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第20讲 多边形与平行四边形（练透）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）
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【2022讲通练透】二轮
第二十讲 多边形与平行四边形
考点一 多边形的内角与外角 2
考点二 平行四边形的性质与判定 3
考点三 三角形中位线 22
考点一 多边形的内角与外角
1．如图，在六边形ABCDEF中，若∠1+∠2＝90°，则∠3+∠4+∠5+∠6＝（ ）
A．180° B．240° C．270° D．360°
【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠3+∠4+∠5+∠6＝360°﹣90°＝270°，
故选：C．
2．如图，是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°．根据图中数据信息，下列调整∠D大小的方法正确的是（ ）
A．增大10° B．减小10° C．增大15° D．减小15°
【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：
∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，
∴∠D＝10°．
而图中∠D＝20°，
∴∠D应减少10°．
故选：B．
3．如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．100m B．90m C．54m D．60m
【解答】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，
由于正多边形的外角和是360°，且每一个外角为20°，
360°÷20°＝18，
所以它是一个正18边形，
因此所走的路程为18×3＝54（m），
故选：C．
考点二 平行四边形的性质与判定
4．已知：在平行四边形ABCD中，过点C作CH⊥AB，过点B作AC的垂线，分别交CH、AC、AD于点E、F、G，且∠ABC＝∠BEH，BG＝BC．
（1）若BE＝10，BC＝25，求DG的值；
（2）连接HF，证明：HA＝HF﹣HE．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝25，∠ABC+∠BAG＝180°，
∵∠ABC＝∠BEH，∠CEB+∠BEH＝180°，
∴∠CEB+∠ABC＝180°，
∴∠BAG＝∠CEB，
∵CH⊥AB，
∴∠BHC＝90°，
∴∠ABG+∠BEH＝90°，∠ECB+∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝∠ECB，
在△BAG和△CEB中，，
∴△BAG≌△CEB（AAS），
∴AG＝BE＝10，
∴DG＝AD﹣AG＝25﹣10＝15；
（2）证明：过点F作FN⊥HF，交BA延长线于N，如图所示：
∵△BAG≌△CEB，
∴CE＝AB，
∵∠ABG+∠BAC＝∠ECB+∠ABC＝90°，∠ABG＝∠ECB，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC，
∵CH⊥AB，
∴∠ACH＝∠ECB＝∠ABG，
在△ABF和△ECF中，，
∴△ABF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
∵∠HFN＝∠EFA＝90°，
∴∠AFN＝∠EFH，
∵∠BAC＝∠ABC，∠ABC＝∠BEH，
∴∠NAF＝∠HEF，
在△ANF和△EHF中，
，
∴△ANF≌△EHF（ASA），
∴HE＝AN，HF＝NF，
∴△HFN是等腰直角三角形，
∴HN＝HF，
∴HA+AN＝HA+HE＝HF，
∴HA＝HF﹣HE．
5．如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，AD＝AC，过点D作DF⊥AC交BC于点F，交AC于点E，连接AF．
（1）若AE＝4，DE＝2EC，求EC的长．
（2）延长AC至点H，连接FH，使∠H＝∠EDC，若AB＝AF＝FH，求证：FD+FC＝AD．
【解答】（1）解：设EC＝x，则DE＝2x，AD＝AC＝AE+EC＝4+x，
∵DF⊥AC，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：（2x）2+42＝（4+x）2，
解得：x＝，或x＝0（舍去），
∴EC＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵AB＝AF＝FH，
∴CD＝FH，
∵DF⊥AC，
∴∠DEC＝∠HEF＝90°，
在△DEC和△HEF中，，
∴△DEC≌△HEF（AAS），
∴EC＝EF，DE＝EH，
∵DF⊥AC，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF＝45°，
∵AF＝FH，DF⊥AC，
