2021-2022学年河南省南阳市高二上学期期末考试数学（理）试题含解析

这是一份2021-2022学年河南省南阳市高二上学期期末考试数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省南阳市高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．命题“，”的否定是（       ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】利用全称量词命题的否定变换形式即可求解.【详解】的否定是，的否定是，故“，”的否定是“，”，故选：D2．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是（       ）A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n}【答案】B【分析】不等式变形为最高次项系数为正，然后比较相应二次方程两根的大小后可不等式的解集．【详解】不等式变形为，方程的两根为，显然由得，所以不等式的解为．故选：B．3．在中，“”是“”的（       ）．A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】可以由反向推导得到A＞B﹒【详解】由得，，，在中，所以，由正弦定理得，由大边对大角的结论知．所以为充要条件．故选：A4．已知命题：，，命题：，使得，则（       ）A．是假命题 B．是真命题C．是真命题 D．是真命题【答案】D【分析】根据命题的描述，应用特殊值法判断各命题的真假，再判断各选项中复合命题的真假即可.【详解】对于命题，当时显然不成立，故为假命题；对于命题，当时有成立，故为真命题；∴为假命题；为真命题.∴为真，为假，为假，为真.故选：D5．若，满足，且，则的最大值为（       ）A． B．3 C．5 D．7【答案】B【分析】根据，满足的约束条件作出可行域，平移直线，由直线在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值求解.【详解】由，满足且，作出可行域如图：令，平移直线，当直线经过时，在y轴上的截距最大，此时，目标函数取得最大值，最大值为3，故选：B6．已知等比数列中，，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件可得新数列是首项为2，公比为9的等比数列，再用等比数列前n项和公式计算作答.【详解】等比数列中，，则，，因此，等比数列的奇数项所组成的新数列是首项为2，公比为9的等比数列，所以新数列的前n项和有：.故选：C7．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，由锐角三角形可求出A的范围，再由正弦定理及余弦函数的值域即可求解.【详解】,，.故选：C8．若抛物线上的一点到它的焦点的距离为6，则（       ）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】A【分析】根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可列出，即可求出.【详解】由抛物线上的一点到它的焦点的距离为6，.故选：A.9．如图所示，在正三棱柱中，是的中点，.则异面直线与所成角的正弦值为（       ）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】先构造辅助线，找到直线与所成角为，再利用题干中条件得到三角形BDE为等边三角形，得到，求出正弦值.【详解】取中点，连接DE，BE，因为是的中点，所以DE是△的中位线，所以∥，所以直线与所成角为，由于正三棱柱，，不妨设（），则，，由勾股定理得：，所以，所以，从而三角形BDE为等边三角形，所以，.故选：B10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且，若数列的前项和为，则（       ）A．3950 B．3953 C．3840 D．3845【答案】D【分析】先根据累加法求出，进而求出，结合对数运算，算出前2021项之和.【详解】①，②，③，……，上面（n-1）个式子相加得：，其中，所以，即，令得：，解得：，经检验，符合，故的通项公式为：，所以，，时，，当时，，当时，，当时，，所以故选：D11．设，，且恒成立，则的最大值是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】原式等价于，根据均值不等式求得左侧最小值，进而估算出结果.【详解】解：等价于，故得到则的最大值是4.故选：C.【点睛】易错点睛：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12．已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件用表示出，再结合椭圆定义并借助均值不等式计算作答.【详解】依题意，，而，则有，由椭圆定义知：，当且仅当，即时取“=”，于是有，则，又，即有，所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：A【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见方法：①求出a，c，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．二、填空题13．已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为___________.【答案】【分析】先求出双曲线的渐近线，结合题干条件得到方程，求出，进而得到焦距.【详解】双曲线的渐近线为，由题干条件可知：，所以，所以的焦距为.故答案为：14．记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则___________.【答案】4【分析】根据的面积为，求得ac，再根据，利用余弦定理求解.【详解】因为的面积为，所以，解得，又因为，由余弦定理得：，所以，故答案为：415．若，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】根据给定条件可得，列出用m表示的离心率的函数关系，再借助均值不等式计算作答.【详解】因方程表示双曲线，则，方程可写成：，令双曲线的半焦距为c，则，双曲线的离心率e有： ，当且仅当，即时取“=”，解得：，而，则有，所以所求离心率的取值范围是.故答案为：16．如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是___________. ①平面的法向量与平面的法向量垂直；②异面直线与所成的角的余弦值为；③四面体有外接球且该球的半径等于棱长；④直线与平面所成的角为.【答案】②③④【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量解决①②④，利用向量求出AD⊥AC，取两个直角三角形斜边中点，可证明此点为球心，进而得到解答.