2023湖北省云学新高考联盟高二下学期3月联考试题数学含解析

2022-2023学年湖北省云新数高考联盟学校高二年级下学期3月联考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  直线与直线垂直，则等于(    )A.  B.  C.  D. 2.  在数列中，，若，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知正实数，，，若，，则，，的大小关系为(    )A.  B.  C.  D. 5.  我国商用中大型无人机产业已进入发展快车道，某无人机生产公司年投入研发费用亿元，计划此后每年研发费用比上一年都增加亿元，则该公司一年的研发费用首次达到亿元是在(    )A. 年 B. 年 C. 年 D. 年6.  已知，，，，且，恒有，则实数的取值范围是．(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知为等比数列的前项和，与分别为方程的两个根，则(    )A.  B.  C.  D. 8.  希腊数学家帕普斯在他的著作数学汇篇中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆当时，轨迹为抛物线当时，轨迹为双曲线现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知曲线的方程为，下列结论正确的是(    )A. 当时，曲线为圆
B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
C. “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充要条件
D. 存在实数，使得曲线为等轴双曲线10.  公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是(    )A.  B. 时，的最小值为
C. 有最大值 D. 时，的最大值为11.  九章算术里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”在鳖臑中，，，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是(    )
 A.  B.
C. 点到平面的距离为 D. 内切球的半径为12.  已知函数，若，其中，则(    )A.  B.
C.  D. 的取值范围为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  直线与曲线相切，则          ．14.  已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则          ．15.  设是函数的一个极值点，则          ．16.  已知双曲线在一三象限的一条渐近线为，圆与交于，两点，若是等腰直角三角形，且其中为坐标原点，则双曲线的离心率为          四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分已知数列满足，是以为首项，为公差的等差数列．求的通项公式若数列的前项和，证明：． 18.  本小题分已知点和直线，点是点关于直线的对称点．求点的坐标为坐标原点，且点满足若点的轨迹与直线没有公共点，求的取值范围． 19.  本小题分如图，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，，，平面平面，为线段的中点．求证：求直线与平面所成角的正弦值．20.  本小题分抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线给出如下三个条件：焦点为准线为与直线相交所得弦长为．Ⅰ从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程Ⅱ已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由． 21.  本小题分已知正项数列的前项和为若，且求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式若，求前项和． 22.  本小题分已知函数，．讨论的单调性若函数有两个零点，求实数的范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本题考查平面内两直线垂直，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用平面内两直线垂直，得，解之即可．【解答】解：因为直线与直线垂直，
所以，
解得．
故选B．  2.【答案】 【解析】【分析】本题主要考察数列的周期性，属于基础题．【解答】解：，，，，，，
可以看出四个循环一次，故．  3.【答案】 【解析】【分析】本题考查平面的法向量，属于基础题．【解答】解：对于选项A，，
所以，
故在平面内  4.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了对数函数及其性质和利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
利用对数函数的图象得，令，利用导数研究函数的单调性和对数函数的性质得函数图象，再利用图象得或，最后综合得结论．【解答】解：因为，所以，而且，因此，
又因为，所以，因此，
令，则，
因此由得，由得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，，
因为，所以，而，
所以结合函数单调性知：或，综上所述，
故选：．  5.【答案】 【解析】【分析】本题主要考察等差数列的实际应用，考察等差数列的通项公式，属于基础题．【解答】解：
依题意，该公司每年研发费用依次成等差数列，设为，
可得，公差，
则该公司第年的研发费用为，
令，
则，
所以从年开始第年，即年的费用首次达到亿元．  6.【答案】 【解析】【分析】本题考查利用导数由函数单调性求参，属于中档题．【解答】解：由题意知 ，，且，恒有，
则在上单调递减，
设，
则恒成立，则，
令，则，
当时当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，所以．  7.【答案】 【解析】【分析】本题考查等比数列的求和与通项公式，属于基础题．
利用已知条件，求出 的两个根分别是和，分类讨论 和 的值，利用等比数列的求和和通项公式建立和的方程，解出方程，即可求解．【解答】解：方程的两个根为和，
由题意可得 或 
当 时， 无解．
当 时， 
解得 
所以  ，
故 ．  8.【答案】 【解析】【分析】本题考查圆锥曲线的定义，属于较难题．
将式子变形，根据题目意思即可求解．【解答】解：方程，，
即为，
可得，
则，
可得动点到定点和定直线的距离的比为常数，
由双曲线的定义，可得，
解得．  9.【答案】 【解析】【分析】本题考查圆、椭圆、双曲线的方程及简单的几何性质，属于中档题．【解答】解：曲线的方程为
当时，方程为，曲线为圆，所以A正确
当时，曲线为，是双曲线，其渐近线方程为，所以B正确
“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充要条件，
所以“是”曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要而不充分条件，所以不正确
若曲线为等轴双曲线，则，无解，所以不正确．  10.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查等差数列的前项和，等差数列的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
根据等差数列的单调性以及前项和的函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．【解答】解：对于：由可得 ，故等差数列的公差，故A正确；
对于：由得，数列为单调递减数列，且 ，故时，的最小值为，故B错误；
对：由得，，故是关于的开口向下的二次函数，其有最大值，没有最小值，故C正确；
对于：因为数列的前项均为正数，且，
，
时，的最大值为，故D正确；
故选：．  11.【答案】 【解析】【分析】本题考查空间几何体的基本知识，处理球的外接和内切的知识求法，考察等体积法的使用，属于较难题．【解答】解：由题可知，的中点即为的外接球的球心，
设外接球的半径为，则，得，
因为，所以，
鳖臑的体积