∴AE＝HE＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAC＝45°，DE＝AD，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠EDC＝∠H＝22.5°，
∴∠CFH＝∠EF﹣∠H＝22.5°＝∠H，
∴CF＝CH，
∴EF+FC＝EC+CH＝EH＝DE，
∴FD+FC＝DE+EF+FC＝DE+DE＝2DE＝AD．
6．在平行四边形ABCD中，点E是AD边上的点，连接BE．
（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC＝8，ED＝3，求平行四边形ABCD的周长；
（2）如图2，点F是平行四边形外一点，FB＝CD．连接BF、CF，CF与BE相交于点G，若∠FBE+∠ABC＝180°，点G是CF的中点，求证：2BG+ED＝BC．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝8﹣3＝5，
∴AB＝5，
∴平行四边形ABCD的周长＝2AB+2BC＝2×5+2×8＝26；
（2）证明：连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，如图2所示：
则∠FBG＝∠CKG，
∵点G是CF的中点，
∴FG＝CG，
在△FBG和△CKG中，，
∴△FBG≌△CKG（ASA），
∴BG＝KG，CK＝BF＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，
∵∠FBE+∠ABC＝180°，
∴∠FBE+∠D＝180°，
∴∠CKB+∠D＝180°，
∴∠EKC＝∠D，
∵∠BAE+∠D＝180°，
∴∠CKB＝∠BAE，
在△AEB和△KBC中，，
∴△AEB≌△KBC（AAS），
∴BC＝BE，
∴∠KEC＝∠BCE，
∴∠KEC＝∠DEC，
在△KEC和△DEC中，，
∴△KEC≌△DEC（AAS），
∴KE＝ED，
∵BE＝BG+KG+KE＝2BG+ED，
∴2BG+ED＝BC．
7．在平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连接CE，交对角线BD于点F，过点A作AB的垂线交BD的延长线于点G，过B作BH垂直于CE，垂足为点H，交CD于点P，2∠1+∠2＝90°．
（1）若PH＝2，BH＝4，求PC的长；
（2）若BC＝FC，求证：GF＝PC．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BCH＝∠2，
∴∠BCP＝∠2+∠1，
∵2∠1+∠2＝90°．
∴∠BCP＝90°﹣∠1，
∵BH⊥CE，
∴∠BPC+∠1＝90°，
∴∠BPC＝90°﹣∠1，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴BC＝BP＝BH+PH＝4+2＝6，
∴CH2＝BC2﹣BH2＝62﹣42＝20，
∴PC＝＝＝2；
（2）证明：由（1）得：BC＝BP＝AD，
∴四边形ABPD是等腰梯形，
∴∠DAB＝∠PBA，
∵CD∥AB，
∴∠PBA＝∠BPC，
∵BH⊥CE，
∴∠1＝90°﹣∠BPC＝90°﹣∠PBA＝90°﹣∠DAB＝∠DAG，
∵AD＝BC，BC＝FC，
∴AD＝FC，∠CBF＝∠CFB，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠CBF，
∴∠EDF＝∠CFB＝∠EFD，
∴∠ADG＝∠CFD，
在△DAG和△FCD中，，
∴△DAG≌△FCD（ASA），
∴AG＝CD＝AB，DG＝FD，
∵AG⊥AB，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴∠DBA＝∠G＝45°，
作FM⊥CD于M，BN⊥CD于N，如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠DBA＝45°，
∴△DMF是等腰直角三角形，
∴DM＝FM，DF＝FM，
∵BN⊥CD，BH⊥CE，
∴由三角形内角和定理得：∠1＝∠PBN，
在△CFM和△BPN中，，
∴△CFM≌△BPN（AAS），
∴FM＝PN，
∵BC＝BP，BN⊥CD，
∴PN＝CN，
∴PC＝2PN＝2FM＝DF，
∴PC＝2DF，
∴GF＝2DF＝PC
8．如图．在平行四边形ABCD中（BC＞AB），过A作AF⊥BC，垂足为F，过C作CH⊥AB，垂足为H，交AF于G，点E为FC上一点，且GE⊥ED．
（1）若FC＝2BF＝4，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积；
（2）若AF＝FC，F为BE中点，求证：ED＝（AD+AG）．
【解答】（1）解：∵FC＝2BF＝4，
∴BF＝2，
∴BC＝BF+FC＝2+4＝6，
∵AF⊥BC，
∴AF＝＝＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AF＝6×4＝24；
（2）证明：∵AF⊥BC，CH⊥AB，
∴∠AFB＝∠CFG＝∠AHG＝90°，∠BAF+∠ABF＝∠GCF+∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝∠GCF，
在△ABF和△CGF中，，
∴△ABF≌△CGF（ASA），
