与抛物线联立得，解得，
所以，因为，所以，因为，所以．
所以到直线的距离为．故选C．
20．（2015浙江理）如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是
A． B． C． D．
【答案】A【解析】如图，，故选A．
21．（2015四川文理）设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点．若这样的直线恰有4条，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D 【解析】当直线的斜率不存在时，这样的直线恰好有2条，即，所以；所以当直线的斜率存在时，这样的直线有2条即可．设，，
，则．又，
两式相减得，．
设圆心为，则，因为直线与圆相切，
所以，解得，于是，，又，
即，所以，又，所以，故选D．
22．（2014新课标1文理）已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=
A． B． C．3 D．2
【答案】C【解析】过点作交于点，因为，所以，又焦点到准线的距离为4，所以．故选C．
23．（2014新课标2文理）设为抛物线C：的焦点，过且倾斜角为30°的直线交于两点， 为坐标原点，则△的面积为
A． B． C． D．
【答案】D【解析】易知抛物线中，焦点，直线的斜率，故直线的方程为，代入抛物线方程，整理得．
设，则，由物线的定义可得弦长
，结合图象可得到直线的距离，
所以的面积．
24．（2014辽宁文理）已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
A． B． C． D．
25．（2013江西文理）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则=
A．2： B．1：2 C．1： D．1：3
【答案】C【解析】依题意可得AF所在直线方程为代入x2=4y得，
又|FM|：|MN|=（1-y）：（1+y）＝1：5 ．
26．（2011新课标文理）已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于，两点，，为C的准线上一点，则的面积为
A．18 B．24 C．36 D．48
【答案】C【解析】设抛物线的方程为，易知，即，
∵点在准线上，∴到的距离为，所以面积为36，故选C．
27．（2020山东）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：，
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得，所以．
解法二：，设，则，
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示．
．
28．【2020山东13】斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则__________．
【答案】
【解析】由题抛物线，可知其焦点为，准线为，如图所示．作，，直线准线交于点，由，∴倾斜角，∴，
由抛物线定义知：，，
又∵，∴为中点，∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
29．【2019北京文】设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．
【答案】
【解析】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1，0），准线l的方程为x=−1，
以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x−1)2+y2=22，即为．
30．【2018全国3理16】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
【答案】2
【解析】设，则，．
取中点，分别过点作准线的垂线，垂足分别为．
，．
为中点，平行于轴．
，故答案为2．
31．【2018北京文】已知直线l过点（1，0）且垂直于?轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．
【答案】
【解析】由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得，，由抛物线方程可得：，焦点坐标为．
32．（2017新课标Ⅱ理）已知 QUOTE F 是抛物线： QUOTE C: y2=8x 的焦点，是 QUOTE C 上一点，的延长线交 QUOTE y 轴于点．若为的中点，则 QUOTE |FΝ|= ．
【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，
故．
33．【2019全国Ⅰ理】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
【答案】（1）；（2）．
【解析】设直线．
（1）由题设得，故，由题设可得．
由，可得，则．
从而，得．所以的方程为．
（2）由可得．
由，可得．所以．从而，故．
代入的方程得，故．
34．【2018全国I文20】（本小题满分12分）
设抛物线，点，过点的直线与交于两点．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）证明：．
【解析】【基本解法1】（1）当轴时，直线带入抛物线方程得：
解得点或，或，
所以直线得方程为：或．
（2）当斜率不存在时，关于轴对称，．
当斜率存在时，可设直线方程为，．
设点则：，
，，．
35．（2018全国II文20理19）（本小题满分12分）
设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点．．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
【解析】（1）由题意得，的方程为．
设，由得．
，故．．
由题设知，解得（舍去），．因此的方程为．
（2）由（1）得的中点坐标为，的垂直平分线方程为，即．
设所求圆的圆心坐标为，则解得或
因此所求圆的方程为或．
36．（2017新课标Ⅰ文）设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为4．
(1)求直线的斜率；
(2)设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程．
【解析】（1）设，，则，，，x1+x2=4，
于是直线的斜率．
（2）由，得．
设，由题设知，解得，于是．
设直线的方程为，故线段的中点为，．
将代入得．
当，即时，，从而．
由题设知，即，解得，所以直线AB的方程为．
37．（2017新课标Ⅲ理）已知抛物线：，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆．
(1)证明：坐标原点在圆上；
(2)设圆过点，求直线与圆的方程．
【解析】（1）设，，：
由可得，则
又，，故=4
因此的斜率与的斜率之积为，所以．
故坐标原点在圆上．
（2）由（1）可得，
故圆心的坐标为，圆的半径
由于圆过点，因此，
故
即
由（1）可得，．
所以，解得或．
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为．
38．（2017北京理）已知抛物线：过点．过点作直线与抛物线 交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．
（Ⅰ）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：为线段的中点．
【解析】（Ⅰ）由抛物线C：过点，得．所以抛物线的方程为．
抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
