高中数学高考专题07 不等式-备战2019年高考数学（文）之纠错笔记系列（解析版）

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易错点1 忽视不等式隐含条件致误

设，若1≤≤2,2≤≤4，则的取值范围是________．
【错解】由得，①＋②得：， ②−①得：.
由此得4≤=4a−2b≤11，所以的取值范围是[4,11]．
【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了的范围扩大．
【试题解析】解法一：设=m＋n(m、n为待定系数)，则4a−2b=m(a−b)＋n(a＋b)，即4a−2b=(m＋n)a＋(n−m)b，于是得，解得.∴=3＋．
又∵1≤≤2,2≤≤4，∴5≤3＋≤10，即5≤≤10.
解法二：由，得，∴=4a−2b=3＋．
又∵1≤≤2,2≤≤4，∴5≤3＋≤10，即5≤≤10.
解法三：由题意，得，确定的平面区域如图中阴影部分所示.

当=4a−2b过点时，取得最小值；
当=4a−2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3−2×1=10，∴5≤≤10.
【答案】

（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；
（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围．

1．已知，满足，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A

【名师点睛】本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决． 学科%网
易错点2 忽略不等式性质成立的条件


给出下列命题：
①若,则； ②若，则；
③若且,则； ④若,则.
其中正确命题的序号是 .
【错解】①,又,则，故①正确；②当时，,故②不正确；
③正确；④由知,∴，故,故④不正确.故填①③.


不等式的性质的几点注意事项
(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，bbc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．
(3)“a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n>1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，a>b>0”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现“3－1>2－1”的错误结论；假如去掉“b>0”这个条件，取a＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现“32>(－4)2”的错误结论．

2．下列不等式中，正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A

【名师点睛】本题考查不等式的性质，注意正、负号的应用.根据不等式的性质和代特殊值逐一排除即可.
错点3 忽略对二次项系数的讨论导致错误


已知关于x的不等式mx2＋mx＋m－1＜0恒成立，则m的取值范围为______________．
【错解】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0对一切实数x都成立， 学科%网
所以m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，
解得m＜0．故实数m的取值范围为(－∞，0)．
【错因分析】由于本题中x2的系数含有参数，且当m＝0时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨论m的值是否为0．而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解．
【试题解析】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0对一切实数x都成立，
当m＝0时，－1＜0恒成立；当m≠0时，易知m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得m＜0．
综上，实数m的取值范围为(－∞，0]．
【答案】(－∞，0]

解一元二次不等式的一般步骤
一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
二判：计算对应方程的判别式．
三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．

3．已知命题“”为真命题,则实数的取值范围是__________.
【答案】

【名师点睛】不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，或当时，；不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，或当时，．

解不等式恒成立问题的技巧
(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
易错点4 解含参不等式时不能正确分类导致错误

解不等式．

【错因分析】显然当a＝0时，原不等式是不成立的，故上述求解过程是错误的．实际上错解中的变形非同解变形，因为a－1的符号是不确定的，错解中仅考虑了当a－1＞0时的情况．
【试题解析】显然当时，原不等式是不成立的． 学科……网
当a≠0时原不等式可化为，即，
等价于(*)，
当时，(*)式可转化为，即，即．
当时，(*)式可转化为．
当时，(*)式可转化为．
又当时，，
所以当或时，；
当时，．
综上，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．

在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小．在不等式转化的过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全而出错．

4．已知，其中.
（1）解关于的不等式；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的范围.
【答案】（1）见解析；（2）.

【名师点睛】（1）本题主要考查一元二次不等式的解法和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.
（2）解答第2问的关键是转化，先转化为恒成立，再转化为恒成立，即得m的取值范围.

解含有参数的一元二次不等式的步骤：
(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
易错点5 不能准确把握目标函数的几何意义致误

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x−2y的最小值为
A．−5 B．−4
C．−2 D．3
【错解】不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当直线z=3x−2y平移到过点(1,0)时取得最小值，即zmin=3×1−2×0=3.故选D.

【错因分析】本题易出现以下两个错误：一是理所当然地把目标函数“z”跟“截距”画上等号，没有正确理解目标函数的意义致错；二是不能正确区分直线斜率的“陡峭”程度，导致最优解不正确，相应地导致目标函数的最小值求解错误．
【试题解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，结合图形，可知当直线3x−2y=z平移到过点(0,2)时，z=3x−2y的值最小，最小值为−4，故选B.


形如z=Ax＋By(B≠0)，即，为该直线在y轴上的截距，z的几何意义就是该直线在y轴上截距的B倍，至于z与截距能否同时取到最值，还要看B的符号．

5．若实数，满足约束条件则的最大值是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由实数，满足约束条件作出可行域，如图. 学.科网

，，联立解得，
的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值为.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查了简单的线性规划和二元一次不等式组，在求目标函数的最值时根据的几何意义，将其转化为点到点距离的平方，从而得到结果
易错点6 忽略等号成立的一致性导致错误

若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则的最小值为_______________．
【错解】因为x＞0，y＞0，所以1＝x＋2y≥，即8xy≤1，即xy≤，故≥8．
因为≥，所以≥．故的最小值为．


连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．

6．若正数满足，则的最大值为
A． B．
C． D．
【答案】A

【名师点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题.

一、不等关系与不等式
1．比较大小的常用方法
（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．
注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.
（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论．
注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.
（3）介值比较法：
①介值比较法的理论根据是：若a>b,b>c,则a>c，其中b是a与c的中介值.
②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.
2．不等式的性质及应用
（1）应用不等式性质解题的指导思想：理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性.
（2）解决此类问题常用的两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
3．求代数式的取值范围的一般思路
（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
（3）结合不等式的传递性进行求解；
（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.
二、一元二次不等式及其解法
1．解一元二次不等式的一般步骤
（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
（2）二判：计算对应方程的判别式．
（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
（4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
2．解含有参数的一元二次不等式的步骤
（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
3．解不等式恒成立问题的技巧
（1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即
①若在定义域内存在最大值，则(或)恒成立(或);
②若在定义域内存在最小值，则(或)恒成立(或);
③若在其定义域内不存在最值，只需找到在定义域内的最大上界(或最小下界)，即在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的，只是等号均可以取到.
（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
4．已知不等式的解集求参数的解题方法
已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”间的关系.其解题的一般思路为:
（1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号;
（2）由根与系数的关系，或直接代入方程，求出参数值或参数之间的关系，进而求解.
5．简单分式不等式的解法
若与是关于的多项式，则不等式(或c,则a+b>c”是假命题,则它的否定“设存在实数a,b,c．若a>b>c,则a+b≤c”是真命题.
由于a>b>c,所以a+b>2c,又a+b≤c,所以c