∴AB＝CG，BF＝GF，
∵F为BE中点，
∴BF＝EF＝GF，
∵AF＝CF，
∴AG＝CE，
连接AC，如图所示：
∵CH⊥AB，AB∥CD，
∴∠GCD＝90°，
∵∠AGC＝∠AHG+∠BAF＝90°+∠BAF，∠ECD＝∠GCD+∠GCF＝90°+∠GCF，
∴∠AGC＝∠ECD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝DC，
∴CG＝DC，
在△AGC和△ECD中，，
∴△AGC≌△ECD（SAS），
∴AC＝ED，
∵AF⊥BC，AF＝CF，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴ED＝AC＝CF，
∵AD+AG＝BC+CE＝CF+BF+CE＝CF+EF+CE＝2CF，
∴CF＝（AD+AG），
∴ED＝CF＝（AD+AG）．
9．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AB＝BC，过点A作BC的垂线交BC于点E，交BD于点M，∠ABC＞60°．
（1）若ME＝3，BE＝4，求EC的长度．
（2）如图，延长CE至点G；使得EC＝GE；过点G作GF垂直于AB的延长线于点H，交AE的延长线于点F，
求证：AE＝GF+EF．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BOC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，
∴∠MBE+∠ACE＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠BEM＝90°，∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠MBE＝∠CAE，
∴△MBE∽△CAE，
∴＝＝，
MB＝＝＝5，
∴＝＝，
设CE＝3k，则CA＝5k，
∴CO＝AC＝，
CB＝CE+EB＝3k+4，
∵sin∠OBC＝＝，sin∠MBE＝＝，∠MBE＝∠OBC，
∴＝，
∴k＝，
∴CE＝3k＝；
（2）证明：连接CM，如图2所示：
∵AE⊥BC，BO⊥AC，AE与BO交于M，
∴M是△ABC的三条高的交点，即CM⊥AB，
∵GH⊥AB，
∴GH∥CM，即GF∥CM，
∴∠CME＝∠GFE，
在△CME和△GFE中，，
∴△CME≌△GFE（AAS），
∴CM＝GF，EM＝EF，
∵BD⊥AC，OA＝OC，
∴MC＝MA，
∴GF＝MA，
∵AE＝AM+ME，
∴AE＝GF+EF．
10．在平行四边形ABCD中，CE⊥BA，交BA的延长线于点E．
（1）如图1，连接AC，若AC＝2，AE＝2，BC＝10，求▱ABCD的面积．
（2）如图2，延长CD至点G，使得CD＝DG，连接BG交AD于点F，连接EF，FC．求证：EF＝CF．
【解答】（1）解：∵CE⊥BA，AC＝2，AE＝2，
∴CE＝＝＝6，
∴BE＝＝＝8，
∴AB＝BE﹣AE＝8﹣2＝6，
∴▱ABCD的面积＝AB×CE＝6×6＝36；
（2）证明：过F作MN⊥CD于M，交BA延长线于N，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，
∵CE⊥BA，MN⊥CD，
∴四边形MNEC是矩形，
∴EN＝CM，
∵DF∥BC，CD＝DG，
∴BF＝GF，△BFN∽△GFM，
∴＝＝1，
∴FN＝FM，
在△EFN和△CFM中，，
∴△EFN≌△CFM（SAS），
∴EF＝CF．
11．在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC＝AD
（1）如图①，过点A作AE⊥于BC于E，若BC＝10，AE＝6，求AB边的长．
（2）如图②，过点C作CF⊥CD交BD于F，在▱ABCD外有一点G，连接AG，使得AG＝2OF且∠BAG＝∠BFC，连接BG、DG，若CD＝CF，求证：BG⊥BC．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，
∴AD＝AC＝BC＝10，
∵AE⊥AC，
∴CE＝＝＝8，
∴BE＝BC﹣CE＝10﹣8＝2，
由勾股定理得：AB＝＝＝2；
（2）证明：延长CF交AB于H，如图②所示：
∵CD＝CF，CF⊥CD，
∴△FCD是等腰直角三角形，
∴∠DFC＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD，AB＝CD，AB∥CD，
∴CH⊥AB，
∵∠HFB＝∠DFC＝45°，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∵AD＝AC＝BC，
∴△ACB是等腰三角形，
∴CH垂直平分AB，
∴AH＝BH＝AB，
设AB＝CD＝a，则BH＝HF＝a，BF＝BH＝a，CF＝CD＝AB＝a，DF＝CD＝a，
∴BD＝BF+DF＝a+a＝a，
∴OF＝BD﹣BF＝×a﹣a＝a，
∴BF＝2OF＝AG，
在△GAB和△BFC中，，
∴△GAB≌△BFC（SAS），
∴∠GBA＝∠BCF，
∵∠BCF+∠ABC＝90°，
∴∠GBA+∠ABC＝90°，即∠GBC＝90°，
∴BG⊥BC．
12．已知点P是平行四边形ABCD对角线BD上的一点，分别过点B、D作AP的垂线，垂足分别为点E、F，
