高中数学高考考点23 数系的扩充及复数的运算-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

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【命题解读】
复数是高考必考的知识点之一，每年的高考都出关于复数的一个选择题，主要是针对复数的几何意义和复数的四则运算，以基础题目为主，是高考容易得分的一个知识点。
【命题预测】
预计2021年的高考复数的考察还是以基础题为主，主要还是集中在复数的几何意义和四则运算上，稍加注意得分不难。
【复习建议】
1.理解复数的有关概念和几何意义；
2.掌握复数的代数运算。
考向一 复数的有关概念及几何意义
1.复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数;若b≠0,则a+bi为虚数;若a=0且 b≠0,则a+bi为纯虚数.
(2)复数相等:a+bi=c+di⇔ a=c且b=d (a,b,c,d∈R).
(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔ a=c且b = -d (a,b,c,d∈R).
(4)复数的模:向量OZ=(a,b)的模r叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2+b2.
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)←复平面内的点Z(a,b).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)←平面向量OZ=(a,b) (O为坐标原点).
1. 【2020山东潍坊高三二模】若复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
【答案】B
【解析】∵
又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内，
∴，得﹣1＜a＜1．
∴实数a的值可以是0．
故选：B．
2.【2019山东高考模拟（理）】已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线上，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，对应的点为，因为点在直线上，所以，解得. 故选D.
考向二 复数的代数运算
1. 复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i;
减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i;
乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i;
除法:z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i (c+di≠0).
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2= z2+z1,
(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3).
1. 【2020河南省名校联盟高三质量检测】已知复数z1(为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则实数a=
A．B．C．0D．2
【答案】B
【解析】∵z为纯虚数，∴，解得a.
故选B．
2. 【2020四川省成都市石室中学高三下学期月考】复数，则
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】，，.
故选：C．
3. 【2019山东滨州高三期末】设复数，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【解析】z1+i，
所以|z|=.
故选:C
题组一（真题在线）
1. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若z=1+i，则|z2–2z|=
A．0B．1
C． D．2
2. 【2020年高考全国III卷理数】复数的虚部是
A． B．
C．D．
3. 【2020年新高考全国Ⅰ】
A．1B．−1
C．iD．−i
4. 【2020年高考北京】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则
A．B．
C．D．
5. 【2019年高考北京卷理数】已知复数，则
A．B．
C．D．
6. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．B．
C．D．
7. 【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设z=–3+2i，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
8. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】若，则z=
A．B．
C．D．
9. 【2019年高考天津卷理数】是虚数单位，则的值为______________．
10. 【2019年高考浙江卷】复数（为虚数单位），则=______________．
11. 【2019年高考江苏卷】已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是______________．
题组二
1. 【2020山东高三其他】设复数，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2. 【2020新泰市第二中学高三其他】已知复数满足，为虚数单位，则等于（ ）
A．B．C．D．
3. 【2020山东高三其他】已知复数满足．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4. 【2020重庆市江津中学、实验中学等七校高三联考】设，则在复平面内z对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5. 【2020辽宁省锦州市黑山中学高三模拟考试】复数（是虚数单位），则的共轭复数为
A．B．C．D．
6. 【2020广东省深圳市高级中学高三适应性考试】设为虚数单位，复数的实部为
A．5B．C．D．3
7. 【2020河北省衡水中学高三第三次联合考试】已知复数，则的虚部为
A．B．C．D．
8. 【2020河北省衡水中学高三第九次调研】已知复数，则下列结论正确的是
A．的虚部为B．
C．的共轭复数D．为纯虚数
9. 【2020广西南宁市第三中学高三适应性月考卷】设是虚数单位，若复数满足，则其共轭复数
A．B．C．D．
10. 【2020清华大学中学生标准学术能力诊断性测试】已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为
A．B．4C．1D．
题组一
1.D
【解析】由题意可得：，则.
故.
故选：D．
2.D
【解析】因为，
所以复数的虚部为.
故选：D．
3. D
【解析】
故选：D
4. B
【解析由题意得，.
故选：B．
5. D
【解析】由题，则，故选D．
6. C
【解析】由题可得则．
故选C．
7. C
【解析】由得则对应的点（-3，-2）位于第三象限．故选C．
8. D
【解析】．故选D．
9.
【解析】．
10.
【解析】 由题可得．
11.
【解析】，令，解得．
题组二
1.D【解析】因为，
使用复数z在复平面内对应的点的坐标为.
故选：D
2.A【解析】因为，所以应选答案A．
3.D【解析】，，解得：.
故选：.
4. A【解析】，
在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：A．
5.A
【解析】∵，
∴.
故选：A．
6.D
【解析】，，实部为3，
故选：D．
7. C
【解析】 ，所以的虚部为4.
故选：C．
8. D
【解析】,的虚部为,,,.
故选:D．
9. A
【解析】，所以，
故选：A．
10. 【答案】B
【解析】由，得．
复数的虚部是．
故选：B．