高中数学高考高三数学一轮复习备考教学设计：函数的零点 黄冈中学

这是一份高中数学高考高三数学一轮复习备考教学设计：函数的零点 黄冈中学，共18页。教案主要包含了考情分析，本专题复习的意义等内容，欢迎下载使用。
——函数的零点（2课时）
黄冈中学
“函数”是高中数学中起联接和支撑作用的主干知识，也是进一步学习高等数学的基础．
其知识、观点、思想和方法贯穿于高中数学的全过程，同时也应用于几何问题的解决．因此，在高考中函数是一个极其重要的部分，而对函数零点的复习则是高三数学一轮复习的重头戏．
一、考情分析
（一）考纲要求（2016年）
2016年全国新课标数学（文）学科大纲和2015年对比没有变化．2016年高考数学全国卷（ = 1 \* ROMAN I），贯彻《2016年全国统一高考考试大纲》基本要求，一如既往保持了新课标高考卷整体稳定、适度创新的风格，重视考查学生的基本数学素养，兼顾对各考点、数学思想方法和能力的考查，关注数学的应用意识和创新意识，试卷梯度明显，有良好的区分度．
（二）试题分析
近三年新课标全国卷 (文)对本专题的考查统计如下：
根据上表可以看出新课标全国卷(文)在本专题中的命题特点如下：
（1）从考查要求来看：不仅有基本知识、基本方法、基本技能的考查，更有数学思想、数学本质的考查．
（2）从考查题型和难度来看：新课标卷在函数方面占27分，题目基本稳定在“三小一大”的格局上，其中小题平均难度适中，解答题难度很大，比较稳定的采用导数压轴．
（3）从考查内容来看：小题考点可总结为七类：一是分段函数，二是函数的性质，三是基本函数，四是函数图象，五是方程的根（函数的零点），六是函数的最值，七是函数与导数．解答题主要是利用导数处理函数、方程和不等式等问题，有一定的难度．常见的考点可分为六个方面，一变量的取值范围问题，二证明不等式的问题，三方程的根（函数的零点）问题，四函数的最值与极值问题，五导数的几何意义问题，六恒成立与存在性问题．
（4）从考查思维和能力来看：既考查学生分析问题和解决问题的能力，又考查运算能力和数据处理能力．
（5）从考查的数学思想方法来看：分类讨论思想、函数与方程思想、等价转化思想、数形结合思想、整体代换思想、极端化思想、建模思想
如：分段函数问题、判断含有参数的函数的单调性、最值等问题常与分类讨论思想相结合，有关函数与方程的相关问题常涉及函数与方程思想和等价转化思想，研究函数的图象问题和基本函数的性质时常利用数形结合思想等．
（三）命题趋向
（1）题量稳定，题型不变，小题平均难度适中，解答题难度很大，导数压轴；
（2）函数的性质、函数的图象、分段函数、函数与方程、函数与导数依然是考查的重点；
（3）可能会有与其它章节交汇知识点的考查，如：函数与三角函数、函数与不等式、函数与数列、函数与解析几何等交叉渗透的综合性问题；
（4）压轴题为函数与导数，主要考查利用导数处理函数、方程和不等式等问题，同时考查推理论证能力、数据处理能力、转化与化归思想以及分类讨论思想．
二、本专题复习的意义
作为高考考查的重点，又是学好其它相关章节的桥梁和工具，函数的一轮复习教学必须深入而有效．传统的一轮复习教学注重知识点的分类复习、题型和方法的分类复习，能促使学生构建知识体系，优化解题思路，但是在复习的精准度、细致度、深刻度等方面尚存在一定的问题，比如“函数与导数”“解析几何”等内容，有知识点多、复习时间长的特点，学生往往会陷入机械记忆模式，对很多问题仍然是一知半解．如能在传统专题形式的基础上对重点考查的内容穿插微专题，则可以起到“见微知著”，促进学生深度学习的目的，同时也能激发学生的学习热情．
函数一轮复习的微专题有：函数的定义域和值域、函数的性质、函数的图象、函数的零点．
在新课标中，函数的零点是函数中的重要内容，也是高考考查的热点．它是函数、方程、不等式的一个知识交汇点，也是初等数学与高等数学的一个衔接点，蕴含着丰富的数学思想．从近几年各省的高考真题来看，零点问题不仅呈现于客观题中，考查学生对零点问题的基础知识与基本技能的理解与掌握，而且渗透于主观题中，与其它知识交汇对接，考查学生的综合思维能力．小题中的零点问题多用数形结合的思想求解，解答题中的零点问题多用导数法求解．特别是，新课标卷近两年在压轴题中都考查了导数法解决零点问题，而且有一定的难度．这一发现促使我开始从这两种思路去研究零点问题．
微专题“函数的零点”教学设计(2课时)
一、教学设计
1．教学内容解析
本课是高三一轮函数章节复习之后对重点内容设置的微专题复习课，不一定要做到面面俱到，而是要把握重点、聚焦难点、力求突破难点．本课主要复习解决零点问题的两种基本思路： = 1 \* GB3 ①数形结合； = 2 \* GB3 ②导数法．通过对零点问题的多级设计，实现知识的层层解析，思维的步步深入，方法的自然迁移．教学过程中，引导学生面对新问题时主动联想已解决问题运用的各种策略，通过观察、判断、分析、比较寻得新问题的解决方法．在问题的逐级递进中，让学生逐渐领悟解决该类问题常用的思想方法，并在此基础上优化方法，从而让学生活用知识，升华思想，提高能力．通过习题的训练，让学生学会识别题目的类型、联想方法、选择思路，在不同的复合情境中抓住题目的本质，寻找解题的规律，“以不变应万变”．根据教学内容，微专题计划两课时完成．