（1）如图1，若点P为BD中点，∠BAP＝30°，AD＝5，CD＝8，求AF的长；
（2）如图2，若点E在CD上，BE＝DE，延长DF至G，使DG＝AB，点H在BD上，连接AH、GH、EH、FH，若∠G＝∠BAH，求证：HE＝HF．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD＝8
∵∠BAP＝30°，∠E＝90°
∴BE＝AB＝4
∵点P为BD中点
∴BP＝DP
在△BEP和△DFP中
∴△BEP≌△DFP（AAS）
∴DF＝BE＝4
在Rt△ADF中，AF＝＝＝3
∴AF的长为3；
（2）证明：设AB与DG的交点为K，连HK
∵BE⊥AP，DF⊥AP
∴BE∥DF
∴∠DBE＝∠GDH
∵BE＝DE
∴∠DBE＝∠BDE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥DC
∴∠ABH＝∠BDE
∴∠ABH＝∠GDH
在△ABH和△GDH中
∴△ABH≌△GDH（ASA）
∴BH＝HD
∵BK∥DE，BE∥DF
∴BEDK为平行四边形
又H为BD中点
∴E，H，K共线
又∠EFK＝90°
∴HF＝HE
13．在▱ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝AC，点E、F分别是CD、AC边上的点，且AF＝CE，BF的延长线交AE于点G．
（1）若DE＝2，AD＝6，求AE的长；
（2）若G是AE的中点，连接CG，求证：2BG＝BF+AE．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝6，
∵∠ABC＝45°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴ACD＝∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴CD＝AB＝AC＝BC＝3，
∵DE＝2，
∴CE＝CD﹣DE＝，
∴AE＝；
（2）证明：在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴BF＝AE，∠ABF＝∠CAE，
取BF的中点H，连接AH，如图所示：
∵∠BAF＝90°，AH＝BF＝BH，
∴∠ABF＝∠BAH，
∴∠BAH＝∠CAE，
∴∠GAH＝∠BAF＝90°，
∵∠ACE＝90°，G是AE的中点，
∴CG＝AE＝AG，
∴AH＝AG＝BH＝CG，
∴△GAH是等腰直角三角形，
∴GH＝AG＝AE，
∴AE+CG＝GH+BH＝BG，
∴2BG＝2CG+AE，
∵2CG＝AE＝BF，
∴2BG＝BF+AE．
考点三 三角形中位线
14．如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝ 4.5 ．
【解答】解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D，
∵BM为∠ABC的平分线，
∴∠CBM＝∠ABM，
∵BM⊥AG，
∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠MGB+∠CBM＝90°，
∴∠BAM＝∠MGB，
∴△ABG为等腰三角形，
∴AM＝GM．BG＝AB＝10，
同理AN＝DN，CD＝AC＝6，
∴MN为△ADG的中位线，
∴MN＝DG＝（BC﹣BG+CD）＝（BC﹣AB+AC）＝（13﹣10+6）＝4.5．
故答案为：4.5．
15．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 2.5 ．
【解答】解：连接DN、DB，
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，
∴BD＝＝＝5，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为5，
∴EF长度的最大值为2.5，
故答案为：2.5．
16．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞10，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝8，CE＝6，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，则线段MN的长为 5 ．
【解答】解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，
∵BD∥CH，
∴∠B＝∠NCH，∠ECH＝∠A＝90°，
在△DNB和△HNC中，
，
∴△DNB≌△HNC（ASA），
∴CH＝BD＝8，DN＝NH，
∵CH＝8，CE＝6，
∴EH＝＝10，
∵DM＝ME，DN＝NH，
∴MN＝EH＝5，
故答案为：5．
17．△ABC中，点D是BC中点，∠A＝2∠BED，AB＝9，AC﹣AE＝3，则BE＝ 7 ．
【解答】解：过点D作DF∥AC，交AB于F，
∵点D是BC中点，
∴DF＝AC，DF∥AC，BF＝AF＝AB＝，
∴∠BFD＝∠A，
∵∠A＝2∠BED，∠BFD＝∠BED+∠EDF，
∴∠EDF＝∠BED，
∴FE＝FD，