（Ⅱ）当直线的斜率不存在或斜率为0时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线的斜率存在且不为0．
设为点，过的直线方程为（），设，，显然，，均不为0．
由，得．考虑，由题意，所以．
则，①
． ②
由题意可得，横坐标相等且同为，
因为点P的坐标为，所以直线OP的方程为，点A的坐标为．
直线ON的方程为，点B的坐标为．
若要证明为的中点，只需证，即证，
即证，
将代入上式，
即证，
即证③
将①②代入③得，化简有恒成立，
所以恒成立．
故A为线段BM的中点．
39．（2015浙江文）如图，已知抛物线：，圆：，过点作不过原点的直线，分别与抛物线和圆相切，为切点．
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）求的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．
【解析】（Ⅰ）由题意可知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．
所以消去．整理得：．
因为直线与抛物线相切，所以，解得．
所以，即点．设圆的圆心为，
点的坐标为，由题意知，点关于直线对称，
故有，解得．即点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
直线的方程为，
所以点到直线的距离为．
所以的面积为．
40．（2015福建文）已知点为抛物线（）的焦点，点在抛物线上，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．
【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得．
因为，即，解得，
所以抛物线的方程为．
（Ⅱ）因为点在抛物线上，
所以，由抛物线的对称性，不妨设．
由，可得直线的方程为．
由，得，
解得或，从而．
又，
所以，，
所以，从而，这表明点到直线的距离相等，故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．
因为点在抛物线：上，
所以，由抛物线的对称性，不妨设．
由，可得直线的方程为．
由，得，
解得或，从而．
又，故直线的方程为，
从而．
又直线的方程为，所以点到直线的距离．
这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．
41．（2014陕西文理）如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程．
【解析】（Ⅰ）在，方程中，令，可得b=1，且得是上半椭圆 的左右顶点，
设的半焦距为，由及，解得，所以，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，上半椭圆的方程为，
易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为
代入的方程中，整理得： （*）
设点的坐标，由韦达定理得
又，得，从而求得
所以点的坐标为．
同理由得点的坐标为，，，
，，即，
，，解得，经检验，符合题意，故直线的方程为．
42．（2012新课标文理）设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、点．
（Ⅰ）若，的面积为，求的值及圆的方程；
（Ⅱ）若、、三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到、距离的比值．
【解析】（Ⅰ）由对称性知：是等腰直角，斜边，
点到准线的距离， ，
圆的方程为．
（Ⅱ）由对称性设，则，
点关于点对称得：，
得：，直线，
切点，
直线，
坐标原点到距离的比值为．
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011[来源:学_科_网]
理20
抛物线
直线与抛物线位置关系，抛物线几何性质的应用
文9
抛物线
直线与抛物线位置关系，抛物线几何性质的应用
2012
理20
圆，抛物线
圆的方程，抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系
文20
圆，抛物线
圆的方程，抛物线的定义、标准方程及其几何性质
2013
卷1
文8
抛物线
抛物线的定义及几何性质
卷2
理11
圆，抛物线
圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式
文10
抛物线
抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系
2014
卷1
理10
抛物线
抛物线的定义、标准方程
文10
抛物线
抛物线的定义、标准方程
卷2
理10
抛物线
抛物线的定义、标准方程，抛物线焦点弦长的计算
文10
抛物线
抛物线的定义、标准方程，抛物线焦点弦长的计算
2015
卷1
理20
抛物线
直线与抛物线的位置关系，抛物线存在问题的解法
2016
卷1
理10
圆，抛物线
圆的几何性质，抛物线的标准方程及其几何性质，直线与抛物线的位置关系
文20
抛物线
直线与抛物线的位置关系
卷2
文5
抛物线
抛物线的几何性质，反比例函数的性质
卷3
文理20
抛物线
抛物线定义与几何性质，直线与抛物线位置关系，轨迹方程求法
2017
卷1
理10
抛物线
抛物线定义与几何性质，直线与抛物线位置关系
文20
抛物线
抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系
卷2
理16
抛物线
抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系
文12
抛物线
抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系，点到直线距离公式
2018
卷1
理8
抛物线
抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系
文20
抛物线
直线与抛物线的位置关系
卷2
理19文20
抛物线
抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求法
卷3
理16
抛物线
抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系
2019
卷1
理19
抛物线
抛物线的定义，直线与抛物线位置关系，
文21
直线与圆，直线与抛物线
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方程及其几何性质，抛物线的定点问题
卷2
理8文9
椭圆与抛物线
抛物线与椭圆的几何性质
卷3
文21
圆、抛物线
抛物线的标准方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程，直线与圆的位置关系，抛物线的定点问题
卷3
理21
圆、抛物线
抛物线的标准方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程，直线与圆的位置关系，抛物线的定点问题
2020
卷1
理4
抛物线
抛物线的定义及标准方程
卷2
理19
椭圆、抛物线
椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
文19
椭圆、抛物线
椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
卷3
理文7
抛物线
直线与抛物线的位置关系，抛物线的几何性质
考点
出现频率
2021年预测
考点95抛物线的定义及标准方程
37次考14次
命题角度：（1）抛物线的定义及应用；（2）抛物线的标准方程与几何性质；（3）直线与抛物线的位置关系．
核心素养：数学运算、运算推理、直观想象
考点96抛物线的几何性质
37次考19次
考点97直线与抛物线的位置关系
37次考22次