2023届高考数学一轮复习专题练习-01集合

这是一份2023届高考数学一轮复习专题练习-01集合，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届高考数学一轮复习专题练习-01集合 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．2．高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（    ）A．16 B．17 C．18 D．193．已知全集，集合，则A． B．C． D．4．已知集合，若对于，，使得成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：；　　   ； ；       ．其中是“互垂点集”的集合为A．, B．, C． ,  D．,5．已知集合，且，则集合可以是A． B． C． D．6．已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是A． B．C． D．7．S（A）表示集合A中所有元素的和，且A⊆{1，2，3，4，5}，若S（A）能被3整除，则符合条件的非空集合A的个数是（  　　）A．10 B．11 C．12 D．138．已知集合，集合，，满足.①每个集合都恰有5个元素②集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为A． B． C． D．9．已知集合，，则A． B． C． D．10．据统计某超市两种蔬菜连续天价格分别为和，令，若中元素个数大于，则称蔬菜A在这天的价格低于蔬菜的价格，记作：，现有三种蔬菜，下列说法正确的是（    ）A．若，，则B．若，同时不成立，则不成立C．，可同时不成立D．，可同时成立 二、填空题11．已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合.给出下列4个集合：① ； ② ；③ ； ④ .其中所有“好集合”的序号是________________.12．如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换.有下列3种变换：①对，变换：求集合A的补集；②对任意，变换：求z的共轭复数；③对任意，变换：（k，b均为非零实数）.其中是“回归”变换的是______.13．已知集合 ，集合 满足①每个集合都恰有5个元素;② ．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（），则 的最大值与最小值的和为_______.14．已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①； ②； ③； ④．其中是“垂直对点集”的序号是________.15．已知集合，，则___________．16．设为非空数集，若，都有，则称为封闭集．下列命题①实数集是封闭集；②全体虚数组成的集合是封闭集；③封闭集一定是无限集；④若为封闭集，则一定有；⑤若为封闭集，且满足，则集合也是封闭集，其中真命题是      ． 三、解答题17．已知，均为给定的大于1的自然数，设集合，．（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；（Ⅱ）当时，，且集合满足下列条件：①对任意，；②．证明：（ⅰ）若，则（集合为集合在集合中的补集）；（ⅱ）为一个定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）设，，，其中，，若，则．18．定义集合与集合之差是由所有属于且不属于的元素组成的集合，记作 且．已知集合．（Ⅰ）若集合，写出集合的所有元素；（Ⅱ）从集合选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值和最小值分别是多少？公差为和的等差数列各有多少个？（Ⅲ）设集合,且集合中含有10个元素，证明：集合中必有10个元素组成等差数列．19．对于集合，定义函数，对于两个集合，，定义集合.已知，.(1)写出与的值，并用列举法写出集合；(2)用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；(3)求有多少个集合对满足，且.20．已知，或1，，对于，表示U和V中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令，存在m个，使得，写出m的值；（Ⅱ）令，若，求证：；（Ⅲ）令，若，求所有之和．
参考答案：1．D【分析】先化简集合A、B，再去求【详解】，则故选：D2．C【分析】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解.【详解】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人， 则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，以上人数最少32人，可作出如下图所示的韦恩图，所以单选物理、化学的人数至多8人，所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人.故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.3．A【分析】由题意首先求得集合A，然后进行补集运算即可.【详解】＝，所以，，表示为区间形式即.故选A.