【详解】如图，以BD为x轴，BC为y轴，垂直于平面BCD为z轴建立空间直角坐标系，设，则，，则，，，，平面的法向量为，平面的法向量为，则，令，则，，则，因为，则平面的法向量与平面的法向量不垂直，①错误；设异面直线与所成角为，其中，，则，②正确；，所以是直角三角形，取CD中点O，则因为和为直角三角形，OA=OB=OC=OD，则O为四面体ABCD的外接球球心，半径为，而根据∠CBD=30°，故，故四面体有外接球且该球的半径等于棱长，③正确；平面ABC的法向量为，设直线与平面所成角为，，故，故④正确.故答案为：②③④三、解答题17．已知，命题，不等式恒成立；命题使得成立（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若为假，为真，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据，不等式恒成立，由求解；（2）根据p且q为假，p或q为真，由p、q中一个是真命题，一个是假命题求解.【详解】（1）∵，不等式恒成立，∴，即，解得，因此，若为真命题时，实数的取值范围是；（2）若命题q为真，则，∴，∵p且q为假，p或q为真，∴p、q中一个是真命题，一个是假命题，当p真q假时，则，解得；当p假q真时，，即综上所述，的取值范围为.18．在平面四边形ABCD中， AB＝2，BD＝，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2．(1)求AD的长；(2)求△CBD的面积．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用面积公式可以求出sin∠ABD的值，利用同角三角函数的关系求出cos∠ABD的值，利用余弦定理，求出AD的长；（2）利用AB⊥BC，可以求出以sin∠CBD的大小，利用∠BCD＝2∠ABD，可求出sin∠BCD的大小，通过角之间的关系可以得到所以△CBD为等腰三角形，利用正弦定理，可求出CD的大小，最后利用面积公式求出△CBD的面积．【详解】(1)由已知＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝，又∠ABD∈，所以cos∠ABD＝，在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝.(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝，又∠BCD＝2∠ABD，所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD，在△CBD中，由正弦定理，得CD，所以.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式.19．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.(1)已知等比数列满足：，，求证：数列为“数列”.(2)已知数列满足：，，其中为数列的前项和，求数列的通项公式，并判断数列是否为“数列”.【答案】(1)证明见解析(2)数列的通项公式为，数列不是“数列”【分析】（1）根据题干条件求出首项和公比，证明出结论；（2）利用，求出为等差数列，求出通项公式，证明出不是是“数列”.(1)证明：设等比数列的公比为，则，.由得：解得：因此数列为“数列”.(2)因为，所以.由，，得，则.由，得，当时，由，得，整理得.所以数列是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列的通项公式为，显然数列不是“数列”.20．已知抛物线的通径长为，若抛物线上有一动弦的中点为，且弦的长度为.(1)求抛物线的方程；(2)求点的纵坐标的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由抛物线的通径为，可得，即可求得值;（2）由题意得直线的斜率一定存在，设出直线的方程，并和抛物线的方程联立消去得，利用弦长公式求得，再用中点坐标公式求得的纵坐标，消去，最后用基本不等式即可求解.(1)由题意可知：，所以抛物线的方程为：；(2)由题意可知：直线斜率必存在，设其方程为：.设，，.则：，联立方程：得：.所以，.又知：，得,∴当且仅当，即时取等号，则点的纵坐标的最小值为.21．如图，四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面底面，为的中点.(1)求证：；(2)在线段（不包括端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点为靠近点的三等分点【分析】（1）取的中点，连结，取的中点，连结，通过证明，，两两垂直，可建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明垂直即可；（2）设，利用向量法求出线面角，然后根据题目提供的数据列方程求解即可.(1)证明：取的中点，连结，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以底面，取的中点，连结，则，，两两垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，设，则，，，，所以，，则，故，所以；(2)由（1）可知，，，，，，所以，，，，设，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，因为直线与平面所成角的余弦值为，所以直线与平面所成角的正弦值为，所以，整理可得，解得，所以在上存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，，此时点为靠近点的三等分点.22．已知为坐标原点，椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上的任意一点，的最大值为，最小值为.(1)求椭圆的方程；(2)已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，若，点在上，且.试问是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，定值为【分析】（1）设出，其中，表达出，根据得到最大值和最小值，求出，进而求出，得到椭圆方程；（2）设出直线方程，联立后根据，得到直线过的定点，进而找到定点，使得为定值.(1)由题意得：设（），则，则，当时，取得最大值，当时，取得最小值，即，，，，所以椭圆的标准方程为：.(2)显然直线的斜率一定存在，设直线的方程为：，将带入得：，设，，则，，，，解得：，，当时，直线过定点，根据题意，在以为直径的圆上，该圆的圆心为，半径等于，此时，所以存在定点，使得为定值；当时，直线过定点，同理可得：存在定点，使得为定值，综上：存在点定点使得为定值，.【点睛】圆锥曲线定点定值问题，设出直线方程，利用题干条件列出方程，求出的关系式，或者求出的值，进而确定定点，而定值则要求得到关系式后，通过观察求出定值.