新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第14讲垂径定理(教师版)

第14讲  圆锥曲线垂径定理

一．问题综述

 1．圆中的垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（在这里我仅研究垂直平分弦）

  如图0-1，在圆中，已知点是弦的中点，则． 

2．椭圆与圆的联系

 （教材《选修2-1》第41页例2）

 如图0-2，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？（所求得的轨迹方程是．）

 （教材《选修2-1》第50页B组第1题）

 如图0-3，轴，点在的延长线上，且．当点在圆上运动时，求点的轨迹方程，并说明它时什么曲线．（所求得的轨迹方程是．）

 由上述两道习题推广到一般情形：

在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，点在上，若，且，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程是          ．

（，且．当时，表示焦点在轴上的椭圆；当时，表示焦点在轴上的椭圆．）

 特别地，当时，椭圆即为圆．

由此，我们可以将椭圆看成是由圆升缩而成的，圆中某些性质也可以类比拓展到椭圆，本专题就圆的垂径定理在椭圆．双曲线中的拓展．应用加以总结．

二．典例分析

类型1：椭圆中的垂径定理

【例1-1】已知椭圆，不垂直坐标轴直线交椭圆于，两点，为线段的中点，直线和的斜率分别为，，求证：．

证法1：如图1-1，设，，．则，．

因为，两式作差得，即，

于是．所以．

证法2：设直线的方程为，设，，．

由，消得，

所以，于是．

所以，于是．

因此．

证法3：令，则．原题设中的点，，分别对应单位圆中的点，，且是线段的中点．由圆的垂径定理由．

又因为，，

所以．

【方法小结】三种解法分别从三个不同角度给出解析，解法2是解决直线与椭圆问题的通法，解法3利用的是仿射变换转化为直线与圆的问题求解.该问题是与弦中点有关的问题，故解法1利用点差法大大简化了运算．

★椭圆中垂径定理的拓展

拓展一：割线转切线

【例1-2】已知椭圆，设直线与椭圆相切于点，求证：．

证明：如图1-2，设，则切线的方程为，

所以切线的斜率为，于是．

【方法小结】该问题也可以看成是例1-1中割线的极限位置为切线．

拓展二：平移中线（中线转变中位线）

【例1-3】已知椭圆，点是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上异于的任意一点，求证：．

证法1：设点，

则，

又，两式作差，得，于是．

证法2：如图1-3，取的中点，连接，则．

所以．

【方法小结】找到该问题中各线段的几何关系易知，该问题又可以回到例1-1中的垂径定理．

【例1-4】（教材《选修2-1》第41页例3）如图1-4，设点，的坐标分别为，．直线，的斜率之积是，求点的轨迹方程．

解析：设点，则（），（），

由条件有

（）

化简，得点的轨迹方程是（）．

【方法小结】该问题实际是与例1-3题型对应的逆命题，如取的中点，则．

类型2：双曲线中的垂径定理

【例2-1】已知双曲线，不垂直坐标轴直线交双曲线于，两点，为线段的中点，直线和的斜率分别为，，求证：．

证明：略（同例1-1方法1和方法2），如图2-1．

【方法小结】事实上，垂径定理之斜率之积为常数的这一性质，对于有心圆锥曲线均成立．我们知道，双曲线方程与圆方程．椭圆方程一样时关于的二元齐次方程，我们可以对垂径定理作一个归纳，如下：

★圆．椭圆．双曲线中垂径定理的统一

【定理】设点是有心圆锥曲线，或 中与坐标轴不垂直且不过中心的弦的中点，则．

证明：设，，．则，．

因为，两式作差得，所以，

即．所以．

 特别地，当时，该定理即为圆的垂径定理．

【例2-2】如图2-2，已知双曲线，设直线与双曲线相切于点，求证：．

证明：略（同椭圆中的例1-2）

【例2-3】如图2-3，已知双曲线，点是双曲线上关于原点对称的两点，点是椭圆上异于的任意一点，求证：．

证明：略（同椭圆中的例1-3）

【例2-4】（教材《选修2-1》第55页探究）如图2-4，点，的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，试求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状．