∵AC﹣AE＝3，
∴AE＝AC﹣3＝2FE﹣3，
∴FE+2FE﹣3＝，
解得，FE＝，
∴BE＝BF+FE＝7，
故答案为：7．
【2022讲通练透】二轮
第二十讲 多边形与平行四边形
考点一 多边形的内角与外角 2
考点二 平行四边形的性质与判定 3
考点三 三角形中位线 22
考点一 多边形的内角与外角
1．如图，在六边形ABCDEF中，若∠1+∠2＝90°，则∠3+∠4+∠5+∠6＝（ ）
A．180° B．240° C．270° D．360°
【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠3+∠4+∠5+∠6＝360°﹣90°＝270°，
故选：C．
2．如图，是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°．根据图中数据信息，下列调整∠D大小的方法正确的是（ ）
A．增大10° B．减小10° C．增大15° D．减小15°
【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：
∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，
∴∠D＝10°．
而图中∠D＝20°，
∴∠D应减少10°．
故选：B．
3．如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．100m B．90m C．54m D．60m
【解答】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，
由于正多边形的外角和是360°，且每一个外角为20°，
360°÷20°＝18，
所以它是一个正18边形，
因此所走的路程为18×3＝54（m），
故选：C．
考点二 平行四边形的性质与判定
4．已知：在平行四边形ABCD中，过点C作CH⊥AB，过点B作AC的垂线，分别交CH、AC、AD于点E、F、G，且∠ABC＝∠BEH，BG＝BC．
（1）若BE＝10，BC＝25，求DG的值；
（2）连接HF，证明：HA＝HF﹣HE．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝25，∠ABC+∠BAG＝180°，
∵∠ABC＝∠BEH，∠CEB+∠BEH＝180°，
∴∠CEB+∠ABC＝180°，
∴∠BAG＝∠CEB，
∵CH⊥AB，
∴∠BHC＝90°，
∴∠ABG+∠BEH＝90°，∠ECB+∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝∠ECB，
在△BAG和△CEB中，，
∴△BAG≌△CEB（AAS），
∴AG＝BE＝10，
∴DG＝AD﹣AG＝25﹣10＝15；
（2）证明：过点F作FN⊥HF，交BA延长线于N，如图所示：
∵△BAG≌△CEB，
∴CE＝AB，
∵∠ABG+∠BAC＝∠ECB+∠ABC＝90°，∠ABG＝∠ECB，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC，
∵CH⊥AB，
∴∠ACH＝∠ECB＝∠ABG，
在△ABF和△ECF中，，
∴△ABF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
∵∠HFN＝∠EFA＝90°，
∴∠AFN＝∠EFH，
∵∠BAC＝∠ABC，∠ABC＝∠BEH，
∴∠NAF＝∠HEF，
在△ANF和△EHF中，
，
∴△ANF≌△EHF（ASA），
∴HE＝AN，HF＝NF，
∴△HFN是等腰直角三角形，
∴HN＝HF，
∴HA+AN＝HA+HE＝HF，
∴HA＝HF﹣HE．
5．如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，AD＝AC，过点D作DF⊥AC交BC于点F，交AC于点E，连接AF．
（1）若AE＝4，DE＝2EC，求EC的长．
（2）延长AC至点H，连接FH，使∠H＝∠EDC，若AB＝AF＝FH，求证：FD+FC＝AD．
【解答】（1）解：设EC＝x，则DE＝2x，AD＝AC＝AE+EC＝4+x，
∵DF⊥AC，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：（2x）2+42＝（4+x）2，
解得：x＝，或x＝0（舍去），
∴EC＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵AB＝AF＝FH，
∴CD＝FH，
∵DF⊥AC，
∴∠DEC＝∠HEF＝90°，
在△DEC和△HEF中，，
∴△DEC≌△HEF（AAS），
∴EC＝EF，DE＝EH，
∵DF⊥AC，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF＝45°，
∵AF＝FH，DF⊥AC，
∴AE＝HE＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAC＝45°，DE＝AD，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠EDC＝∠H＝22.5°，
∴∠CFH＝∠EF﹣∠H＝22.5°＝∠H，
∴CF＝CH，
