高中数学高考第九章 9 7抛物线-教师版

这是一份高中数学高考第九章 9 7抛物线-教师版，共26页。试卷主要包含了抛物线的概念，抛物线的标准方程与几何性质，设F为抛物线C，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
抛物线
知识梳理
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
【知识拓展】
1．抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
2．y2＝ax的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq \f(a,4).
3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
例题解析
题型一 基础
【例1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(eq \f(a,4)，0)，准线方程是x＝－eq \f(a,4).( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F(eq \f(p,2)，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.( √ )
【例2】1．抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )
A．(0,2) B．(0,1)
C．(2,0) D．(1,0)
答案 D
解析 ∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，
∴对于y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
答案 C
解析 Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．
答案 2
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－eq \f(p,2)，
圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，
则圆心为(3,0)，半径为4.
又因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，
所以3＋eq \f(p,2)＝4，解得p＝2.
题型二 抛物线的定义及应用
【例3】(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A.eq \f(3,4) B．1 C.eq \f(5,4) D.eq \f(7,4)
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
答案 (1)C (2)4
解析 (1)∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋eq \f(1,2)＝3，
∴xA＋xB＝eq \f(5,2)，
∴线段AB的中点到y轴的距离为eq \f(xA＋xB,2)＝eq \f(5,4).
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，
交抛物线于点P1，
则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
【同步练习】
1．若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
解 由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．
∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝eq \r(42＋22)
＝eq \r(16＋4)＝2eq \r(5)，
即|PB|＋|PF|的最小值为2eq \r(5).
2．若将本例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
解 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．
点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，
所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为eq \f(|1＋5|,\r(12＋－12))＝3eq \r(2)，
所以d1＋d2的最小值为3eq \r(2)－1.
思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
3、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
答案 eq \r(5)
解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，
使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为eq \r([1－－1]2＋0－12)＝eq \r(5).
题型三 抛物线的标准方程和几何性质
命题点1 求抛物线的标准方程
【例4】已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝eq \f(8\r(3),3)y B．x2＝eq \f(16\r(3),3)y
C．x2＝8y D．x2＝16y
答案 D
解析 ∵eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为2，
∴eq \f(c,a)＝2，即eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝4，∴eq \f(b2,a2)＝3，eq \f(b,a)＝eq \r(3).
x2＝2py(p>0)的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即y＝±eq \r(3)x.由题意得eq \f(\f(p,2),\r(1＋\r(3)2))＝2，∴p＝8.故C2的方程为x2＝16y.
命题点2 抛物线的几何性质
【例5】已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(eq \f(p,2)，0)．
由题意可设直线方程为x＝my＋eq \f(p,2)，代入y2＝2px，
得y2＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my＋\f(p,2)))，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.
因为yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，所以yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝4p2x1x2，
所以x1x2＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),4p2)＝eq \f(p4,4p2)＝eq \f(p2,4).
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,x1＋\f(p,2))＋eq \f(1,x2＋\f(p,2))
＝eq \f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)x1＋x2＋\f(p2,4)).
因为x1x2＝eq \f(p2,4)，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，
得eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AB|,\f(p2,4)＋\f(p,2)|AB|－p＋\f(p2,4))＝eq \f(2,p)(定值)．
(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝eq \f(1,2)(|AC|＋|BD|)＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
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A．2 B．4 C．6 D．8
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则eq \f(|MN|,|AB|)的最大值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B．1 C.eq \f(2\r(3),3) D．2
答案 (1)B (2)A
解析 (1)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，
如图，
又可设A(x0,2eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，\r(5)))，
点A(x0,2eq \r(2))在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①
点A(x0,2eq \r(2))在圆x2＋y2＝r2上，∴xeq \\al(2,0)＋8＝r2，②
点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，\r(5)))在圆x2＋y2＝r2上，
∴5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))2＝r2，③
联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.
(2)设|AF|＝a，|BF|＝b，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为Q、P，
由抛物线的定义知，|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.
|AB|2＝a2＋b2－2abcs 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab.
又ab≤(eq \f(a＋b,2))2，
所以(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－eq \f(1,4)(a＋b)2＝eq \f(3,4)(a＋b)2，
得到|AB|≥eq \f(\r(3),2)(a＋b)，
所以eq \f(|MN|,|AB|)≤eq \f(\f(1,2)a＋b,\f(\r(3),2)a＋b)＝eq \f(\r(3),3)，
即eq \f(|MN|,|AB|)的最大值为eq \f(\r(3),3).
题型四 直线与抛物线的综合问题
命题点1 直线与抛物线的交点问题
【例6】 已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝0，则k＝________.
答案 2
解析 抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝4＋eq \f(8,k2)，x1x2＝4.
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝eq \f(8,k)，
y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.
因为eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，
将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.
命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题
【例7】已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
(1)证明 由题意知，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，
且Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,2)，a))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,2)，b))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，a))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，b))，Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(a＋b,2))).
