高中数学高考考点20 导数的概念及其运算（解析版）

这是一份高中数学高考考点20 导数的概念及其运算（解析版），共12页。
【命题解读】
从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.
【基础知识回顾】
1. 导数的概念
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)．
2. 导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3. 基本初等函数的导数公式
续表
4. 导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,g2（x）)(g(x)≠0)．
5. 复合函数的求导法则
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
1、下列求导结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：D．
2、若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
．
故选：C．
3、（2020·广东肇庆市·高三月考）已知函数，则（ ）
A．0B．1C．eD．2
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，
故选：D
4、 设M为曲线C：y＝2x2＋3x＋3上的点，且曲线C在点M处切线倾斜角的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，则点M横坐标的取值范围为(D )
A. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，＋∞)) B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,4)))
C. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,4))) D. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,4)))
【答案】D
【解析】、 由题意y′＝4x＋3，切线倾斜角的范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，则切线的斜率k的范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0))，∴－1≤4x＋30，
∴h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴h(x)＝0最多只有一个根. 又heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))＝e2×eq \f(1,e2)＋lneq \f(1,e2)＋1＝0，
∴x0＝eq \f(1,e2).
由f′(x0)＝－1得切线方程是x＋y＋eq \f(1,e2)＝0.
变式2、已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－eq \f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．
【解析】 (1)由函数f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y＝f(x)上，∴f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，
∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，
即y＝13x－32.
(2)(方法1)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1，
∴直线l的方程为y＝(3xeq \\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq \\al(3,0)＋x0－16.
又∵直线l过点(0，0)，
∴0＝(3xeq \\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq \\al(3,0)＋x0－16，
整理得xeq \\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，
故直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(方法2)设直线l的方程为y＝kx，切点坐标为(x0，y0)，则k＝eq \f(y0－0,x0－0)＝eq \f(xeq \\al(3,0)＋x0－16,x0).
又∵k＝f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1，
∴eq \f(xeq \\al(3,0)＋x0－16,x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1，解得x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵曲线f(x)的某一切线与直线y＝－eq \f(x,4)＋3垂直，∴该切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1＝4，
∴x0＝±1，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝1，,y0＝－14))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－1，,y0＝－18.))
故切线方程为y－(－14)＝4(x－1)
或y－(－18)＝4(x＋1)，即y＝4x－18或y＝4x－14.
方法总结： 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
考向三 导数几何意义的应用
例3、已知函数，和直线，且．
(1)求的值；
(2)是否存在，使直线既是曲线的切线，又是曲线的切线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.
(2)存在．
由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，
则设切点为(x0,3xeq \\al(2,0)＋6x0＋12)．∵g′(x0)＝6x0＋6，
∴切线方程为y－(3xeq \\al(2,0)＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，
将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.
在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；
在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.
②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.
在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；
在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；
∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.
综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.
变式1、已知函数是的导函数，则过曲线上一点的切线方程为__________________．
变式2：若直线是曲线的切线，则实数的值为________．
【答案】：(1)3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0 (2)－e
【解析】：(1)由f(x)＝3x＋cs 2x＋sin 2x得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cs 2x，
则a＝f′(eq \f(π,4))＝3－2sin eq \f(π,2)＋2cs eq \f(π,2)＝1.由y＝x3得y′＝3x2，
当P点为切点时，切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1,1)．
故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
当P点不是切点时，设切点为(x0，xeq \\al(3,0))，∴切线方程为y－xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)(x－x0)，
∵P(a，b)在曲线y＝x3上，且a＝1，∴b＝1.∴1－xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)(1－x0)，
∴2xeq \\al(3,0)－3xeq \\al(2,0)＋1＝0，∴2xeq \\al(3,0)－2xeq \\al(2,0)－xeq \\al(2,0)＋1＝0，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，∴切点为，
∴此时的切线方程为，
综上，满足题意的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.
(2)设切点为(x0，x0ln x0)，
由y′＝(xln x)′＝ln x＋x·eq \f(1,x)＝ln x＋1，得切线的斜率k＝ln x0＋1，
故切线方程为y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，整理得y＝(ln x0＋1)x－x0，与y＝2x＋m比较得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln x0＋1＝2，,－x0＝m，))解得x0＝e，故m＝－e.
变式3、(2019常州期末） 若直线kx－y－k＝0与曲线y＝ex(e是自然对数的底数)相切，则实数k＝________．
【答案】、 e2
【解析】、设切点A(x0，ex0)，由(ex)′＝ex，得切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，即y＝ex0x＋(1－x0)ex0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝ex0，,－k＝（1－x0）ex0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝2，,k＝e2.))
方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数的图像在点处的切线方程为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B．
2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A． B．a=e，b=1
C． D．，
【答案】D
【解析】∵
∴切线的斜率，，
将代入，得.
故选D．
3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a-1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x，f'(x)=3x2+1，
所以f'(0)=1,f(0)=0，
所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-f(0)=f'(0)x，化简可得y=x.
故选D.
4、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线在点处的切线方程为____________．
【答案】
【解析】
所以切线的斜率，
则曲线在点处的切线方程为，即
5、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线在点处的切线的斜率为，则________．
【答案】-3
【解析】，则，所以a=-3.
6、【江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初】给出下列三个函数：①；②；③，则直线()不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）．
【答案】①
【解析】直线的斜率为k＝，
对于①，求导得：，对于任意x≠0，＝无解，所以，直线不能作为切线；
对于②，求导得：有解，可得满足题意；
对于③，求导得：有解，可得满足题意；
故答案为：①
7、【江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为_______.
【答案】3e
【解析】因为，所以，
则，
又曲线在点处的切线方程为，
当时，，即，
所以有，解得.
因此，所以.
故答案为
8、【2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)】如图，曲线在点处的切线为，直线与轴和直线分别交于点、，点，则的面积取值范围为_____．
【答案】
【解析】的导数为,
在点处的切线斜率为,切点为,
切线方程为
令可得；令,可得,
则的面积为,
由 ,
当 时, ,函数递增；当时, ,函数递减,
可得 处取得极大值,且为最大值,
且时,；时, ,
可得的面积取值范围为,
故答案为：.基本初等函数
导函数
f(x)＝C(C为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα
f′(x)＝αxα－1
基本初等函数
导函数
f(x)＝sinx
f′(x)＝csx
f(x)＝csx
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0)
f′(x)＝axlna
f(x)＝lnx
f′(x)＝eq \f(1,x)
f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xlna)