∴EF+FC＝EC+CH＝EH＝DE，
∴FD+FC＝DE+EF+FC＝DE+DE＝2DE＝AD．
6．在平行四边形ABCD中，点E是AD边上的点，连接BE．
（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC＝8，ED＝3，求平行四边形ABCD的周长；
（2）如图2，点F是平行四边形外一点，FB＝CD．连接BF、CF，CF与BE相交于点G，若∠FBE+∠ABC＝180°，点G是CF的中点，求证：2BG+ED＝BC．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝8﹣3＝5，
∴AB＝5，
∴平行四边形ABCD的周长＝2AB+2BC＝2×5+2×8＝26；
（2）证明：连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，如图2所示：
则∠FBG＝∠CKG，
∵点G是CF的中点，
∴FG＝CG，
在△FBG和△CKG中，，
∴△FBG≌△CKG（ASA），
∴BG＝KG，CK＝BF＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，
∵∠FBE+∠ABC＝180°，
∴∠FBE+∠D＝180°，
∴∠CKB+∠D＝180°，
∴∠EKC＝∠D，
∵∠BAE+∠D＝180°，
∴∠CKB＝∠BAE，
在△AEB和△KBC中，，
∴△AEB≌△KBC（AAS），
∴BC＝BE，
∴∠KEC＝∠BCE，
∴∠KEC＝∠DEC，
在△KEC和△DEC中，，
∴△KEC≌△DEC（AAS），
∴KE＝ED，
∵BE＝BG+KG+KE＝2BG+ED，
∴2BG+ED＝BC．
7．在平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连接CE，交对角线BD于点F，过点A作AB的垂线交BD的延长线于点G，过B作BH垂直于CE，垂足为点H，交CD于点P，2∠1+∠2＝90°．
（1）若PH＝2，BH＝4，求PC的长；
（2）若BC＝FC，求证：GF＝PC．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BCH＝∠2，
∴∠BCP＝∠2+∠1，
∵2∠1+∠2＝90°．
∴∠BCP＝90°﹣∠1，
∵BH⊥CE，
∴∠BPC+∠1＝90°，
∴∠BPC＝90°﹣∠1，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴BC＝BP＝BH+PH＝4+2＝6，
∴CH2＝BC2﹣BH2＝62﹣42＝20，
∴PC＝＝＝2；
（2）证明：由（1）得：BC＝BP＝AD，
∴四边形ABPD是等腰梯形，
∴∠DAB＝∠PBA，
∵CD∥AB，
∴∠PBA＝∠BPC，
∵BH⊥CE，
∴∠1＝90°﹣∠BPC＝90°﹣∠PBA＝90°﹣∠DAB＝∠DAG，
∵AD＝BC，BC＝FC，
∴AD＝FC，∠CBF＝∠CFB，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠CBF，
∴∠EDF＝∠CFB＝∠EFD，
∴∠ADG＝∠CFD，
在△DAG和△FCD中，，
∴△DAG≌△FCD（ASA），
∴AG＝CD＝AB，DG＝FD，
∵AG⊥AB，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴∠DBA＝∠G＝45°，
作FM⊥CD于M，BN⊥CD于N，如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠DBA＝45°，
∴△DMF是等腰直角三角形，
∴DM＝FM，DF＝FM，
∵BN⊥CD，BH⊥CE，
∴由三角形内角和定理得：∠1＝∠PBN，
在△CFM和△BPN中，，
∴△CFM≌△BPN（AAS），
∴FM＝PN，
∵BC＝BP，BN⊥CD，
∴PN＝CN，
∴PC＝2PN＝2FM＝DF，
∴PC＝2DF，
∴GF＝2DF＝PC
8．如图．在平行四边形ABCD中（BC＞AB），过A作AF⊥BC，垂足为F，过C作CH⊥AB，垂足为H，交AF于G，点E为FC上一点，且GE⊥ED．
（1）若FC＝2BF＝4，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积；
（2）若AF＝FC，F为BE中点，求证：ED＝（AD+AG）．
【解答】（1）解：∵FC＝2BF＝4，
∴BF＝2，
∴BC＝BF+FC＝2+4＝6，
∵AF⊥BC，
∴AF＝＝＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AF＝6×4＝24；
（2）证明：∵AF⊥BC，CH⊥AB，
∴∠AFB＝∠CFG＝∠AHG＝90°，∠BAF+∠ABF＝∠GCF+∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝∠GCF，
在△ABF和△CGF中，，
∴△ABF≌△CGF（ASA），
∴AB＝CG，BF＝GF，
∵F为BE中点，
∴BF＝EF＝GF，
∵AF＝CF，
∴AG＝CE，
连接AC，如图所示：
∵CH⊥AB，AB∥CD，
∴∠GCD＝90°，
∵∠AGC＝∠AHG+∠BAF＝90°+∠BAF，∠ECD＝∠GCD+∠GCF＝90°+∠GCF，