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，补集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．D【分析】首先判断和，通过反例可知不是“互垂点集”，由此可排除三个选项.【详解】设，为上任意一点：当时，需存在使得：，即，此时无解，可知不是“互垂点集”，可排除和选项；：当时，需存在使得：，即，无意义，可知不是“互垂点集”，可排除选项；本题正确选项：【点睛】本题考查对于新定义的理解，简单方式为通过排除的方法得到正确选项，也可以利用函数的值域来确定和为“互垂点集”，但判断过程较繁琐；对于选择题，合理的采用排除法可极大的减少运算量.5．A【分析】由可知，，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可.【详解】由可知，，对于A：＝，符合题意.对于B：＝，没有元素1，所以不包含A；对于C：＝，不合题意；D显然不合题意，本题选择A选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A【分析】求函数定义域得集合M，N后，再判断．【详解】由题意，，∴．故选A．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．7．B【详解】由题意，A⊆{1，2，3，4，5}且S（A）能被3整除，则A可能含有1个元素为含有2个元素为，  含有3个元素为含有4个元素为，含有5个元素为；共有11个．故选：B8．A【详解】分析：求出集合M={x∈N*|1≤x≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，由题意列举出集合A1，A2，A3，排除选项B、C、D，由此能求出结果．详解：由题意集合M={x∈N*|1≤x≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A1={1，4，5，6，7}，A2={3，12，13，14，15}，A3={2，8，9，10，11}时，X1+X2+X3=8+18+13=39，故排除B选项；当A1={1，4，5，6，15}，A2={2，7，8，9，14}，A3={3，10，11，12，13}时，X1+X2+X3=16+16+16=48，故排除C选项；当A1={1，2，3，4，15}，A2={5，6，7，8，14}，A3={9，10，11，12，13}时，X1+X2+X3=16+19+22=57，故排除D选项．∴X1+X2+X3的值不可能为37．故选A．点睛：本题考查满足条件的集合的判断，考查子集，并集、排除法等基础知识，考查学生的知识迁移能力和运算求解能力，属于基础题．9．B【详解】由，得：，，故，故选B.10．C【分析】利用特例法，根据题意进行判断.【详解】采用特例法：若，，，满足，，但不成立，故A错误；若，，，此时，同时不成立，但成立，故B错误；例如蔬菜A连续天价格为，蔬菜连续天价格分别为时，，则中元素个数为5个，，此时不成立，同理，也不成立，即，可同时不成立，故C正确；，显然不可能同时成立，故D错误.故A，B，D不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了“新定义”问题，属于中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中，可以采取特例法，直接根据定义得到结果.11．②③【解析】根据题意设，由，可知，即，逐个作图，分别判断即可得解.【详解】根据题意设，由，可知，即，对①，，如图，不管在一侧还是同侧均不能有对②，，如图，对任意，均有使得，对③，，如图，对任意，均有使得，对④， ，如图，当取，则不存在使得，故答案为：②③【点睛】本题考查了函数相关的新定义，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.本题的关键点有：（1）陌生的问题熟悉化，通过转化把新定义转化为垂直问题；（2）数形结合，对图像的的直观认识是解题关键.12．①②【解析】由集合的运算性质，复数的性质结合题意，进行判断即可.【详解】对①，集合的补集为集合，集合的补集为集合，故①为“回归”变换对②，设，，复数的共轭复数为，复数的共轭复数为，故②为“回归”变换对③，当时，，，由于k，b均为非零实数，则不一定为，则③不是“回归”变换故答案为：①②【点睛】本题主要考查了集合的运算以及共轭复数的定义，属于中档题.13．96【分析】利用列举法求出 的最大值与最小值，即得解.【详解】易知，当 的最大值为57.当 的最小值为39.故答案为96【点睛】本题主要考查集合的运算和表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．③④【分析】由四个函数本身的图像和性质结合题目给定“垂直对点集”的定义，即可判断①②，对于③④，可以结合向量进行判断.【详解】对于，由于的图象是抛物线，取其顶点，若存在满足，则这是不可能的，所以①不是“垂直对点集”；对于，不妨在的图象上取点，若成立，则不合题意，所以②不是“垂直对点集”；对于，结合的图象可知，在图象上任取点，图象上总存在点，使，即可转化为即成立，所以对任意，都存在，使得成立，所以，③是“垂直对点集”；对于，结合的图象可知，在图象上任取点，图象上总存在点，使，即可转化为即成立，所以对任意，都存在，使得成立，所以，④是“垂直对点集”.故答案为：③④.15．【详解】,填．16．