高中数学高考全国通用版2019版高考数学一轮复习第十六单元算法初步复数推理与证明学案文

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第十六单元 算法初步、复数、推理与证明
教材复习课“算法初步、复数、推理与证明”相关基础知识一课过

算法的三种结构
[过双基]
三种基本逻辑结构
名称
内容 　
顺序结构
条件结构
循环结构
定　义
由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构
从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体
程　序　框　图



　　
1．(2018·成都质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是(　　)

A．－　　　　　　　 B．0
C. D．336
解析：选C　由框图知输出的结果
s＝sin＋sin＋…＋sin，
因为函数y＝sinx的周期是6，
所以s＝336＋sin＋sin＝336×0＋＋＝.
2．执行如图所示的程序框图．若输出y＝－，则输入的角θ＝(　　)

A. B．－
C. D．－
解析：选D　由输出y＝－2? B．n>3?
C．n>4? D．n>5?
解析：选B　运行程序：p＝1，n＝0；n＝1，p＝2；n＝2，p＝6；n＝3，p＝15；n＝4，p＝31，根据题意，此时满足条件，输出p＝31，即n＝3时不满足条件，n＝4时满足条件，故选B.
[清易错]

1．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．
2．易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．
某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则a＝________.

解析：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝1＋＋＋…＋
＝1＋1－＋－＋…＋－
＝2－.
若该程序运行后输出的值是，
则2－＝， 解得a＝3.
答案：3

复数的基本运算
[过双基]
1．复数的有关概念
名称
内容
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为，虚部为
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)

共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)

复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝
(c＋di≠0)．

1．(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则＝(　　)
A．1 B．－1
C.＋i D.－i
解析：选D　∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，
∴＝＝－i.
2．若复数z满足(1＋i)z＝|＋i|，则在复平面内，对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　　 　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A　由题意，得z＝＝＝1－i，所以＝1＋i，其在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．
3．复数(i为虚数单位)实部与虚部的和为(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－2
解析：选A　因为＝＝1＋i，所以复数(i为虚数单位)实部与虚部的和为2.
4．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.
解析：∵＝＝＝＝2－i，
∴z＝2＋i.
答案：2＋i
[清易错]
1．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
2．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2b>c，且a＋b＋c＝0，求证：0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)0.01；
运行第六次：S＝0.015 625，m＝0.007 812 5，n＝6，S>0.01；
运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S3；
第二次循环，8不能被3整除，N＝8－1＝7>3；
第三次循环，7不能被3整除，N＝7－1＝6>3；
第四次循环，6能被3整除，N＝＝25(或i≥6？)．
7．下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出y的值为3，那么应输入x＝(　　)

A．1 B．2
C．3 D．6
解析：选B　该程序的作用是计算分段函数y＝的函数值，
由题意，若x＞6，则当y＝3时，x－3＝3，解得x＝6，舍去；
若x≤2，则当y＝3时，5－x＝3，解得x＝2，
故输入的x值为2.
8．给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3，…，以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入(　　)

A．i≤30？；p＝p＋i－1
B．i≤29？；p＝p＋i＋1
C．i≤31？；p＝p＋i
D．i≤30？；p＝p＋i
解析：选D　由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故①中应填写“i≤30？”．又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，…，故②中应填p＝p＋i.
二、填空题
9．(2017·江苏高考)如图是一个算法流程图．若输入x的值为，则输出y的值是________．

解析：由流程图可知其功能是运算分段函数y＝所以当输入的x的值为时，y＝2＋log2＝2－4＝－2.
答案：－2
10．按下列程序框图来计算：

如果输入的x＝5，则应该运算________次才停止．
解析：由题意，该程序按如下步骤运行：
经过第一次循环得到x＝3×5－2＝13，不满足x＞200，进入下一步循环；
经过第二次循环得到x＝3×13－2＝37，不满足x＞200，进入下一步循环；
经过第三次循环得到x＝3×37－2＝109，不满足x＞200，进入下一步循环；
经过第四次循环得到x＝3×109－2＝325，因为325＞200，结束循环并输出x的值
因此，运算进行了4次后，输出x值而程序停止．故答案为4.
答案：4
11．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，该算法的程序框图如图所示. 执行该程序框图，若输入的x＝3，n＝3，输入的a依次为由小到大顺序排列的质数(从最小质数开始)，直到结束为止，则输出的s＝________.

解析：运行程序：
x＝3，n＝3，k＝0，s＝0；a＝2，s＝2，k＝1；a＝3，s＝9，k＝2；a＝5，s＝32，k＝3；a＝7，s＝103，k＝4，此时满足条件，循环结束，输出s＝103.
答案：103
12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是a＝________.

解析：运行程序，可得a＝10，i＝1，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝5，i＝2，不满足i≥5，满足a是奇数，a＝16，i＝3，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝8，i＝4，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝4，i＝5，满足i≥5，退出循环，输出a的值为4.
答案：4
13．已知某程序框图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为________．

解析：第一次循环结束时，n＝2，x＝3，y＝1；
第二次循环结束时，n＝4，x＝9，y＝3；
第三次循环结束时，n＝6，x＝27，y＝3.
此时满足n>4，
结束循环，输出logyx＝log327＝3.
答案：3
14．(2018·黄山调研)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝________.

