高中数学高考专题06 数列-备战2019年高考数学（理）之纠错笔记系列（解析版）

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易错点1 忽略了n的取值

已知数列满足，求数列的通项公式．
【错解】由，可得两式相除可得．
【错因分析】仅适用于且时的情况，故不能就此断定就是数列的通项公式．
【试题解析】当时，；当时，由，可得两式相除可得，故

已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法
(1)形如an＋1＝anf(n)，常用累乘法，即利用恒等式an＝a1···…·求通项公式．
(2)形如an＋1＝an＋f(n)，常用累加法．即利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)求通项公式．
(3)形如an＋1＝ban＋d(其中b，d为常数，b≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造an＋1＋x＝b(an＋x)(其中x＝)，则{an＋x}是公比为b的等比数列，利用它即可求出an.学科&网
(4)形如an＋1＝(p，q，r是常数)的数列，将其变形为＝·＋.
若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项；
若p≠r，则采用(3)的办法来求．
(5)形如an＋2＝pan＋1＋qan(p，q是常数，且p＋q＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为an＋2－an＋1＝(－q)·(an＋1－an)，则{an－an－1}(n≥2，n∈N*)是等比数列，且公比为－q，可以求得an－an－1＝f(n)，然后用累加法求得通项．
(6)形如a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)的式子，
由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，①
得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)，②
再由①－②可得an.
(7)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可．
(8)形如an·an＋1＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2·an＋1＝f(n＋1)，两式作商可得，然后分奇、偶讨论即可．
(9)an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)型，将方程的两边同时除以an＋1an，可构造一个等差数列．
具体步骤：对an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)两边同时除以an＋1an，得到－＝q，即
－＝－q，
令bn＝，则{bn}是首项为，公差为－q的等差数列.
(10)an＝pa(n≥2，p>0)型，一般利用取对数构造等比数列．
具体步骤：对an＝pa两边同取常用对数，得到lg an＝rlg an－1＋lg p，令bn＝lg an，则{bn}可归为an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型.

1．数列的前项和满足，则数列的通项公式为_____________.
【答案】

【名师点睛】本题考查的知识点是数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n项和Sn，求通项公式的方法：和步骤是解答本题的关键．由已知中的前项和，结合，分别讨论时与时的通项公式，并由时，的值不满足时的通项公式，故要将数列的通项公式写成分段函数的形式．学.科网
易错点2 忽略数列中为0的项


设等差数列的前n项和为，公差为d，且满足，，则当最大时，__________．
【错解】由，得，即，由可知，解不等式组即得．又，故当时最大．
【错因分析】由于，所以，当或时最大，错解中忽略了数列中为0的项．
【试题解析】 【正解1】由，得，即，由可知，解不等式组即得．故当或时最大．
【正解2】由，可得，所以，由并结合对应的二次函数的图象知，当或时最大．学科&网
【正解3】由，得，即，，由可知，故当或时最大．

数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题
1．等差数列的前n项和与函数的关系
等差数列的前n项和公式为可变形为Sn＝n2＋n，令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn.
当A≠0，即d≠0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题．
2．等差数列前n项和的最值
(1)若等差数列的首项a1>0，公差d0，d0，q≠1.
∵，
则，
∴
当且仅当q3=2,即时取等号.
∴S9−S6的最小值为20.
15．在数列中，且，，则的通项公式为__________．
【答案】
【解析】在数列中，，，
，
，

，
上式相加：.
.学*科网
16．已知等差数列，若，，且，则公差__________．
【答案】或

（2）若，则
又，
，得，．
故答案为0或6．
17．（2018年理数全国卷II）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）an=2n–9；（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n项和公式得关于n的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
18．已知等差数列满足，前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足， ，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2） ．

19．设，，数列满足：且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）由题意知： ，
又，∴，
∴是以4为首项， 2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，故.
，
∴，
，
，
……
.
累加得： ，


，
即.
而，∴. 学*科网
20．[2018浙江卷]已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（1）求q的值；
（2）求数列{bn}的通项公式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.

（2）设，数列前n项和为.
由解得.

设，
所以，
因此，
又，所以.
【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

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