∴∠AGC＝∠ECD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝DC，
∴CG＝DC，
在△AGC和△ECD中，，
∴△AGC≌△ECD（SAS），
∴AC＝ED，
∵AF⊥BC，AF＝CF，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴ED＝AC＝CF，
∵AD+AG＝BC+CE＝CF+BF+CE＝CF+EF+CE＝2CF，
∴CF＝（AD+AG），
∴ED＝CF＝（AD+AG）．
9．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AB＝BC，过点A作BC的垂线交BC于点E，交BD于点M，∠ABC＞60°．
（1）若ME＝3，BE＝4，求EC的长度．
（2）如图，延长CE至点G；使得EC＝GE；过点G作GF垂直于AB的延长线于点H，交AE的延长线于点F，
求证：AE＝GF+EF．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BOC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，
∴∠MBE+∠ACE＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠BEM＝90°，∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠MBE＝∠CAE，
∴△MBE∽△CAE，
∴＝＝，
MB＝＝＝5，
∴＝＝，
设CE＝3k，则CA＝5k，
∴CO＝AC＝，
CB＝CE+EB＝3k+4，
∵sin∠OBC＝＝，sin∠MBE＝＝，∠MBE＝∠OBC，
∴＝，
∴k＝，
∴CE＝3k＝；
（2）证明：连接CM，如图2所示：
∵AE⊥BC，BO⊥AC，AE与BO交于M，
∴M是△ABC的三条高的交点，即CM⊥AB，
∵GH⊥AB，
∴GH∥CM，即GF∥CM，
∴∠CME＝∠GFE，
在△CME和△GFE中，，
∴△CME≌△GFE（AAS），
∴CM＝GF，EM＝EF，
∵BD⊥AC，OA＝OC，
∴MC＝MA，
∴GF＝MA，
∵AE＝AM+ME，
∴AE＝GF+EF．
10．在平行四边形ABCD中，CE⊥BA，交BA的延长线于点E．
（1）如图1，连接AC，若AC＝2，AE＝2，BC＝10，求▱ABCD的面积．
（2）如图2，延长CD至点G，使得CD＝DG，连接BG交AD于点F，连接EF，FC．求证：EF＝CF．
【解答】（1）解：∵CE⊥BA，AC＝2，AE＝2，
∴CE＝＝＝6，
∴BE＝＝＝8，
∴AB＝BE﹣AE＝8﹣2＝6，
∴▱ABCD的面积＝AB×CE＝6×6＝36；
（2）证明：过F作MN⊥CD于M，交BA延长线于N，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，
∵CE⊥BA，MN⊥CD，
∴四边形MNEC是矩形，
∴EN＝CM，
∵DF∥BC，CD＝DG，
∴BF＝GF，△BFN∽△GFM，
∴＝＝1，
∴FN＝FM，
在△EFN和△CFM中，，
∴△EFN≌△CFM（SAS），
∴EF＝CF．
11．在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC＝AD
（1）如图①，过点A作AE⊥于BC于E，若BC＝10，AE＝6，求AB边的长．
（2）如图②，过点C作CF⊥CD交BD于F，在▱ABCD外有一点G，连接AG，使得AG＝2OF且∠BAG＝∠BFC，连接BG、DG，若CD＝CF，求证：BG⊥BC．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，
∴AD＝AC＝BC＝10，
∵AE⊥AC，
∴CE＝＝＝8，
∴BE＝BC﹣CE＝10﹣8＝2，
由勾股定理得：AB＝＝＝2；
（2）证明：延长CF交AB于H，如图②所示：
∵CD＝CF，CF⊥CD，
∴△FCD是等腰直角三角形，
∴∠DFC＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD，AB＝CD，AB∥CD，
∴CH⊥AB，
∵∠HFB＝∠DFC＝45°，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∵AD＝AC＝BC，
∴△ACB是等腰三角形，
∴CH垂直平分AB，
∴AH＝BH＝AB，
设AB＝CD＝a，则BH＝HF＝a，BF＝BH＝a，CF＝CD＝AB＝a，DF＝CD＝a，
∴BD＝BF+DF＝a+a＝a，
∴OF＝BD﹣BF＝×a﹣a＝a，
∴BF＝2OF＝AG，
在△GAB和△BFC中，，
∴△GAB≌△BFC（SAS），
∴∠GBA＝∠BCF，
∵∠BCF+∠ABC＝90°，
∴∠GBA+∠ABC＝90°，即∠GBC＝90°，
∴BG⊥BC．
12．已知点P是平行四边形ABCD对角线BD上的一点，分别过点B、D作AP的垂线，垂足分别为点E、F，
（1）如图1，若点P为BD中点，∠BAP＝30°，AD＝5，CD＝8，求AF的长；