解析：略（同例1-4）．

【方法小结】综合例1-4和例2-2，可以对此类斜率之积为定值的轨迹作一个归纳，如下：

★动点与两定点所连直线斜率之积为常数的轨迹

【例2-5】（教材《选修2-1》第80页复习参考题A组第10题）已知的两个顶点，的坐标分别是，，且，所在直线的斜率之积等于，试探求顶点的轨迹方程．

解析：设点，则，，由已知得

整理成

当，且时，点的轨迹值椭圆（除去两点），且当时，椭圆焦点在轴上，当时，焦点在轴上；

当时，点的轨迹是双曲线（除去两点），且焦点在轴上．

当时，点的轨迹是圆（除去两点）．（其中即为圆的直径所对的圆周角，为直角）

【方法小结】该问题中启示我们，动点与两个定点连线的斜率之积为非零常数时，动点的轨迹可能是圆、椭圆、双曲线．

【例2-6】如图2-5，直线与双曲线的两条渐近线交于点，，且点是线段的中点，求证：．

证明：由题意有，双曲线的渐近线为．

设，，．则，．

因为，两式作差得，即，

于是．所以．

【方法小结】此问题中的点．虽然是分别在两条渐近线上的点，从上述解答所用的渐近线方程易知，笔者在此依然将，两点视作时关于的二元二次齐次方程所表示曲线上的两点，其解答过程类似于椭圆与双曲线相关例题的解答．

★类型1，类型2思想方法归纳：

1．圆．椭圆．双曲线中的垂径定理

如图2-6，点是曲线的弦的中点，若将圆看作是离心率的特殊的椭圆，则有：

（因为在椭圆中，有，在双曲线中，有．）

2．圆．椭圆．双曲线中切线与中心和切点连线斜率之积

如图2-7，已知直线是在各曲线上点处的切线，若将圆看作是离心率的特殊的椭圆，则有

3．过圆．椭圆．双曲线中心的弦有关的斜率之积

如图2-8，是过曲线中心的一条弦，点是曲线上不同于的任意一点，若将圆看作是离心率的特殊的椭圆，则有

 以上各结论都可以回归到第一种类型．

类型3：垂径定理的应用

题型一：与角度有关的问题

【例3-1】已知椭圆的离心率，、是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲线的一个交点，令，则          ．

【解析】令，由椭圆的垂径定理可知：.

【方法小结】其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答.两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切.题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点.

【变式3-1】已知双曲线的左右顶点分别为，为双曲线右支一点，且，求              .

【解析】令，，则，如图3-2. 由双曲线的垂径定理可知：

.

则

.

题型二：与均值定理有关的问题

【例3-2】已知、是椭圆 长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，且．若的最小值为1，则椭圆的离心率为         ．

【解析】由题意可作图3-3，如下：

连接MB，由椭圆的第三定义可知：，而.

.

【方法小结】合理利用的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的垂径定理将两者斜率的关系联系起来，结合“一正”“二定”“三相等”利用均值定理即可用表示出最值1，进而求出离心率.

【变式3-2】已知、是椭圆长轴的两个端点，若椭圆上存在，使，则椭圆的离心率的取值范围为               .