根据以上分析，本节课的教学重点确定为：
教学重点：
数形结合探究零点问题、导数法探究零点问题．
2．学生学情分析
此课的授课对象为高三文科班的学生．学生此时刚好复习完了函数部分的所有知识点，会画简单函数的图象，会通过图象研究、理解函数的性质，对零点的求解方法和所涉及到的基本题型也有了一定的认识．但在深刻度上还有所欠缺．所以在教学中要引导学生归类题型，总结方法，注重题与题之间的连通性和变通性，从而在浩如烟海的数学题目中寻找解题的规律．
根据以上分析，本节课的教学难点确定为：
教学难点：如何引导学生识别题目的类型、联想方法、选择思路，在不同的复合情境中抓住题目的本质，寻找恰当的、最优的方法解决零点问题．
3．教学目标设置
（1）让学生掌握解决零点问题的两种基本思路： = 1 \* GB3 ①数形结合法； = 2 \* GB3 ②导数法．
（2）让学生掌握两类题型的处理方式： = 1 \* GB3 ①求零点的个数； = 2 \* GB3 ②已知零点的个数求参数．
（3）让学生体会函数与方程思想，数形结合思想，转化与化归思想，分类讨论的思想．
（4）强化学生对函数与方程相互转化的认识与理解，提高学生分析问题、解决问题的能力．
4．教学策略分析
在“学生主体、教师主导”的新课标理念下，运用变式教学策略，实现对教学难点的突破．
策略1.一题多变
通过一题多变，给学生的思维发展提供阶梯，让学生在探究中感悟知识，建构分段函数零点问题的求解模型，提高学习效率．
策略2.一题多解
引导学生对同一零点问题从不同角度加以思考，探求不同的解决方法，训练思维的多向性，实现对数形结合法、导数法探究零点问题解题方法的整理归纳．注重不同方法的对照、对比和优选，通过对多种解法的探究和呈现，更好的提高学生解题的灵活性和敏捷性．
策略3.多题归一
引导学生将探究所得的方法应用到零点问题的求解中，让学生学会识别题目的类型、联想方法、选择思路，在不同的复合情境中抓住题目的本质，寻找解题的规律，“以不变应万变”，做到抽丝剥茧，柳暗花明．
教学流程：
回归梳理
下一轮会更精彩
顺藤摸瓜
解题规律及时找
拾级而上
借用导数探零点
一题多变
数形结合探零点
二、教学过程
第一环节：一题多变 数形结合探零点
高考中，大多数的零点问题基本都要用到数形结合的思想来求解，而直接运用数形结合的思想来探究零点问题多以小题的形式呈现，而且以分段函数的形式居多，为了贴近高考，此环节设置的例题和变式题的函数形式都为分段函数．
例题1（解析式与分段点均确定的零点问题）：设函数，则函数的零点为_________．
变式1：【2014福建，文15】函数的零点个数是_________．
设计意图：此问题由学生课前预习完成，帮助学生回顾函数零点问题的处理方法：一个原理、两种方法、三种转换．让学生意识到对于分段函数来说，还得根据每一段的定义域来求零点．为后面变式的探究打下基础．
小结：在师生的共同探讨下，收获如下：解析式确定的零点问题，不管是不是分段函数，零点问题概括起来就是一个原理——零点存在性定理，两种方法——解出来或画出来；三种转化——转化为型，型或者型．而分段函数的零点在此基础上还要结合各段的定义域去确定零点．所蕴含的思想方法有：函数与方程、数形结合、转化与化归．
变式2（解析式确定，分段点不定的零点问题）：设函数，若函数有两个零点，则的取值范围是_________．
设计意图：在例题1解析式的基础上将分段点改为不确定的情况去探求零点．该题由学生先思考后展示，经教师补充后共同提炼出两种解法：一是先分别作出两段函数在R上的图象，再通过分段点的左、右移动来取舍左、右两段函数的图象，进而确定满足条件的分段点的位置．二是通过解方程计算两段函数零点的取值为，找到讨论的标准，对分类讨论来求解．
变式3（解析式不定，分段点确定的零点问题）：
【2015北京，文14】设函数．
= 1 \* GB3 ①略
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是_________．
设计意图：在例题1的基础上将解析式改为不确定的情况，图象不定，难度较大．可让学生先思考然后说出自己的解题方法再计算，最后请代表展示，教师点评．师生共同整理出对于含参的分段函数零点的最优解法：首先在每段中求零点，分析零点与分段点的位置关系找到参数的分类标准，然后将零点进行等价转化，再运用分类讨论的思想，结合图象找限制条件．通过此变式让学生体会如何从复杂的情境中准确的找到问题的切入点，同时复习数形结合、分类讨论、等价转化的数学思想．
在例1以及3道变式题的基础上，教师精心挑选配套练习题，进一步巩固如何运用数形结合的思想来求解零点问题．
练习1：【2015天津，文8】已知函数，函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