（2）如图2，若点E在CD上，BE＝DE，延长DF至G，使DG＝AB，点H在BD上，连接AH、GH、EH、FH，若∠G＝∠BAH，求证：HE＝HF．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD＝8
∵∠BAP＝30°，∠E＝90°
∴BE＝AB＝4
∵点P为BD中点
∴BP＝DP
在△BEP和△DFP中
∴△BEP≌△DFP（AAS）
∴DF＝BE＝4
在Rt△ADF中，AF＝＝＝3
∴AF的长为3；
（2）证明：设AB与DG的交点为K，连HK
∵BE⊥AP，DF⊥AP
∴BE∥DF
∴∠DBE＝∠GDH
∵BE＝DE
∴∠DBE＝∠BDE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥DC
∴∠ABH＝∠BDE
∴∠ABH＝∠GDH
在△ABH和△GDH中
∴△ABH≌△GDH（ASA）
∴BH＝HD
∵BK∥DE，BE∥DF
∴BEDK为平行四边形
又H为BD中点
∴E，H，K共线
又∠EFK＝90°
∴HF＝HE
13．在▱ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝AC，点E、F分别是CD、AC边上的点，且AF＝CE，BF的延长线交AE于点G．
（1）若DE＝2，AD＝6，求AE的长；
（2）若G是AE的中点，连接CG，求证：2BG＝BF+AE．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝6，
∵∠ABC＝45°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴ACD＝∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴CD＝AB＝AC＝BC＝3，
∵DE＝2，
∴CE＝CD﹣DE＝，
∴AE＝；
（2）证明：在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴BF＝AE，∠ABF＝∠CAE，
取BF的中点H，连接AH，如图所示：
∵∠BAF＝90°，AH＝BF＝BH，
∴∠ABF＝∠BAH，
∴∠BAH＝∠CAE，
∴∠GAH＝∠BAF＝90°，
∵∠ACE＝90°，G是AE的中点，
∴CG＝AE＝AG，
∴AH＝AG＝BH＝CG，
∴△GAH是等腰直角三角形，
∴GH＝AG＝AE，
∴AE+CG＝GH+BH＝BG，
∴2BG＝2CG+AE，
∵2CG＝AE＝BF，
∴2BG＝BF+AE．
考点三 三角形中位线
14．如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝ 4.5 ．
【解答】解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D，
∵BM为∠ABC的平分线，
∴∠CBM＝∠ABM，
∵BM⊥AG，
∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠MGB+∠CBM＝90°，
∴∠BAM＝∠MGB，
∴△ABG为等腰三角形，
∴AM＝GM．BG＝AB＝10，
同理AN＝DN，CD＝AC＝6，
∴MN为△ADG的中位线，
∴MN＝DG＝（BC﹣BG+CD）＝（BC﹣AB+AC）＝（13﹣10+6）＝4.5．
故答案为：4.5．
15．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 2.5 ．
【解答】解：连接DN、DB，
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，
∴BD＝＝＝5，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为5，
∴EF长度的最大值为2.5，
故答案为：2.5．
16．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞10，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝8，CE＝6，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，则线段MN的长为 5 ．
【解答】解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，
∵BD∥CH，
∴∠B＝∠NCH，∠ECH＝∠A＝90°，
在△DNB和△HNC中，
，
∴△DNB≌△HNC（ASA），
∴CH＝BD＝8，DN＝NH，
∵CH＝8，CE＝6，
∴EH＝＝10，
∵DM＝ME，DN＝NH，
∴MN＝EH＝5，
故答案为：5．
17．△ABC中，点D是BC中点，∠A＝2∠BED，AB＝9，AC﹣AE＝3，则BE＝ 7 ．
【解答】解：过点D作DF∥AC，交AB于F，
∵点D是BC中点，
∴DF＝AC，DF∥AC，BF＝AF＝AB＝，
∴∠BFD＝∠A，
∵∠A＝2∠BED，∠BFD＝∠BED+∠EDF，
∴∠EDF＝∠BED，
∴FE＝FD，
∵AC﹣AE＝3，
∴AE＝AC﹣3＝2FE﹣3，
∴FE+2FE﹣3＝，
解得，FE＝，
∴BE＝BF+FE＝7，
故答案为：7．
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