①④【分析】实数集是封闭集，若为封闭集，则一定有，全体虚数组成的集合不是封闭集，当两个共轭复数相乘时，得到一个实数，封闭集不一定是无限集，若，为封闭集，且满足，则集合不一定是封闭集．【详解】解：若，，都有，，，实数集是封闭集，①正确；②全体虚数组成的集合是封闭集，错误，如；若为封闭集，则一定有，④正确，③错误；全体虚数组成的集合不是封闭集，当两个共轭复数相乘时，得到一个实数，封闭集不一定是无限集，故③不正确，对于⑤，例如，，，，不满足封闭集的定义，所以若，为封闭集且满足，则集合也是封闭集，⑤不正确，综上可知①④正确，故答案为：①④【点睛】本题考查康托的集合论，本题解题的关键是正确理解封闭集的意义，能够辨别一个集合是不是封闭集．17．（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）详见解析．（ⅱ）详见解析.（Ⅲ）详见解析.【解析】（Ⅰ）当，时，，，，，，．即可得出．（Ⅱ）（i）当时，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否则得出矛盾．（ii）由．可得．又，即可得出为定值．（iii）由设，，，，其中，，，2，，．，可得，通过求和即可证明结论．【详解】（Ⅰ）解：当，时，，，，，．．（Ⅱ）证明：（i）当时，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否则，而，与已知对任意，矛盾．因此有．（ii）．．，为定值．（iii）由设，，，，其中，，，2，，．，．．【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．（Ⅰ）2，4，8，16，32，64；（Ⅱ）只有1个，d=1有91个；（Ⅲ）见解析【分析】（Ⅰ）根据题意，分析集合T的元素，结合M﹣N的含义分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，由等差数列的性质分析公差的最大、最小值，据此分析等差数列的数目，相加即可得答案；（Ⅲ）根据题意，将集合S中元素列表，据此分析集合集合S﹣A中的元素，由反证法分析可得结论．【详解】（Ⅰ）根据题意，集合 ， ;则；则集合 的所有元素是： 2，4，8，16，32，64；（Ⅱ）当首项是1，末项是100时，公差最大为11，即 ．这样的数列只有1个：1，12，23，34，45，56，67，78，89，100；当选取的10个数是连续自然数时，公差最小为1，即d=1．这样的数列首项可以是1，2，3，…，91中的任何一个，因此共有91个公差为1的等差数列；（Ⅲ）将集合中元素列表如下： 123…10111213…20212223…30┆┆┆┆┆919293…100 表中各行或各列的十个数分别构成等差数列．假设存在含有10个元素的集合，使得 中不含10个元素组成的等差数列．显然每连续10个元素中必有集合中的唯一一个元素，即表的每行、每列中必有集合中的唯一一个元素．记表中第行第列的数为．若第 行中集合A的唯一元素为 ，则第行中， ，… 中必有集合A中元素．若第行的第一个数在集合中，则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第一列中集合的唯一元素只可能在第十行．同理，若第行的第二个数在集合中，则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第二列中集合的唯一元素只可能在第九行．依此类推，得 ．此时，另一条对角线上的十个元素构成等差数列，与假设矛盾．综上，原命题成立．【点睛】本题考查数列与集合的综合应用，涉及集合的表示方法以及合情推理的应用，关键是掌握集合以及集合中元素的性质．19．(1)，，(2)(3) 【分析】（1）理解的含义为如果是集合中的元素，则，如果不是，则，利用新定义写出和的值，并用列举法写出集合；（2）要使的值最小，1，3一定属于集合，不能含有以外的元素，所以当集合为的子集与集合的并集时，从而得出的最小值；（3）先验证得到运算具有交换律和结合律，有，而，所以，所以，而，从而得到满足条件的集合对有个．（1）由题意，集合中有，集合中没有的元素为：，集合中有，集合中没有的元素为：，∴；（2）根据题意可知，对于集合，，①若且，则，②若且，则，∴要使的值最小，1，3一定属于集合，是否属于集合不影响的值；集合不能含有之外的元素.∴当为集合的子集与集合的并集时，取到最小值.（3）因为，∴，由定义可知：∴对任意元素，，，∴，∴，由知：，∴，∴，∴，∴，∴，，而，∴满足题意的集合对的个数为个.20．（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析（ⅠⅡ）见解析【详解】试题分析：本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点，题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于的，其实中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0或1，第二个定义．第一问，根据，且及的意义：表示U和V中相应的元素不同的个数，可知；第二问，根据或1，，分类讨论，时，；当， 时，；当，时，；当，时，；可证，，再相加即可证明结论；第三问，结合第一问，得出使的共有个，分别计算出和，再相加即可．试题解析：（Ⅰ）；（Ⅱ）证明：令，∵或1，或1；当，时，当， 时，当，时，当，时，故∴（Ⅲ）解：易知中共有个元素，分别记为∵的共有个，的共有个．∴==∴=．法二：根据（Ⅰ）知使的共有个，∴==两式相加得=考点：计数原理的应用．