高中数学高考专题05 平面向量-备战2019年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版）

这是一份高中数学高考专题05 平面向量-备战2019年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版），共17页。

给出下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等.
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反.
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.
④零向量与任意数的乘积都为零.
其中不正确命题的序号是 .
【错解】④
【错因分析】解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．学%￥科网
【试题解析】①与是相反向量、模相等，正确；②由零向量的方向是任意的且与任意向量平行，不正确；③相等向量大小相等、方向相同，又起点相同，则终点相同，正确；④零向量与任意数的乘积都为零向量，不正确，故不正确命题的序号是②④.
【参考答案】②④
解决向量的概念问题应关注六点：
（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.
（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
（3）共线向量即平行向量，它们均与起点无关.
相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量.
（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.
（5）非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量.
（6）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.
1．下列命题正确的是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】A中,两个向量的模相等,但是方向不一定相同,所以不正确；
B中,两个向量不能比较大小,所以错误；
C中,向量平行只能得到方向相同或相反,不能得到向量相等,所以错误；
D中,如果一个向量的模等于0,则这个向量是 .
易错点2 忽视平行四边形的多样性失误
已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），求第四个顶点的坐标.
【错解】设A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y），∵四边形ABCD为平行四边形，∴=，又∵=（4，0），=（1－x，－5－y），∴，解得x=－3，y=－5，∴第四个顶点的坐标为（－3，－5）.
【错因分析】此题的错解原因为思维定势，错误的认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现了漏解.实际上，题目的条件中只给出了平行四边形的三个顶点，并没有给出相应的顺序，故可能有三种不同的情形.
【试题解析】如图所示，设A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y）.
若四边形ABCD1为平行四边形，则=，而=（x＋1，y），=（－2，－5）.
由=，得，∴，∴D1（－3，－5）.
若四边形ACD 2B为平行四边形，则=.而=（4，0），=（x－1，y＋5）.
∴，∴，∴D2（5，－5）.
③若四边形ACBD3为平行四边形，则=.而=（x＋1，y），=（2，5），∴，∴，∴D3（1，5）.
综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为（－3，－5）或（5，－5）或（1，5）.
1．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．
2．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
2．若四边形满足，则该四边形一定是
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．直角梯形
【答案】A
错点3 忽视两向量夹角的范围
已知向量
（1）若为锐角，求的取值范围；
（2）当时，求的值.
【错解】（1）若为锐角，则且不同向.
，∴.
（2）由题意，可得，
又，
，
即，
解得或.
【错因分析】（1）利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向情况；
（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．.
【试题解析】（1）若为锐角，则且不同向.
，∴.
当时，同向,.
即若为锐角，的取值范围是{x|且}.
【参考答案】（1）{x|且}；（2）或.
1.两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．
2.两向量夹角的范围为[0，π]，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.
3.在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．
3．已知向量,且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵与的夹角为钝角，
∴，即，
∴.
又当与反向时，夹角为180°，即，则，解得.
应该排除反向的情形，即排除，
于是实数λ的取值范围为.
【误区警示】依据两向量夹角θ的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为0°时,;当夹角为180°时,,这是容易忽略的地方.
1．在求的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如在等边三角形ABC中，与的夹角应为120°而不是60°.
2．在平面向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，a⊥b.
3．实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c.
4．实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
易错点4 三角形的“四心”的概念混淆不清
已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足，λ∈（0，＋∞），则点P的轨迹一定通过的]
A．内心B．外心
C．重心D．垂心
【错解】A
【错因分析】对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等.
【试题解析】由原等式，得=，即=，
根据平行四边形法则，知是的中线AD（D为BC的中点）所对应向量的2倍，
所以点P的轨迹必过的重心，故选C.
【参考答案】C
三角形的“四心”与平面向量
1. 重心. 若点G是的重心，则0或（其中P为平面内任意一点）.反之，若0，则点G是的重心.
2. 垂心. 若H是的垂心，则或.反之，若，则点H是的垂心.
3. 内心. 若点I是的内心，则有=0.反之，若=0，则点I是的内心.
4. 外心. 若点O是的外心，则=0或.反之，若，则点O是的外心.
4．G是的重心，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，则角
A．90° B．60°
C．45° D．30°
【答案】D
【解析】因为G是的重心，所以有.又，所以a∶b∶eq \f(\r(3),3)c＝1∶1∶1，设c＝eq \r(3)，则有a＝b＝1，由余弦定理可得，csA＝eq \f(1＋3－1,2\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，所以A＝30°，故选D.
向量与三角形的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等变形问题或解三角形问题．
一、平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
2．向量的线性运算
3．共线向量定理及其应用
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b=λa.
[提醒]限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．
二、平面向量基本定理及坐标表示
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.
3.平面向量的坐标运算
（1）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）.
（2）向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），
|a|=，|a＋b|=.
（3）平面向量共线的坐标表示
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1=0.
（4）向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
三、平面向量的数量积
1.平面向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cs θ叫作a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=|a||b|cs θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a=0.
（2）几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积.
2.平面向量数量积的运算律
（1）a·b=b·a（交换律）.
（2）λa·b=λ（a·b）=a·（λb）（结合律）.
（3）（a＋b）·c=a·c＋b·c（分配律）.
3.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ为向量a，b的夹角.
（1）数量积：a·b=|a||b|cs θ=x1x2＋y1y2.
（2）模：|a|==.
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离|AB|==.
（4）夹角：cs θ== .
（5）已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2＋y1y2=0，a∥b⇔a·b=±|a||b|.
（6）|a·b|≤|a||b|（当且仅当a∥b时等号成立）⇔|x1x2＋y1y2|≤.
|a|=，|a＋b|=
四、平面向量的应用
1.向量在平面几何中的应用
若a=（x1，y1），b=（x2，y2），
（1）a∥b⇔a=λb（b≠0）⇔x1y2－x2y1=0.
（2）a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
（3）cs θ==.
2.向量在三角函数中的应用
向量与三角的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等变形问题或解三角形问题.
3.向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，主要是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答.
4.向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题.
1．已知两点，则与向量同向的单位向量是
A．±（） B．
C． D．
2．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于
A．B．
C．D．
3．已知，若，则
A． B．
C． D．
4．设向量，且，则的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
5．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知向量，满足，，则
A．4B．3
C．2D．0
6．（2018新课标全国Ⅰ理科）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A．5 B．6
C．7 D．8
7．（2018浙江）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是
A．−1B．+1
C．2D．2−
8．（2018年高考新课标Ⅰ卷理科）在中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
9．（2017年高考北京卷）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．双曲线的左，右焦点分别为，，为右支上一点，且，则双曲线的离心率为
A．3 B．5
C． D．
11．设向量，满足且，则向量在向量方向的投影为
A．-2 B．-1
C．1 D．2
12．在中，是线段的三等分点，则的值为
A． B．
C． D．
13．如图，在中，点在边上，且，点在边上，且，则用向量表示为
A． B．
C． D．
14．（2017年高考浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记，，，则
A．B．
C． D．
15．（2017新课标II理）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．
C． D．
16．（2017新课标Ⅲ理）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为
A．3 B．2
C． D．2
17．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知向量，，．若，则________．
18．平面向量满足，且||=2，||=4，则与的夹角等于___________．
19．已知向量，如果，那么的值为___________．
20．（2017新课标I理）已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=___________．
21．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，且，则的值是 ．
22．（2017年高考天津卷）在中，，，．若，
，且，则的值为___________．
23．在中，是内一点，且，若，则的最大值为___________．
24．（2017年高考山东卷）已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是___________．
25．（2017年高考浙江卷）已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是___________．
26．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则_________．
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