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第14讲 一次函数、二次函数背景下的存在性问题(练透)-【讲通练透】中考数学二轮(全国通用)
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【2022讲通练透】二轮第十四讲 一次函数、二次函数背景下的存在性问题考点一 等腰三角形存在性考点二 直角三角形存在性考点三 平行四边形存在性
考点一 等腰三角形存在性 1.如图1,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点B(0,3),与正比例函数y=x的图象交于点C.(1)求一次函数的解析式及点C的坐标;(2)在y轴上是否存在一点P,使△BCP是等腰三角形,若存在,请直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由;(3)如图2,过点C作CD⊥x轴于点D,点E是线段OD上一点,F是y轴正半轴上一点,且∠ECF=45°,连接EF,求△OEF的周长.2.如图所示,一次函数y=x+的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,以线段AB为直角边在第二象限内作Rt△ABC,且使∠ABC=30°.(1)求△ABC的面积;(2)如果在第一象限内有一点P(m,),试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积,并求当△APB与△ABC面积相等时m的值;(3)在坐标轴上是否存在点Q,使△QAB是等腰三角形?若存在,请写出所有可能的点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 3.如图,在平面直角坐标系中,点A(1,m)是直线y=﹣x﹣2上一点,点A向上平移5个单位长度得到点B.(1)求点B的坐标;(2)在直线y=﹣x﹣2上是否存在一点C,使得△ABC是直角三角形,若存在,求出C点坐标;若不存在,说明理由;(3)若一次函数y=kx﹣2图象与线段AB存在公共点D,直接写出k的取值范围.4.如图,一次函数y=x+2的图象与x轴和y轴分别交于点A和B,直线y=kx+b经过点B与点C(2,0).(1)点A的坐标为 ;点B的坐标为 ;(2)求直线y=kx+b的表达式;(3)在x轴上有一动点M(t,0),过点M作x轴的垂线与直线y=x+2交于点E,与直线y=kx+b交于点F,若EF=OB,求t的值.(4)当点M(t,0)在x轴上移动时,是否存在t的值使得△CEF是直角三角形?若存在,直接写出t的值;若不存在,直接答不存在. 考点二 直角三角形存在性 5.在学习一元一次不等式与一次函数中,小明在同一个坐标系中发现直线l1:y1=kx+b(k≠0)与x轴交于点A且与直线l2:y2=x交于点B,并且有如下信息:①当x>2时,y1<y2;当x<2时,y1>y2.②当y1<0时,x<﹣4.根据信息解答下列问题:(1)求直线l1的表达式.(2)过点A的直线l3:y3=与直线l2交于点C,求△ABC的面积.(3)若点D是x轴上的动点,点E是直线AB上的动点,是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的D点坐标.若不存在,请说明理由.6.如图1,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+1与y轴交于点A,过B(6,1)的直线l2与直线l1交于点C(m,﹣5).(1)求直线l2的解析式;(2)若点D是第一象限位于直线l2上的一动点,过点D作DH∥y轴交l1于点H.当DH=8时,试在x轴上找一点E,在直线l1上找一点F,使得△DEF的周长最小,求出周长的最小值;(3)如图2,将直线l2绕点A逆时针旋转90°得到直线l3,点P是直线l3上一点,到y轴的距离为2且位于第一象限.直线l2与x轴交于点M,与y轴交于点N,将△OMN沿射线NM方向平移2个单位,平移后的△OMN记为△O'M'N'.在平面内是否存在一点Q,使得以点M′,C,P,Q顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.7.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+x+c与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),其中A(﹣,0),tan∠ACO=.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点D为直线BC上方抛物线上一点,连接AD、BC交于点E,连接BD,记△BDE的面积为S1,△ABE的面积为S2,求的最大值;(3)如图2,将抛物线沿射线CB方向平移,点C平移至C′处,且OC′=OC,动点M在平移后抛物线的对称轴上,当△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形时,请直接写出点M的坐标.8.如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点,且点B的坐标为(2,0),与y轴交于点C,抛物线对称轴为直线x=﹣.连接AC,BC,点P是抛物线上在第二象限内的一个动点.过点P作x轴的垂线PH,垂足为点H,交AC于点Q.过点P作PG⊥AC于点G.(1)求抛物线的解析式.(2)求△PQG周长的最大值及此时点P的坐标.(3)在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以B,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 考点三 平行四边形存在性9.已知抛物线L经过点A(﹣1,0)和B(3,0)与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)平移抛物线L,使平移后的抛物线经过点B,与x轴的另一个交点为Q,与y轴交于点P,同时满足△BPQ是直角三角形,请你写出平移过程并说明理由.10.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3),点P为直线BC下方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式;(2)当△PBC的面积最大时,求点P的坐标,并求这个最大面积;(3)试探究:是否存在点P,使△PBC为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.11.如图,抛物线与y轴交于点A(0,1),过点A的直线与抛物线交于另一点B(3,),过点B作BC⊥x轴,垂足为C.(1)求抛物线的表达式;(2)点P是x轴正半轴上的一动点,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N,设OP的长度为m.①当点P在线段OC上(不与点O、C重合)时,试用含m的代数式表示线段PM的长度;②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,求m的值.12.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(﹣2,0),B(5,0),点C在抛物线上,且直线AC与x轴形成的夹角为45°.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)若点P为直线AC上方抛物线上的动点,求点P到直线AC距离的最大值;(3)将满足(2)中到直线AC距离最大时的点P,向下平移4个单位长度得到点Q,将原抛物线向右平移2个单位长度,得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0),M为平移后抛物线上的动点,N为平移后抛物线对称轴上的动点,是否存在点M,使得以点C,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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