高中数学高考课后限时集训57 曲线与方程 作业

这是一份高中数学高考课后限时集训57 曲线与方程 作业，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
　　　　　　　曲线与方程建议用时：45分钟一、选择题1．若方程x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是(　　)A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线B　[当a＞0且a≠1时，该方程表示椭圆；当a＜0时，该方程表示双曲线；当a＝1时，该方程表示圆．故选B.]2．(2019·深圳调研)已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)A．x2＝4y　 B．y2＝3xC．x2＝2y   D．y2＝4xA　[设点P(x，y)，则Q(x，－1)．∵·＝·，∴(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.]3．已知圆M：(x＋)2＋y2＝36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足＝2，·＝0，则点G的轨迹方程是(　　)A.＋＝1   B.＋＝1C.－＝1   D.－＝1A　[由＝2，·＝0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝6>2，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a＝6，2c＝2，∴b2＝4，∴点G的轨迹方程为＋＝1，故选A.]4．在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：条件方程①△ABC周长为10C1：y2＝25②△ABC面积为10C2：x2＋y2＝4(y≠0)③△ABC中，∠A＝90°C3：＋＝1(y≠0)则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为(　　)A．C3，C1，C2   B．C1，C2，C3C．C3，C2，C1   D．C1，C3，C2A　[①△ABC的周长为10，即|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，又|BC|＝4，所以|AB|＋|AC|＝6>|BC|，此时动点A的轨迹为椭圆，与C3对应；②ABC的面积为10，所以|BC|·|y|＝10，即|y|＝5，与C1对应；③因为∠A＝90°，所以·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2＋y2－4＝0，与C2对应．故选A.]5．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为(　　)A.＋＝1   B.＋＝1C.＋＝1   D.＋＝1A　[设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，由＝＋，得(x，y)＝(x0，0)＋(0，y0)，则 解得由|AB|＝5，得＋＝25，化简得＋＝1.]二、填空题6．已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________．(x－10)2＋y2＝36(y≠0)　[设A(x，y)，则D.∴|CD|＝＝3，化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形，∴A不能落在x轴上，即y≠0.]7．一条线段的长等于6，两端点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上滑动，P在线段AB上且＝2，则点P的轨迹方程是________．4x2＋y2＝16　[设P(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，则a2＋b2＝36.因为＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，所以即代入a2＋b2＝36，得9x2＋y2＝36，即4x2＋y2＝16.]8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．＋＝1(y≠0)　[设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1(y≠0)．]三、解答题9．已知动点M到定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为4.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)设N(0，2)，过点P(－1，－2)作直线l，交曲线C于不同于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值．[解]　(1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆．由c＝2，a＝2，得b＝2.故动点M的轨迹C的方程为＋＝1.(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)，由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)＞0，则k＞0或k＜－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.从而k1＋k2＝＋＝＝2k－(k－4)＝4.当直线l的斜率不存在时，得A，B，所以k1＋k2＝4.综上，恒有k1＋k2＝4.10.如图，P是圆x2＋y2＝4上的动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足＝.(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N(3，0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．[解]　(1)设M(x，y)，则D(x，0)，由＝知，P(x，2y)，∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴x2＋4y2＝4，故动点M的轨迹C的方程为＋y2＝1，且轨迹C为椭圆．(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，设l：y＝k(x－3)，代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0，(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，∴y1＋y2＝k(x1－3)＋k(x2－3)＝k(x1＋x2)－6k＝－6k＝－.∵四边形OAEB为平行四边形，∴＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝，又＝(x，y)，∴消去k，得x2＋4y2－6x＝0，由(*)中Δ＝(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)>0，得k2<，∴0<x<.∴顶点E的轨迹方程为x2＋4y2－6x＝0.1．在△ABC中，已知A(－1，0)，C(1，0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B的轨迹方程是(　　)A.＋＝1   B.＋＝1(x≠±)C.＋＝1   D.＋＝1(x≠±2)D　[∵|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，∴|BC|＋|BA|＝2|CA|＝4.∴点B的轨迹是以A，C为焦点，半焦距c＝1，长轴长2a＝4的椭圆，又B是三角形的顶点，A、B、C三点不能共线，故所求的轨迹方程为＋＝1(x≠±2)．]2．已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)A．双曲线　   B．椭圆C．圆　   D．抛物线D　[连接MF，由中垂线性质知|MB|＝|MF|，即M到定点F的距离与它到直线x＝－1距离相等．∴点M的轨迹是抛物线，∴D正确．]3．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点(，0)的动直线交抛物线于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，则点M的轨迹方程为________．y2＝2x－1　[设直线PQ的方程为x＝ty＋，与y2＝4x联立，得y2－4ty－2＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－2，x1＋x2＝4t2＋1，∴M(2t2＋，2t)．设M(x，y)，则由消去t，得点M的轨迹方程为y2＝2x－1.]4．已知定圆M：(x－3)2＋y2＝16和圆M所在平面内一定点A，点P是圆M上一动点，线段PA的垂直平分线l交直线PM于点Q.(1)讨论Q点的轨迹可能是下面的情形中的哪几种：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．(2)若定点A(5，0)，试求△QMA的面积的最大值．[解]　(1)由题意知|QP|＝|QA|，①当A在圆M外时，|MA|>4，且||QA|－|QM||＝|PM|＝4<|MA|，所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的双曲线，见图(1)．②当A在圆M内，且与M不重合时，|MA|<4，且|QA|＋|QM|＝|MP|＝4>|MA|，所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的椭圆，见图(2)．③当A在圆M上时，l过定点M，l与PM的交点Q就是点M，所以点Q的轨迹就是一个点，见图(3)．④当A与M重合时，l与PM的交点Q就是PM的中点，所以点Q的轨迹就是圆，见图(4)．综上所述，Q点的轨迹可能是①②④⑥四种．(2)因为A(5，0)在圆M内，由(1)知，点Q的轨迹是以M，A为焦点的椭圆，且|MA|＝2＝2c，|MP|＝4＝2a，所以b＝，由椭圆的几何性质可知，Q为短轴端点时，S△MQA最大，所以S△MQA的最大值为·2c·b＝.1．(2019·安庆模拟)如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是(　　)A．直线   B．抛物线C．椭圆   D．双曲线的一支C　[可构造如图所示的圆锥．母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆．故选C.]2．(2019·济南模拟)曲线C是平面内与两个定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离的积等于常数a2(a2>4)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是________．②③　[因为原点O到两个定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离的积是4，又a2>4，所以曲线C不过原点，即①错误；设动点P在曲线C上，因为F1(－2，0)，F2(2，0)关于原点对称，所以|PF1|·|PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，即③正确．]