设计意图：分段函数中加绝对值，目标函数也变得复杂，但是求解的方法却更加灵活、多样．通过此题进一步巩固变1知识，同时训练学生的解题思维．具体有三种做法：一是利用图象的对称变换、平移变换等知识，分别作出与的草图，从图象中发现两个函数的图象有两个交点；二是求出函数的解析式，在每一段中按照例1或变1的方法求零点；三是构造函数，将此问题转化为求与的交点个数．
练习2：【2016天津，文14】已知函数在R上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________．
设计意图：设置练习2的目的为：巩固分段点不定零点问题的求法，让学生感受获得知识的喜悦，考查学生对此类问题的掌握和理解情况．练习2难度较大，命制中增加了2个限制条件，一是由函数的单调性限制了参数的范围，二是目标函数中增加了绝对值符号，即解题中需结合函数的翻折变换，利用数形结合的思想找限制条件．通过此题让学生体会解决此类零点问题的难点并不是零点问题的转化，而是如何通过画图、通过图象的变换，找到的限制条件．同时还要注意解题细节，直线与曲线相切也符合题意．
第二环节：拾级而上 借用导数探零点
函数的图象有时并不能直接画出，或分情况画出，必须通过求导讨论单调性才能画出，进而探究零点．所以导数在探究零点问题中的工具作用不容小觑，而且这是新课标文科卷近年来考查的热点，通常以解答题的形式呈现，考查的都是非分段函数的零点，并未涉及到分段函数．教师根据学生的掌握情况，设计一组问题，层层递进．
例题2：（必修1，88页例1改编）判断函数的零点个数．
让学生在学案上完成例题，并用实物投影仪展示学生的解答过程，得到以下两种解法．
方法一：因为，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又因为当接近时函数值为正数，同时，结合的图象（图1）可知的零点有2个．
方法二：判断函数的零点个数，即判断方程根的个数，即判断函数与函数的交点个数，由图2可知，它们的交点有两个，所以的零点有2个．
设计意图：通过例题2进一步巩固第一环节中解决零点问题的方法，即一个原理，两种方法，三种转化．同时指出不同之处为：不再是分段函数，函数的单调性必须借助于求导才能判断．由学生课前完成．
变式1：判断函数的零点个数．
方法一：因为参数在常数项的位置，它是例2中的函数经过上下平移得到的，由图象易得： 当时，无零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点．
方法二：由题意，原问题即判断函数与函数的交点个数，在例2的方法二的基础上，求出函数的斜率为的切线方程为，通过平移函数易得同样结论．
方法三：运用分离参数法． 转化为判断函数与的交点个数问题． 由例2中方法一的图象易得同样结论．
设计意图：添加参数，参数在常数项的位置．学生经过分析，得到三种解法，教师用实物投影展示成果．通过此变式让学生的思维处于螺旋上升状态．
变式2：若函数在区间上有一个零点，求的取值范围．
设计意图：添加区间后，变式1下的三种方法均可行，学生稍作思考便能得出答案为：或．帮助学生实现方法的自然迁移．
变式3：若函数有一个零点，求的取值范围．
设计意图：改变参数位置，将参数置于一次项系数位置，增加问题难度，让学生面对新目标，再次起跳，争取摘到“桃”．
经过思考，学生得到三种解法，用实物投影展示其解答过程．
方法一：因为，所以，所以当时，在上单调递减，又因为当接近时函数值为正数，同时，所以函数必定有一个零点．
当时，易知在上单调递减，在上单调递增，所以
即可，解得． 综上所述：或．
方法二：由题意可知，函数与函数有一个交点，而函数是过定点的直线，由图3，当或直线与相切时满足题意，相切时可设切点为，由可知切点坐标为，又因为点在直线上，解得． 综上所述：或．
方法三：分离参数可得．即函数与有一个交点．因为，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为当接近时函数值是负的，当趋向正无穷时函数值是正的，由图4可知，的取值范围是或．
变式4：当时，若函数有两个零点，求的取值范围．
设计意图：再次改变参数位置，将参数置于对数前，再添难度，让学生尝试对比以上方法择优解决．答案为：．
练习：【2015新课标1，文21】设函数．
（ = 1 \* ROMAN I）讨论的导函数的零点的个数．
（ = 2 \* ROMAN II）略
设计意图：虽然与前面的变式题在解析式上有些不同，但是处理的方法完全一样，即转化为函数与的交点个数，并通过导数来判断，或函数与的交点个数，或求导讨论的单调性，结合零点存在性定理判断零点．通过此题，巩固利用导数探究零点的三种方法，分辨最优解．同时感受高考真题，体会真题中零点的考查方式．
第三环节：顺藤摸瓜 解题规律及时找
师：通过以上两个环节的学习，你有哪些收获？
