山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2022-2023学年九年级上学期期初考试数学试题（含答案）

这是一份山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2022-2023学年九年级上学期期初考试数学试题（含答案），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．年北京冬奥会在北京，张家口等地召开，在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是( )
A．B．
C．D．
3．下列命题：①的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于，则它是正五边形，其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A．0.4103m/sB．0.8103m/sC．4102m/sD．8102m/s
5．如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
6．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，经过平移后得到，若上一点平移后对应点为，点绕原点顺时针旋转，对应点为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM．若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分面积为（ ）cm2
A．25B．35C．30D．42
二、填空题
8．如图，直角三角形纸片中，，点D是边上的中点，连结，将沿折叠，点A落在点E处，此时恰好有．若，那么______．
9．分解因式：__________．
10．如图，在正六边形中，连接，则____________度．
11．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______．
12．“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分，那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为 ______．
13．如图，直线与轴交于点，与直线相交于点．则关于的不等式组的解集是________．
14．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则＝_____．
三、解答题
15．（1）如图，请用尺规在△ABC的边BC，AC，AB上分别取点D，E，F使得四边形BDEF为菱形；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的菱形BDEF中，若∠ABC＝60°，BE＝6，求菱形BDEF的面积．
16．（1）化简：
（2）解不等式组
17．孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣是最好的老师，阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐……各种兴趣爱好是打并创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长．对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：
学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数直方图；
(2)这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第__________组；
(3)若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为__________，对应的扇形圆心角的度数为__________；
(4)学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？
18．为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表：
居民用水阶梯水价表单位：元/立方米
(1)小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为______元；
(2)小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为______立方米；
(3)随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？
19．如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若OM平分∠EOF，求证：OM⊥EF．
20．某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/、12元/，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的关系如图所示．
(1)写出图中点B表示的实际意义；
(2)分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．求a的值．
21．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE、AG、FG．
(1)求证：△BCE≌△FDE；
(2)当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
22．某书店为了迎接“读书节”决定购进A、B两种新书，相关信息如表：
(1)已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，请求出A、B两种图书的标价；
(2)经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A种图书按照标价8折销售，B种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
23．提出问题：
在4×4的正方形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有几个？
问题探究：
为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法．
探究一：
在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取2个数值：1，，以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下一种情况：1、1、．
当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个．
故在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为4个．
探究二：
在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取5个数值：1，2，，，．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下三种情况：1、1、；、、2；2、2、．
（1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个．
（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有6条，其中有4条在2×2正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有2条在2×2正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×1+2×2=8个．
（3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个．
故在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为16+8+4=28个．
探究三：
在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取 个数值．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、．
（1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2=36个．
（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有 条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有 条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有 个．
（3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个．
（4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形；
有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2=16个．
（5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个．
故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 个．
问题解决：
在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 个．
拓展延伸：
在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为 个．
24．已知：如图，在矩形和等腰中，，，
，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作，交于点H，交于点M，过点Q作，交于点N．分别连接，，设运动时间为t（s），解答下列问题：
(1)当点P在垂直平分线上时，求t的值；
(2)当时，求t的值；
(3)设五边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(4)当时，求t的值；
组别
时长t（单位：h）
人数累计
人数
第一组
正正正正正正
30
第二组
正正正正正正正正正正正正
60
第三组
正正正正正正正正正正正正正正
70
第四组
正正正正正正正正
40
分档
户每月分档用水量x（立方米）
水价
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯
种别
A种
B种
进价（元）
18
12
备注
①用不超过16800元购进A、B两种图书共1000本；
②A种图书不少于600本；
参考答案：
1．B
【分析】根据中心对称图形的定义解答即可．
【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．D
【分析】根据积的乘方运算可判断A,根据合并同类项可判断B,根据单项式乘以多项式可判断C,根据同底数幂的除法运算可判断D,从而可得答案.
【详解】解：故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C不符合题意；
故D符合题意；
故选D.
【点睛】本题考查的是积的乘方运算，合并同类项，单项式乘以多项式，同底数幂的除法运算，掌握以上基础运算是解本题的关键.