解析：第一次循环，得S＝2；第二次循环，得n＝2，a＝，A＝2，S＝；第三次循环，得n＝3，a＝，A＝4，S＝；第四次循环，得n＝4，a＝，A＝8，S＝>10，结束循环，输出的n＝4.
答案：4

1．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次是A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是(　　)

图1

图2
A．6　　　 B．7　　　　C．10　　　　D．16
解析：选C　由程序框图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，
所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，
因此输出结果为10.
2．如果执行程序框图，如果输出的S＝2 550，则判断框内应填入的条件是(　　)

A．k≤50? B．k≥51?
C．k＜50? D．k＞51?
解析：选A　根据题中的程序框图，可得
该程序经过第一次循环得到S＝2，k＝2；
经过第二次循环得到S＝2＋4，k＝3；
经过第三次循环得到S＝2＋4＋6，k＝4；
……
设经过第n次循环得到2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＝2 550，
解得n＝50，
由此说明，当n＞50时不满足判断框中的条件，则正好输出S＝2 550，
∴判断框应填入的条件是k≤50？.
高考研究课(二)
数系的扩充与复数的引入的命题3角度——概念、运算、意义
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
复数的有关概念
5年4考
虚部、模等有关概念与运算结合考查
复数的几何意义
5年2考
与运算结合考查几何意义
复数的运算
5年6考
考查乘法、除法、幂的运算


复数的有关概念
[典例]　(1)设i是虚数单位．若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)
A．－3　　　　　　　　 B．－1
C．1 D．3
(2)已知复数z满足＝|2－i|，则z的共轭复数对应的点位于复平面内的(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(3)若复数 z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)
A．1 B．2
C. D.
[解析]　(1)∵复数a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，∴a＝3.
(2)∵＝|2－i|＝，∴z＝＋i，
则z的共轭复数－i对应的点(，－)位于复平面内的第四象限.
(3)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z(1＋i)＝2i，得(a＋bi)·(1＋i)＝2i，所以(a－b)＋(a＋b)i＝2i，由复数相等的条件得解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，故|z|＝＝.
法二：由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝i－i2＝1＋i，所以|z|＝＝.
[答案]　(1)D　(2)D　(3)C
　[方法技巧]
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．　
[即时演练]
1．(2017·山东高考)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋ i，z·＝4，则a＝(　　)
A．1或－1 B.或－
C．－ D.
解析：选A　法一：由题意可知＝a－i，
∴z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
法二：z·＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
2．若复数(a∈R)是纯虚数(i是虚数单位)，则复数z＝a＋(a－3)i在复平面内对应的点位于第________象限．
解析：∵＝＝＝＋i是纯虚数，
∴解得a＝2.
∴z＝2－i，在复平面内对应的点(2，－1)位于第四象限．
答案：四
3．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
解析：∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，
∴∴或
∴a2＋b2＝5，ab＝2.
答案：5　2

复数的代数运算
[典例]　(1)i为虚数单位，则2 018＝(　　)
A．－i B．－1
C．i D．1
(2)(2017·全国卷Ⅱ)＝(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
(3)(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝(　　)
A．1－i B．1＋3i
C．3＋i D．3＋3i
[解析]　(1)∵＝＝＝－i，
∴2 018＝(－i)2 018
＝(－i)2 016·(－i)2＝－1.
(2)＝＝＝2－i.
(3)(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.
[答案]　(1)B　(2)D　(3)B
[方法技巧]
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
[提醒]　在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.　　
[即时演练]
1．设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1－i D．－1＋i
解析：选A　＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
2．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.
解析：∵z＝＝
＝
＝
＝＝－＋i，
故＝－－i，
∴z·＝＝＋＝.
答案：
3．已知i是虚数单位，2 018＋6＝________.
解析：原式＝1 009＋6＝1 009＋i6＝i1 009＋i6＝i4×252＋1＋i4＋2＝i＋i2＝－1＋i.
答案：－1＋i

复数的几何意义
[典例]　(1)已知复数z＝a＋i(a∈R)．若|z|f(x1)．
∴y＝f(x)为R上的单调增函数．

1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：选D　依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.
2．(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(　　)
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
解析：选B　法一：取两个球往盒子中放有4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；
④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.
因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，
③和④的情况完全随机．
③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．
①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．
综上，选B.
法二：若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C，故选B.
3．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.
若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；
若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．
故甲的卡片上的数字是1和3.
法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.
答案：1和3
4．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．
答案：A