学生分组讨论完成，教师在方法技巧的基础上提炼核心数学思想，帮助学生形成实用有效的解题规律：零点问题概括起来就是一个原理——零点存在性定理，两种方法——解出来或画出来；三种转化——转化为型，型或者型．
数形结合探究含参的分段函数零点具体做法为：首先在每段中求零点，分析零点与分段点的位置关系找到参数的分类标准，然后将零点进行等价转化，再运用分类讨论的思想，结合图象找限制条件．不仅要用到等价转化的数学思想、还需用到分类讨论和数形结合的思想．
借用导数探究一般函数零点具体做法为：1、型．求导，对参数分类讨论进而讨论函数的单调性，确定函数图象的特征，找参数的限制条件；2、型．将函数变形，把参数置于一边，对新构造的确定函数求导，讨论函数单调性，确定图象的特征，最后平移直线，找到参数的限制条件；3、型．将函数变形，把函数零点问题转化为一条直线和一个一般曲线的交点问题，利用导数求曲线的切线，通过图象找到参数的限制条件．
我们应将具体问题转化为三种类型的某一类，有时还要通过分析、比较找出最优解，也即最佳策略．
设计意图：让学生对所学的知识有比较全面的认识，引导学生归纳总结解决不同零点问题的处理方法、思想方法和解题步骤，从解决问题的方法、规律、思维策略等方面反思自己的做法，总结解题的经验教训，提高解题能力．及时反馈课堂的教学效果，让复习课更加深刻、细致和精准，从而实现微专题复习课的终极目标．
第四环节：回归梳理，下一轮会更精彩
布置学生课后在函数零点的课本习题中，在以前做过和考过的题目中，把与本课相类似的零点问题找出来再做，总结和归纳解题的经验、感悟、困惑和教训．同时布置课后练习，为二轮复习打下扎实的基础．
课后练习：
1．【2016山东，文15】已知函数，其中．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_______．
2．【2015江苏，13】已知函数，，则方程
实根的个数为 ．
3．已知函数（R），若函数在R上有两个零点，则的取值
范围是 ．
4．已知实数若方程有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2，则实数的取值范围是________．
5．【2016新课标1，文21】已知函数．
（ = 1 \* ROMAN I）讨论的单调性；
（ = 2 \* ROMAN II）若有两个零点，求的取值范围．
6．【2014新课标1，文12】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是________．
7．【2014陕西，文21】设函数R．
（Ⅱ）讨论函数零点的个数．
设计意图：进一步巩固所学，让学生学会独立识别题目的类型、联想方法、选择思路，在不同的复合情境中抓住题目的本质，寻找解题的规律，“以不变应万变”．体会函数与方程思想，数形结合思想，转化与化归思想．
教学反思：本课复习了解决与零点相关问题的两种基本思路： = 1 \* GB3 ①数形结合； = 2 \* GB3 ②导数法．
两类题型： = 1 \* GB3 ①求零点的个数； = 2 \* GB3 ②已知零点的个数求参数．内容设计层层深入，分段进行，又环环相扣，使学生在接受知识、探究问题的过程中能有一个逐步积累深入、螺旋上升的发展．
但本课主要涉及的是数形结合解决分段函数中的零点问题，以及借用导数画图象来解决非分段函数的零点问题，对于非分段函数直接画图或者通过图象的变换再画图去求解零点的问题，限于课时不能展开．直接解方程求解函数的零点，因为考得较少故而直接忽略掉了．
近五年与零点有关的真题搜集如下：
【2016山东，文15】已知函数，其中．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_______．
【2016天津，文14】已知函数在R上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________．
【2015天津，文8】已知函数，函数，则函数
的零点的个数为（ A ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【2015安徽，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ D ）
A． B． C． D．
【2015安徽，文14】在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为 ．
【2015湖南，文14】若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____．
【2015陕西，文9】 设，则（ B ）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
【2015湖北，文13】函数的零点个数为_________．个