3．B
【分析】利用算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①的算术平方根是，故原命题错误，是假命题；
②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，是真命题；
②天气预报说明天的降水概率是，则明天下雨可能性很大，但不确定是否一定下雨，故原命题错误，是假命题；
④若一个多边形的各内角都等于，各边也相等，则它是正五边形，故原命题错误，是假命题；
真命题有1个，
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识，难度不大．
4．D
【分析】根据已知，代入化简求解即可．
【详解】解：由题意可知，（m/s）
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式，科学记数法的有关知识．
5．D
【分析】连接OP，证明四边形OEPF是矩形，得到：，当时，OP的值最小，利用，求出OP的最小值即可，
【详解】解：连接OP，
∵是菱形，∴，即，
∵，，
∴四边形OEPF是矩形，
∴，
当时，OP的值最小，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，即EF的最小值为：，
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，等面积法，解题的关键是证明，当时，OP的值最小，利用等面积法求出OP的长．
6．A
【详解】分析：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，再根据P1与P2关于原点对称，即可解决问题．
详解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1．
∵P（1.2，1.4），∴P1（﹣2.8，﹣3.6）．
∵P1与P2关于原点对称，∴P2（2.8，3.6）．
故选A．
点睛：本题考查了坐标与图形变化，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．C
【分析】连接MN，根据中位线定理，可得出MN=DE=5cm；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5cm，这三个三角形的高之和是从A点到BC的垂线段的长，利用勾股定理可求得高为cm，据此可求出图中阴影部分的面积=30cm2．
【详解】解：连接MN，作AG⊥BC于点G，设ME和ND交于点O．
又∵AB=AC，AB=13cm，BC=10cm
∴BG= BC=5cm
在Rt△ABG中
∴ cm
∵M，N分别是AB，AC的中点， DE=5cm
∴MN= BC =DE=5cm，
∴阴影部分的面积S=S△AMN+S△OMN+ S△ODE= ×5·AG=30 cm2
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，以及等底三角形面积的算法．解答本题的关键是熟练掌握中位线定理．
8．
【分析】设交于点O．证明，求出，证明，可得结论．
【详解】．解：如图，设交于点O．
∵，
∴，
∴，
由翻折的性质可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．
【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．30
【分析】连接BE，交CF与点O，连接OA，先求出，再根据等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质求解即可．
【详解】
连接BE，交CF与点O，连接OA，
在正六边形中，
，
，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
11．且
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【详解】解：去分母，得：，
去括号，移项，合并同类项，得：．
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴．
又∵，
∴．
∴．
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用m表示出x的值是解题的关键．
12．
【分析】根据比赛场数为9场可列，根据比赛积分为17分可列，由此即可得到答案．
【详解】解：∵该足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，
∴；
∵胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该足球队在第一轮比赛中共得17分，
∴．
∴所列方程组为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
13．##
【分析】利用函数图像写出直线在直线上方所对应的自变量的取值范围，然后确定直线的解集为，最后确定不等式的解集即可．
【详解】解：根据图像可知，当，，
∴关于x的不等式解集为，
当，，
∴关于x的不等式解集为，
该不等式的解集为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的应用，解题关键是利用数形结合的思维分析问题．
14．
【详解】解：a1=3=1×3，a2=8=2×4，a3=15=3×5，a4=24=4×6，…，an=n（n+2）；
∴+++…+=++++…+
=（1–+–+–+–+…+–）
=（1+––）=
故答案为：
15．（1）见解析；（2）菱形BDEF的面积为．
【分析】（1）作△ABC的角平分线BE，作线段BE的垂直平分线交AB于F，交BC于D，连接DE，EF，四边形BDEF即为所求；
（2）BE与DF相交于O点，如图，利用菱形的性质得到∠EBD=30°，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得OD的长，利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】（1）D，E，F的位置如图所示，四边形BDEF为菱形．
；
（2）BE与DF相交于O点，
∵∠ABC=60°，四边形BDEF为菱形，
∴∠EBD=30°，DF⊥BE，BO=OE=BE=3，OD=OF，
∴BD=2OD，BD2=BO2+OD2，
∴(2OD)2=32+OD2，
解得：OD=(负值已舍)，
∴DF=2OD=，
∴菱形BDEF的面积=．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．
16．（1）；（2）
【分析】（1）根据分式的混合运算法则求解即可；
（2）先分别解两个不等式，再求取不等式的解集即可．
【详解】（1）原式
；
（2）
解①得：，
解②得：，
所以，不等式的解集为．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握相关法则是解题的关键．
17．(1)图见解析
(2)三
(3)30%，108
(4)330人
【分析】（1）根据频数分布表补全图形即可；
（2）根据中位数的定义，中间的一个数或两个数的平均数求出中位数；
（3）根据百分比=该组频数÷总数，圆心角百分比，即可得出答案；
（4）用2200乘以第一组所占百分比即可得出答案．