一、选择题
1．下面几种推理是合情推理的是(　　)
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.
A．①②④　　　　　　　　 B．①③④
C．②③④ D．①②③④
解析：选A　根据题意，依次分析4个推理：
对于①，在推理过程中由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；
对于②，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；
对于③，不是合情推理，
对于④，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理，所以是合情推理的是①②④.
2．已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形．由①②③组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是(　　)
A．正方形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等
C．正方形的对角线相等 D．以上均不正确
解析：选C　由演绎推理三段论可得，
“平行四边形的对角线相等”为大前提，
“正方形是平行四边形”为小前提，
则结论为“正方形的对角线相等”．
3．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为(　　)

A．731 B．809
C．852 D．891
解析：选B　由题意知，前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，
则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，
所以这个数是2×405－1＝809.
4．某校高二(1)班每周都会选出两位“迟到之星”，在“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是(　　)
A．小赵、小谭 B．小马、小宋
C．小马、小谭 D．小赵、小宋
解析：选A　小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，
如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；
小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，
否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；
小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，是真话；
小谭说：“小赵说的对”，是假话；
这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，
且“迟到之星”是小赵和小谭．
5．将正整数排列如下：
1
2　3　4
5　6　7　8　9
10　11　12　13　14　15　16
…
则图中数2 018出现在(　　)
A．第44行第83列 B．第45行第83列
C．第44行第82列 D．第45行第82列
解析：选D　由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 018＜2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2 018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.
6．单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(n)＝(　　)

A．3n2－3n＋1 B．3n2－3n＋2
C．3n2－3n D．3n2－3n－1
解析：选A　由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，
f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，
f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，
f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…
因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，
所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.
又f(1)＝3×12－3×1＋1＝1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.
7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．
1 　2　 3 　4 　5 … 2 015　2 016　2 017　2 018
3 　5　 7 　9 ………… 4 031　4 033　4 035
8　12　16 ……………… 8 064　8 068　
　　　　 20　28 …………………… 16 132　
………………………………　
该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(　　)
A．2 019×22 015 B．2 019×22 016
C．2 018×22 017 D．2 018×22 016
解析：选B　当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；
当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；
当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；
当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23；
归纳推理得，当第一行为2 018个数时，最后一行仅一个数，为2 019×22 016.
8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O ­ ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为(　　)
A．S2＝S＋S＋S
B．S2＝＋＋
C．S＝S1＋S2＋S3
D．S＝＋＋
解析：选A　如图，作OD⊥ BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2

＝S＋S＋S.
二、填空题
9．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：由题意知，凸函数满足
≤f，
又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝.
答案：
10．(2018·湛江一模)如图，已知点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1则＋＋＝1，类比猜想：点O是空间四面体A­BCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则有____________．

解析：猜想：若O为四面体A­BCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则＋＋＋＝1.用等体积法证明如下：＋＋＋＝＋＋＋＝1.
答案：＋＋＋＝1
11．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；
(ⅱ)女学生人数多于教师人数；
(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．
解析：令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，
则z＜y＜x＜2z.
①若教师人数为4，则4＜y＜x＜8，
当x＝7时，y取得最大值6.
②当z＝1时，1＝z＜y＜x＜2，不满足条件；
当z＝2时，2＝z＜y＜x＜4，不满足条件；
当z＝3时，3＝z＜y＜x＜6，y＝4，x＝5，满足条件．
所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.
答案：6　12
12．观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋＜________.
解析：由1＋x D．x>z>y
解析：选D　由题意知x，y，z都是正数，又x2－z2＝2－(8－4)＝4－6＝－>0，∴x>z.
∵＝＝>1，∴z>y，∴x>z>y.
2．对于定义域为D的函数y＝f(x)和常数c，若对任意正实数ξ，∃x0∈D，使得00，可知x1>－x2，f(x1)0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|－|MF2|＝2b，该双曲线的离心率为e，则e2＝(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选D　由题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，联立得即点M(a，b)，
则|MF1|－|MF2|＝－＝2b，
即－＝2，
－＝2，
化简得，e4－e2－1＝0，解得e2＝.
12．已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)，函数g(x)满足g′(x)＝f′(x)＋2f(x)，其中f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)和g(x)的导函数，若函数g(x)在[－1,1]上是单调函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，1] B.
C．(1，＋∞) D.
解析：选B　因为f′(x)＝，
所以g′(x)＝f′(x)＋2f(x)＝.
因为函数g(x)在[－1,1]上是单调函数，
所以g′(x)≥0或g′(x)≤0.
当a＝0时，g′(x)>0，满足题意；
因为ex>0，所以当a0)的最大值为3，则＋的最小值为________．
解析：

作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数z与直线在y轴上的截距的关系可知，当目标函数z＝2x－y＋2a＋b(a>0，b>0)过点A(1,0)时取得最大值3，即2a＋b＝1，则＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，当且仅当＝，即b＝2a＝2－时，＋取得最小值3＋2.
答案：3＋2
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsin B＝(2a＋c)sin A＋(2c＋a)sin C.
(1)求B的大小；
(2)若b＝，A＝，求△ABC的面积．
解：(1)∵2bsin B＝(2a＋c)sin A＋(2c＋a)sin C，
由正弦定理得，2b2＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，
化简得，a2＋c2－b2＋ac＝0.
∴cos B＝＝＝－.
∵0