当且仅当时，
，故A项正确，项错误
因为三棱柱为直三棱柱，故BC平面，
所以点到平面的距离为，故C项正确
设的内切球半径为，由等体积法

，得，
所以，故D项正确．  12.【答案】 【解析】【分析】本题考查利用导数求函数单调区间，及利用导数研究方程的根问题，属于较难题．【解答】解：因为，所以，
令，解得：或，
当时，或，所以单调递增区间为和
当时，，所以单调递减区间为，
的图象如右图所示
设，则，，故选项A错误
又，所以，
即，
对照系数得，故选项C正确
，故选项D正确
因为，所以，解得，故选项B正确．

   13.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题．
设切点为，列式求解即可．【解答】解：不妨设切点为，
则曲线中，则，
则应有，解得
故答案为．  14.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，属于中档题．【解答】解：两个等差数列和的前项和分别为和，
且，


．  15.【答案】 【解析】【分析】本题考查函数的极值点，及正余弦齐次式的计算，属于中档题．【解答】解：由题知 
是函数的一个极值点，
，
故．  16.【答案】 【解析】【分析】本题考查双曲线的性质，考查共线向量基本定理的应用，考查数形结合的解题思想方法及运算求解能力，是中档题．
求出双曲线的一条渐近线方程，圆的圆心和半径，设，由已知向量等式可得，，得到，过作，且为的中点，运用直角三角形的勾股定理和点到直线的距离公式解得，，，再由离心率公式求解．【解答】解：双曲线的一条渐近线的方程为，
圆：的圆心为，半径为，
由为等腰直角三角形，可得，
设，由，可得，，
由，得，
过作，且为的中点，，，，

则到直线的距离为，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
即有，解得，
即，解得，
，
故．
故答案为：．  17.【答案】解：由题意得，，

当时，

当时，也符合上式，
故．
证明：因为
所以
又在上递增，且
． 【解析】本题主要考察等差数列的通项公式，考察数列与不等式，考察累加法和裂项相消法求和，属于中档题．
 18.【答案】解：设点，由题意知线段的中点在直线上，
故：，
又直线垂直于直线，故，
联立式解得：，故点的坐标为

设点，由题，则，故，
化简得，
又直线与圆没有公共点，故，
解得 【解析】本题考查点关于直线的对称问题，求与圆相关的轨迹问题，已知直线与圆的位置关系求参，属于中档题．
 19.【答案】解：证明：取中点，连接，，

又平面平面，平面平面，
平面
即
又，
而平面，
即

作于点，，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，
令平面的法向量为
令，
，
直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】本题考查线面垂直的性质和线面角的大小，是中档题．
 20.【答案】解：Ⅰ即为，
若选，抛物线方程为，
选同样得抛物线方程为．
Ⅱ令，，，则，
，
即为
又即
同理，

而过点即
点在直线上 【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，牢记抛物线的切线方程是解题的突破口，考查学生逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 21.【答案】 证明：由题意得：当时，



因为，所以数列，是以为首项，以为公差的等差数列，
则，
当时，，
由于，
故．

所以，
当时，，
令


，

，也符合
故． 【解析】本题考查等差数列的判断，由求，错位相减法求和，属于较难题．
 22.【答案】解：
，
当时，，单调递增
当时，，单调递减
当时，，单调递增．
综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为．

情况一若，即时，由的单调性，其在上恒为正，无零点，
在增区间至多有一个零点，不符合．
情况二若，即时，
由于，由零点存在性定理，
在上存在一个零点．
取，则，，．

当时，，在上单增，故在恒为正，无零点，
由零点存在性定理，在上存在一个零点，符合题意．
情况三若，即时，同情况二可得在增区间恒为正，无零点，
仅有一个零点，不符合．
综上， 【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，结合导数研究函数的零点，考查分类讨论思想，为较难题．