【详解】（1）解：学生每周自主发展兴趣爱好时长频数直方图：
（2）∵总人数为200人，
∴中位数落在第100、101个学生每周自主发展兴趣爱好的时长的平均数，
又∵30+60=90＜100，30+60+70=160＞101，
∴中位数落在第三组，
故答案为：三；
（3）第二组的学生人数占调查总人数的百分比为：
第二组的学生人数对应的扇形圆心角的度数为：
故答案为：30%，108；
（4）估计该校需要增加自主发展兴趣爱好时间的人数为：（人）
答：估计该校有330人需要增加自主发展兴趣爱好时间．
【点睛】本题考查频数及频率的应用，熟练掌握频数及频率的意义及应用、频数分布直方图的画法及一定的数据分析方法是解题关键．
18．(1)70
(2)5
(3)28立方米
【分析】（1）利用表格数据直接求解即可；
（2）利用表格数据得出小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米，进而求解即可；
（3）利用表中数据得出水费不超过180元时包括第三阶段水价费用，进而得出不等关系求解即可．
【详解】（1）由表格中数据可得：时，水价为：5元/立方米，
故小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为：（元）；
故答案为：70；
（2）∵，
∴小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米，
设小明家6月份使用水量为x立方米，
∴，解得：，
故小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为：（立方米），
故答案为：5；
（3）设小明家能用水a立方米，根据题意可得：
，
解得：，
答：小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水28立方米．
【点睛】本题考查了一元一次不等式点的应用即一元一次方程的应用，能够根据表中数据得出不等关系是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定和性质即可证明；
（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB=∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论．
【详解】证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AF＝DE；
（2）由（1）得：Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF，
∵OM平分∠EOF
∴OM⊥EF．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定和性质及等腰三角形的性质，熟练应用三角形全等的判定和性质是解题的关键．
20．(1)当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等
(2)，
(3)80
【分析】（1）结合图象可知：B点表示的意义为：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）分别表示出甲的利润，乙的利润，再根据甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：
B表示的实际意义：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等．
（2）解：由图可知：过，，
设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，
∴，解得：，
∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：；
当时，乙函数图象过，，
设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：，
∴；
当时，乙函数图象过，，
设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：，
∴；
综上所述：乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为；
（3）解：甲的利润为：，
乙的利润为：
∴当时，
甲乙的利润和为：，解得（舍去）；
当时，
甲乙的利润和为：，解得；
∴当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．
【点睛】本题考查一次函数图象的实际应用，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，结合图象获取有用信息．
21．(1)详见解析
(2)四边形AEFG是矩形，详见解析
【分析】（1）由AAS证明△BCE≌△FDE即可；
（2）先证四边形AEFG是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴∠DFE＝∠CBE，
∵E为CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
（2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，ADBC，
∴∠AFB＝∠FBC，
由（1）得：△BCE≌△FDE，
∴BC＝FD，BE＝FE，
∴FD＝AD，
∵GD＝DE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝∠ABF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB，
∵BE＝FE，
∴AE⊥FE，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFG是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△BCE≌△FDE是解题的关键．
22．(1)A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元
(2)A类图书600本，B类图书400本
【分析】（1）先设出两种图书的标价，再根据购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，建立分式方程，解方程并检验即可；
（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，先根据总利润=A类图书的利润+B类图书的利润，表示出，再根据备注内容建立一元一次不等式组，求解即可．
【详解】（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为元，
根据题意可：，解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
则A类图书的标价为：（元），
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；
（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为元，
由题意得，，
根据题意得：，解得：，
∵，∴w随着t的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，最大值为4560元，