【2015江苏，13】已知函数，，则方程 实根的个数为 ．个
【2014新课标1，文12】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ A ）
A． B．
C． D．
【2014湖北，文9】已知是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（ D ）
A． B．
C． D．
【2014福建，文15】函数的零点个数是_________．个
【2013天津，文8】设函数．若实数满足
, 则（ A ）
A．B．
C．D．
【2013湖南，文6】函数的图象与函数的图象的交点个数（C ）
A． B． C． D．
【2013上海，文】方程的实数解为_______．
【2013湖北，文12】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ B ）
A．B．C．D．
【2013安徽，文10】已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（ A ）
A．3B．4C．5D．6
【2012湖北，文】函数在区间上的零点的个数为( D )
A．2 B．3 C．4 D．5
【2012北京，文】函数的零点个数为( B )
A．0 B．1 C．2 D．3
【2012湖南，文】设定义在R上的函数是最小正周期为的偶函数，是的导函数．当时，；当且时，．则函数
在上的零点个数为( B )
A．2 B．4 C．5 D．8
【2012天津，文】已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是________．
【2016新课标1，文21】已知函数．
（ = 1 \* ROMAN I）讨论的单调性；
（ = 2 \* ROMAN II）若有两个零点，求的取值范围．
【2016北京，文20】设函数．
（I）求曲线在点处的切线方程；
（II）设，若函数有三个不同零点，求的取值范围；
（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件．
【2016江苏，文19】已知函数．
（ = 1 \* ROMAN I）设 = 1 \* GB3 ①求方程的根；
②若对任意R，不等式式恒成立，求实数的最大值；
（ = 2 \* ROMAN II）若，函数有且只有1个零点，求的值．
【2015新课标1，文21】设函数．
（ = 1 \* ROMAN I）讨论的导函数的零点的个数；
（ = 2 \* ROMAN II）证明：当时．
【2015北京，文19】设函数，．
（ = 1 \* ROMAN I）求的单调区间和极值；
（ = 2 \* ROMAN II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．
【2015广东，文21】设为实数，函数．
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）当时，讨论在区间内的零点个数．
【2015山东，文20】设函数，. 已知曲线在点 处的切线与直线平行.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；
（III）设函数（表示中的较小值），求的最大值.
【2015四川，文21】已知函数，其中．
（Ⅰ）设为的导函数，讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解．
【2015浙江，文20】设函数（R）．
（Ⅰ）当时，求函数在上的最小值的表达式；
（Ⅱ）已知函数在上存在零点，，求的取值范围．
【2014湖南，文21】已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有．
【2014陕西，文21】设函数R．
（Ⅰ）当 (为自然对数的底数)时，求的极小值；
（Ⅱ）讨论函数零点的个数；
（Ⅲ）若对任意，恒成立，求的取值范围．
【2014四川，文21】已知函数，其中R，为自然对数的底数．
（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，证明：．
【2013江苏，文】设函数，，其中为实数．
（Ⅰ）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；
（Ⅱ）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．
【2013陕西，文】已知函数，其中R．
（Ⅰ）求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程；
（Ⅱ）证明：曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点．
（Ⅲ）设a