【解析】（正切+均值）

令在轴上方，则直线的倾斜角为，直线的倾斜角为。

，

由椭圆的第三定义：，则

带入可得：

（取等条件：，即为上顶点）

而在单增，则为上顶点时，所以此时，故

题型三：与弦的中垂线有关的问题

【例3-3】已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同两点关于直线对称．

解析：设 是椭圆上关于直线对称的不同两点，弦的中点为，则由垂径定理有

又，所以，即．

又因为点在直线上，且在椭圆内，所以

 ．　

解得，，故所求实数的取值范围是．

【方法小结】例3-3椭圆中弦的垂直平分线的横截距与纵截距的范围求解，利用垂径定理大大减少了运算量．（注：如果是解答题，垂径定理的结论需要利用点差法给出．）

【变式3-3】已知是椭圆上两点，弦的垂直平分线交轴于，求证：．

证明：若平行于轴，则，显然不等式成立．

若不平行于轴，设弦的中点为，弦的垂直平分弦为，由垂径定理有

又，且，，所以

即，因为，且，所以．

题型四：与长轴有关的问题

【例3-4】已知椭圆的左．右顶点分别是，设点是直线上任意一点（除与轴的交点），连接交椭圆于点，连接．过点作的垂线，垂足为，求证：直线过定点．

证明：设点，如图3-4，

则有，所以，

于是直线的方程为，即，

故直线过定点．

【变式3-4】 已知椭圆的左．右顶点分别是，，设，连接交椭圆于点，连接，，求证：．

证明：因为，，所以．

又因为，

所以，于是有．

【方法小结】例3-4和例3-4中条件“”与“直线过定点”可以互逆，而且直线可以换成任意与轴垂直的直线，结论依然成立．

题型五：与双曲线的渐近线有关的问题

【例3-5】（2014年浙江理）设直线与双曲线 两条渐近线分别交于点，若，求双曲线的离心率．

解法1（联立方程+垂直平分）：设线段的中点为，如图3-6．

由，消得，，

所以，于是，所以，

于是，，化简得．

所以，

解法2（垂直平分+垂径定理）：设线段的中点为，如图3-7，因为，所以，

于是，所以直线的方程为

由，解得，所以．

又由垂径定理，有，即，

所以．

解法3（倾斜角+垂径定理）直线与轴的交点为，为的中点，

设的中点为，则，设，

则，

由双曲线垂径定理有：，即，得.

【方法小结】例3-5是直线截双曲线的渐近线所得弦中点有关的直线斜率关系，常规设线或利用垂径定理都可以得解，显然，知道垂径定理的结论能使运算量大大降低．

三．巩固练习

1．已知直线与椭圆相交于两点，求弦的中点坐标．

2．是椭圆上两点，线段的中点在直线上，则直线与轴交点的纵坐标的取值范围是              ．

3．设 是双曲线上的两点，

 （1）若点是线段的中点，求直线的方程；

 （2）若直线过定点，求线段的中点轨迹方程．

4．（2013高考大纲卷8）椭圆的左．右顶点分别为，点在椭圆上，直线的斜率的取值范围是，那么直线的斜率的取值范围是（    ）

 A.    B.     C.     D.

5．已知椭圆，点为椭圆上异于顶点的任意一点，过点作长轴的垂线，垂足为，连结并延长交椭圆于另一点，连结并延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为         ．

6．（2011江苏卷）如图4-1，在平面直角坐标系中，点分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为．

 （1）当直线平分线段时，求的值；

 （2）当时，求点到直线的距离；

 （3）对任意，求证：．

7．（2003江苏高考10）已知双曲线中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于两点，中点的横坐标为，则此双曲线方程为（     ）

 A.    B.    C.    D.

8．已知双曲线，过轴上点的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），直线交双曲线左支于点，连接．若，，则该双曲线的离心率为（      ）

 A.     B.     C. 2      D. 4

9．（2012年浙江高考）双曲线的左右焦点分别为，为虚轴的端点，直线与双曲线的两条渐近线交于两点，线段的中垂线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为            ．

三．巩固练习参考答案

1、解析：设的中点为，则，又，

所以，故直线的方程为．

由，解得．所以弦的中点坐标为．

2、解析：如图4-2，设直线的方程为．

由条件有，即，所以

由，解得

又因为点在椭圆内，所以，故或

依题意有，化简得，，

所以．

3、解析：（1）由条件有，又，所以．

于是直线的方程为，即．

（2）设线段的中点为，当时，由垂径定理有，整理得，

     （*）

当时，显然中点为也适合方程（*）．

故方程即为所求的中点轨迹方程．

4、解析：由垂径定理有，，又，所以．故选B.

5、解析：如图4-3，设，，，

由椭圆的垂径定理有，所以．

又，于是，即．

所以离心率为．

6、解析：（1）点，的中点坐标为，

所以．

（2）由，得，，

所以，直线的方程为，即．

所以点到直线的距离为．

（3）证法一（设线联立求点硬算）：由，消得，．

所以，

于是，所以直线，代入椭圆方程得

．

所以，，

于是，

故，所以．

（3）证法二（利用垂径定理）：设，，，

由椭圆的垂径定理有，所以．

所以，故．

7、解析：由条件知，线段的中点在直线上，所以得，

由垂径定理有，，即，解得．

又，所以，故所求双曲线方程为，选D.

8、解析：如图4-4，取线段的中点为，连，则，

又因为，所以．

因为，所以，

所以，

于是，解得.

9、解法一（常规设线求解）：如图4-5，依题意有，，所以直线的方程为，

由，消得，，

所以，于是有，

故的中点．

又，所以直线的方程为，

令，得．

又因为，所以，

即，解得．

解法二（设线后巧用垂径定理）：如图4-6，连接，则由垂径定理有．

又，，所以直线的方程为，

直线的方程为．

于是由，，

所以，

即，

解得．