高中数学高考第四章 4 3三角函数图像及性质-教师版(1)

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判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．( × )
(2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．( √ )
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( × )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × )
(5)y＝sin |x|是偶函数．( √ )
(6)若sin x>eq \f(\r(2),2)，则x>eq \f(π,4).( × )
作业检查
阶段知识点梳理
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(eq \f(π,2)，1)，(π，0)，(eq \f(3π,2)，－1)，(2π，0)．
余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(eq \f(π,2)，0)，(π，－1)，(eq \f(3π,2)，0)，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
第2课时
阶段训练
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数f(x)＝－2tan(2x＋eq \f(π,6))的定义域是____________．
(2)(2016·台州模拟)已知函数f(x)＝sin(x＋eq \f(π,6))，其中x∈[－eq \f(π,3)，a]，若f(x)的值域是[－eq \f(1,2)，1]，则实数a的取值范围是________．
答案 (1){x|x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，k∈Z} (2)[eq \f(π,3)，π]
解析 (1)由2x＋eq \f(π,6)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，k∈Z，
所以f(x)的定义域为{x|x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，k∈Z}．
(2)∵x∈[－eq \f(π,3)，a]，∴x＋eq \f(π,6)∈[－eq \f(π,6)，a＋eq \f(π,6)]，
∵x＋eq \f(π,6)∈[－eq \f(π,6)，eq \f(π,2)]时，f(x)的值域为[－eq \f(1,2)，1]，
∴由函数的图象知eq \f(π,2)≤a＋eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)，∴eq \f(π,3)≤a≤π.
思维升华 (1)三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x和cs x的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；
③通过换元，转换成二次函数求值域．
(1)函数y＝lg sin x＋ eq \r(cs x－\f(1,2))的定义域为 .
(2)函数y＝2sin(eq \f(πx,6)－eq \f(π,3)) (0≤x≤9)的最大值与最小值的和为__________．
答案 (1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|2kπ＜x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z))
(2)2－eq \r(3)
解析 (1)要使函数有意义必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＞0，,cs x－\f(1,2)≥0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＞0，,cs x≥\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＜x＜π＋2kπk∈Z，,－\f(π,3)＋2kπ≤x≤\f(π,3)＋2kπk∈Z，))
∴2kπ＜x≤eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，
∴函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|2kπ＜x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)).
(2)∵0≤x≤9，∴－eq \f(π,3)≤eq \f(πx,6)－eq \f(π,3)≤eq \f(7π,6)，
∴－eq \f(\r(3),2)≤sin(eq \f(πx,6)－eq \f(π,3))≤1，
故－eq \r(3)≤2sin(eq \f(πx,6)－eq \f(π,3))≤2.
即函数y＝2sin(eq \f(πx,6)－eq \f(π,3)) (0≤x≤9)的最大值为2，最小值为－eq \r(3).
∴最大值与最小值的和为2－eq \r(3).
题型二 三角函数的单调性
例2 (1)函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)
(2)已知ω＞0，函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是________．
答案 (1)B (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,4)))
解析 (1)由kπ－eq \f(π,2)＜2x－eq \f(π,3)＜kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
得eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)＜x＜eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，
所以函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调递增区间为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)，故选B.
(2)由eq \f(π,2)＜x＜π，ω＞0，得
eq \f(ωπ,2)＋eq \f(π,4)＜ωx＋eq \f(π,4)＜ωπ＋eq \f(π,4)，
又y＝sin x的单调递减区间为[2kπ＋eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(3π,2)]，k∈Z，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(ωπ,2)＋\f(π,4)≥\f(π,2)＋2kπ，,ωπ＋\f(π,4)≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，))
解得4k＋eq \f(1,2)≤ω≤2k＋eq \f(5,4)，k∈Z.
又由4k＋eq \f(1,2)－(2k＋eq \f(5,4))≤0，k∈Z且2k＋eq \f(5,4)>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈[eq \f(1,2)，eq \f(5,4)]．
引申探究
本例(2)中，若已知ω>0，函数f(x)＝cs(ωx＋eq \f(π,4))在(eq \f(π,2)，π)上单调递增，则ω的取值范围是____________．
答案 [eq \f(3,2)，eq \f(7,4)]
解析 函数y＝cs x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(ωπ,2)＋\f(π,4)≥－π＋2kπ，,ωπ＋\f(π,4)≤2kπ，k∈Z，))
解得4k－eq \f(5,2)≤ω≤2k－eq \f(1,4)，k∈Z，
又由4k－eq \f(5,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－\f(1,4)))≤0，k∈Z且2k－eq \f(1,4)＞0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(7,4))).
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
(1)函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))的单调减区间为________．
(2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，eq \f(π,3)]上单调递增，在区间[eq \f(π,3)，eq \f(π,2)]上单调递减，则ω等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2)
C．2 D．3
答案 (1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5,12)π))，k∈Z (2)B
解析 (1)已知函数可化为f(x)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
欲求函数的单调减区间，只需求y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调增区间．
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
得kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z.
故所给函数的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)．
(2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，
∴当0≤ωx≤eq \f(π,2)，即0≤x≤eq \f(π,2ω)时，
y＝sin ωx是增函数；
当eq \f(π,2)≤ωx≤eq \f(3π,2)，即eq \f(π,2ω)≤x≤eq \f(3π,2ω)时，
y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增，
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，知eq \f(π,2ω)＝eq \f(π,3)，
∴ω＝eq \f(3,2).
题型三 三角函数的周期性、对称性
命题点1 周期性
例3 (1)在函数①y＝cs|2x|，②y＝|cs x|，③y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，④y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
(2)若函数f(x)＝2tan(kx＋eq \f(π,3))的最小正周期T满足1