此时购进A类图书600本，B类图书400本．
【点睛】本题考查了列分式方程解决问题，求一次函数解析式及列一元一次不等式组解决问题，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．
23．探究三：9，8，8，24，96；问题解决：244；拓展延伸：48
【分析】问题解决：按探究一、二的规律，先确定所有线段，然后确定所有符合等腰直角三角形的边长组合，再逐个确定每一个组合对应的等腰直角三角形个数，进而可确定等腰直角三角形的总个数．
拓展延伸：在2×2×1的长方体中，只需要确定正面、侧面、上面所有的等腰三角形的个数即可得到答案．
【详解】解：探究三：在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取9个数值： 。以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、．
（1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2=36个．
（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有8条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有8条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有24个．
（3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个．
（4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形；
有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2=16个．
（5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个．
故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为96个．
问题解决：在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取14个数值：
这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下八种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、；、、4；、、；
4、4、 ．
（1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有32条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有32×2=64个．
（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有30条，其中有12条在4×4正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有18条在4×4正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有12+36=48个．
（3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2=36个．
（4）当斜边长为时，图形中长为的线段有32条，其中有16条对应着一个等腰直角三角形；
有16条对应着两个等腰直角三角形，共有16×1+16×2=48个．
（5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个．
（6）当斜边长为4时，图形中长为4的线段有10条，其中有8条每条对应着一个等腰直角三角形；另有2条每条对应着两个等腰直角三角形，共有8+4=12个．
（7）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条每条对应着一个等腰直角三角形；另有4条每条对应着两个等腰直角三角形，共有8+8=16个．
（8）当斜边长为时，图形中长为的线段有2条，每条对应着两个等腰直角三角形，共有4个．
故在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为：
64+48+36+48+16+12+16+4=244个．
拓展延伸：在2×2×1的长方体中：
（1）在正面的2×1的方格上，以格点为顶点的线段长度可取3个数值：1，,2．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下两种情况：1、1、；、、2．
当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有4条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×2=8个；
当斜边长为2时，长为2的线段有2条，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形，共有2个；
故正面共有10个等腰直角三角形．
（2）在侧面的2×1的方格上，等腰直角三角形的个数与（1）相同，共10个。
（3）在上面的2×2的方格上，由探究二得知有28个等腰直角三角形．
故在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为48个．
【点睛】本题考查规律探索，并按规律解决问题，懂得按题意研究和总结规律，并按规律解决问题是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）连接，设，接着求出，点P在垂直平分线上，则，最后在中，利用勾股定理即可求出答案；
（2）由矩形中，由小问1知，， ，接着利用在和的关系，即可求出答案；
（3）过点P作于，利用等腰三角形的性质和平行线的性质,结合矩形的性质易得四边形是矩形，再确定，进而得到相应的边长的值，然后利用所求的五边形面积等于矩形和三角形面积和，将数值代入计算可解；
（4）延长交于点，证明四边形和四边形是矩形，根据矩形的性质代入计算即可．
【详解】（1）如图，连接，
速度为，
点P在垂直平分线上时，则，
，，
，
，
，
，
点P在垂直平分线上，则，
在中，，
，解之，
．
（2）由题意，，
在矩形中，由小问1知，， ，
，，
在和有，，，
，即，
解得：．
（3）如图，过点P作于，
在等腰直角中，，，
，
，则，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
解之：，
，则，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
S与t之间的函数关系式为：．
（4）如图，延长交于点，
由小问2、3可得 ，，
，
四边形是矩形，
，
同理可证，四边形是矩形，
，
当时，
，
，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题是四边形的综合题，综合考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、矩形面积公式、三角形面积公式、动点问题等知识，掌握以上知识点、具有较好的逻辑推理和计算能力是解题的关键．