2023届山西省晋中市高三3月普通高等学校招生模拟考试（高考二模）数学试题及答案
展开晋中市2023年3月普通高等学校招生模拟考试
数学
（本试卷考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡上相应的位置.
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式：锥体的体积公式：（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数z满足，则复数z的虚部是（ ）
A. B. C. D. 2
2. 甲、乙两位射击运动员参加比赛，连续5轮射击比赛的成绩情况如图所示：
则下列说法正确的是（ ）
A. 甲平均成绩高，乙成绩稳定 B. 甲平均成绩高，甲成绩稳定
C. 乙平均成绩高，甲成绩稳定 D. 乙平均成绩高，乙成绩稳定
3. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数，则的图象（ ）
A 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于原点对称
5. 我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童．若一刍童为正棱台，其上、下底面分别是边长为和的正方形，高为1，则该刍童的外接球的表面积为（ ）
A. 16π B. 18π C. 20π D. 25π
6. 设F为抛物线C：焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若，则（ ）
A. B. 1 C. D. 4
7. 已知函数的图象向左平移）个单位长度后对应的函数为，若在上单调，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 如图，在棱长为1的正方体中，则（ ）
A B. 三棱锥与三棱锥体积相等
C. 与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为
10. ，若，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D. 的展开式中第1012项的系数最大
11. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（ ）
A. 一定有两个极值点
B. 函数R上单调递增
C. 过点可以作曲线的2条切线
D. 当时，
12. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为B，直线l：与椭圆C交于M，N两点，的角平分线与x轴相交于点E，与y轴相交于点，则（ ）
A. 四边形的周长为8 B. 的最小值为9
C. 直线BM，BN的斜率之积为 D. 当时，
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量，，若，则____________．
14. 已知函数的定义域为R，且同时满足下列三个条件：①奇函数，②，③，则____________．
15. 在平面四边形中，已知，，．若，则最小值为____________．
16. 南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式，则数列的前项和为____________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知数列满足，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
18. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，且满足．
（1）求△ABC的外接圆半径；
（2）若∠B的平分线BD交AC于点D，且，求△ABC的面积．
19. 从《唐宫夜宴》火爆破圈开始，某电视台推出的“中国节日”系列节目引发广泛关注．某统计平台为调查市民对“中国节日”系列节目的态度，在全市市民中随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“中国节日”系列节目喜欢的人数如下表．（注：年龄单位为岁，年龄都在内）
年龄 | ||||||
频数 | 10 | 20 | 30 | 20 | 10 | 10 |
喜欢人数 | 6 | 16 | 26 | 12 | 6 | 4 |
（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为对“中国节日”系列节目的态度与人的年龄有关；
| 年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 |
喜欢 |
|
|
|
不喜欢 |
|
|
|
合计 |
|
|
|
（2）若按年龄段用分层随机抽样的方法从样本中年龄在被调查的人中选取8人，现从选中的这8人中随机选取3人，求这3人中年龄在的人数X的分布列和数学期望．
参考公式及数据，其中．
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
20. 如图，在以为直径的圆上，垂直圆所在的平面，，，为的中点，是上一点，且平面平面．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
21. 已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若A，B为双曲线的左、右顶点，，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标．
22. 已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）若时，方程有两个不等实根，，求证：．
晋中市2023年3月普通高等学校招生模拟考试
数学
（本试卷考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡上相应的位置.
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式：锥体的体积公式：（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
【9题答案】
【答案】BCD
【10题答案】
【答案】BC
【11题答案】
【答案】BCD
【12题答案】
【答案】AC
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【17题答案】
【答案】（1）见解析；（2）.
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为对“中国节日”系列节目的态度与人的年龄有关
（2）分布列见解析，数学期望为
【20题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【21题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析，定点坐标为
【22题答案】
【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析
