高中数学高考课时跟踪检测（四十八） 4大策略找到解题突破口 作业

这是一份高中数学高考课时跟踪检测（四十八） 4大策略找到解题突破口 作业，共5页。试卷主要包含了在直角坐标系xOy中，抛物线C，已知椭圆C，双曲线C，已知椭圆W等内容，欢迎下载使用。
课时跟踪检测（四十八）  4大策略找到解题突破口1．在直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝6y与直线l：y＝kx＋3交于M，N两点．(1)设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1与d2的乘积为定值；(2)y轴上是否存在点P，当k变化时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：将y＝kx＋3代入x2＝6y，得x2－6kx－18＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－18，从而d1d2＝|x1|·|x2|＝|x1x2|＝18为定值．(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.从而k1＋k2＝＋＝＝.当b＝－3时，有k1＋k2＝0对任意k恒成立，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－3)符合题意．2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为，点A(3,0)，P是C上的动点，F为C的左焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)若点P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边形FPAB面积的最小值．解：(1)依题意得解得∴椭圆C的方程是＋＝1.(2)设P(x0，y0)(－＜y0＜，y0≠0，x0＞0)，设线段AP中点为M，又A(3,0)，∴AP中点M，直线AP的斜率为，由△ABP是以AP为底边的等腰三角形，可得BM⊥AP，∴直线AP的垂直平分线方程为y－＝－，令x＝0得B，∵＋＝1，∴B，由F(－2,0)，∴四边形FPAB的面积S＝(|y0|＋)＝≥5，当且仅当2|y0|＝，即y0＝±时等号成立，四边形FPAB面积的最小值为5.3．(2021年1月新高考八省联考卷)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.解：(1)当|BF|＝|AF|，且BF⊥AF时，有c＋a＝＝，所以a＝c－a，解得e＝2.(2)证明：由(1)知双曲线方程为－＝1，设B(x，y)(x＞0，y＞0)易知渐近线方程为y＝±x，所以∠BAF∈，∠BFA∈，当x>a，x≠2a时，则kAB＝，kBF＝.设∠BAF＝θ，则tan θ＝，tan 2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA.因为2∠BAF∈，所以∠BFA＝2∠BAF.当x＝2a时，由(1)可得∠BFA＝，∠BAF＝，故∠BFA＝2∠BAF.综上，∠BFA＝2∠BAF.4．已知椭圆W: ＋＝1的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P(n,0)的直线与椭圆W相交于不同的两点C，D(不与点A，B重合)．(1)当n＝0，且直线CD⊥x轴时， 求四边形ACBD的面积； (2)设n＝1，直线CB与直线x＝4相交于点M，求证：A，D，M三点共线．解：(1)由题意，得a2＝4m＝4, 解得m＝1.所以椭圆W方程为＋y2＝1.当n＝0及直线CD⊥ x轴时，易得C(0,1)，D(0，－1)．且A(－2,0)，B(2,0)．所以|AB|＝4，|CD|＝2，显然此时四边形ACBD为菱形，所以四边形ACBD的面积为×4×2＝4.(2)证明：当直线CD的斜率k不存在时，由题意，得CD的方程为x＝1，代入椭圆W的方程，得C，D，易得CB的方程为y＝－(x－2)．则M(4，－)，＝(6，－)，＝，所以＝2，即A，D，M三点共线．当直线CD的斜率k存在时，设CD的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，联立方程 消去y，得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0.　 由题意，得Δ>0恒成立，故x1＋x2＝，x1x2＝.直线CB的方程为y＝(x－2)．令x＝4，得M. 又因为A(－2,0)，D(x2，y2)，则直线AD，AM的斜率分别为kAD＝，kAM＝，所以kAD－kAM＝－＝.上式中的分子 3y2(x1－2)－y1(x2＋2)＝3k(x2－1)(x1－2)－k(x1－1)(x2＋2)＝2kx1x2－5k(x1＋x2)＋8k＝2k×－5k×＋8k＝0，所以kAD－kAM＝0.所以A，D，M三点共线．5．(2021·福州一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－1,0)，过F且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为3.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M(－4,0)，过F作直线l交椭圆于A，B两点，证明：∠FMA＝∠FMB.解：(1)由题意可知c＝1，把x＝－1代入椭圆方程可得＋＝1，解得y＝±，∴＝，又a2＝b2＋1，可得a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：当直线l的斜率不存在时，由对称性可知：∠FMA＝∠FMB.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程可得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴kAM＋kBM＝＋＝＝.∵2x1x2＋5(x1＋x2)＋8＝－＋8＝0，∴kAM＋kBM＝0，∴∠FMA＝∠FMB.综上，∠FMA＝∠FMB.6．(2021·青岛质检)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，A，B是椭圆上关于原点O对称的两个动点，当点A的坐标为时，△ABF的周长恰为7.(1)求椭圆的方程；(2)过点F作直线l交椭圆于C，D两点，且＝λ(λ∈R)，求△ACD面积的取值范围．解：(1)当点A的坐标为时，＝ ＝，所以＝3.由对称性，得＋＝2a，所以2a＝7－3＝4，得a＝2.将点代入椭圆方程中，解得b2＝4, 所以椭圆方程为＋＝1.(2)当直线AB的斜率不存在时，＝2，此时S△ACD＝×2×2＝2. 当直线AB的斜率存在时，设直线CD的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)．由消去y整理得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－8＝0.显然Δ＞0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则 故＝·＝·＝·＝.因为＝λ (λ∈R)，所以CD∥AB，所以点A到直线CD的距离即为点O到直线CD的距离d＝，所以S△ACD＝××d ＝×＝＝4 ＝2 ＝2 ，因为1＋2k2>1，所以0<＜1，所以0<S△ACD<2.综上，S△ACD∈(0,2]．