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝eq \f(a－b,1＋a2)＝eq \f(a－b,a2－ab)＝eq \f(1,a)＝－eq \f(ab,a)＝－b＝eq \f(b－0,－\f(1,2)－\f(1,2))＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)解 设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，
则S△ABF＝eq \f(1,2)|b－a||FD|＝eq \f(1,2)|b－a|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2)))，S△PQF＝eq \f(|a－b|,2).
由题意可得|b－a|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2)))＝eq \f(|a－b|,2)，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得eq \f(2,a＋b)＝eq \f(y,x－1)(x≠1)．而eq \f(a＋b,2)＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，
所以，所求轨迹方程为y2＝x－1(x≠1)．
思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
【同步练习】
1、已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．
(1)若点F到直线l的距离为eq \r(3)，求直线l的斜率；
(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不垂直于x轴，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．
(1)解 由已知，得x＝4不合题意，设直线l的方程为y＝k(x－4)，
由已知，得抛物线C的焦点坐标为(1,0)，
因为点 F到直线l的距离为eq \r(3)，
所以eq \f(|3k|,\r(1＋k2))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \f(\r(2),2)，
所以直线l的斜率为±eq \f(\r(2),2).
(2)证明 设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为AB不垂直于x轴，
则直线MN的斜率为eq \f(y0,x0－4)，直线AB的斜率为eq \f(4－x0,y0)，
直线AB的方程为y－y0＝eq \f(4－x0,y0)(x－x0)，
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－y0＝\f(4－x0,y0)x－x0，,y2＝4x，))
消去x得(1－eq \f(x0,4))y2－y0y＋yeq \\al(2,0)＋x0(x0－4)＝0，
所以y1＋y2＝eq \f(4y0,4－x0)，因为N是AB中点，所以eq \f(y1＋y2,2)＝y0，
即eq \f(2y0,4－x0)＝y0，所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.
2、已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)求抛物线C的焦点坐标；
(2)若抛物线C上有一点R(xR ,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；
(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
思维点拨 (3)中证明eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))＝0.
规范解答
解 (1)∵抛物线C：x2＝eq \f(1,m)y，∴它的焦点F(0，eq \f(1,4m))．[3分]
(2)∵|RF|＝yR＋eq \f(1,4m)，∴2＋eq \f(1,4m)＝3，得m＝eq \f(1,4).[5分]
(3)存在，联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝mx2，,2x－y＋2＝0，))
消去y得mx2－2x－2＝0，
依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－eq \f(1,2).[7分]
设A(x1，mxeq \\al(2,1))，B(x2，mxeq \\al(2,2))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(2,m)，,x1·x2＝－\f(2,m).))(*)
∵P是线段AB的中点，∴P(eq \f(x1＋x2,2)，eq \f(mx\\al(2,1)＋mx\\al(2,2),2))，
即P(eq \f(1,m)，yP)，∴Q(eq \f(1,m)，eq \f(1,m))．[9分]
得eq \(QA,\s\up6(→))＝(x1－eq \f(1,m)，mxeq \\al(2,1)－eq \f(1,m))，eq \(QB,\s\up6(→))＝(x2－eq \f(1,m)，mxeq \\al(2,2)－eq \f(1,m))，
若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))＝0，
即(x1－eq \f(1,m))·(x2－eq \f(1,m))＋(mxeq \\al(2,1)－eq \f(1,m))(mxeq \\al(2,2)－eq \f(1,m))＝0，[12分]
结合(*)化简得－eq \f(4,m2)－eq \f(6,m)＋4＝0，
即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－eq \f(1,2)，
而2∈(－eq \f(1,2)，＋∞)，－eq \f(1,2)∉(－eq \f(1,2)，＋∞)．
∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．[14分]
解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤
第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；
第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；
第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果；
第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.
课后练习
1．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a等于( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D.eq \f(1,4)
答案 D
解析 因为抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,a)y，
所以其焦点坐标为(0，eq \f(1,4a))，则有eq \f(1,4a)＝1，a＝eq \f(1,4)，
故选D.
2．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－12，那么抛物线C的方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．y2＝8x D．y2＝4x
答案 C
解析 由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋eq \f(p,2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,x＝my＋\f(p,2)，))消去x得y2－2pmy－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，
得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(my1＋eq \f(p,2))·(my2＋eq \f(p,2))＋y1y2＝m2y1y2＋eq \f(pm,2)(y1＋y2)＋eq \f(p2,4)＋y1y2＝－eq \f(3,4)p2＝－12⇒p＝4，
即抛物线C的方程为y2＝8x.
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
答案 B
解析 ∵y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(eq \f(p,2)，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－eq \f(p,2)，
即x＝y＋eq \f(p,2)，将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，
即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝2p，∴eq \f(y1＋y2,2)＝p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为( )
A.eq \f(37,16) B.eq \f(11,5) C．3 D．2
答案 D
解析 直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，
抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
则点P到直线l2：x＝－1的距离等于|PF|，
过点F作直线l1：4x－3y＋6＝0的垂线，
和抛物线的交点就是点P，
所以点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离和直线l2：x＝－1的距离之和的最小值就是点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，
所以最小值为eq \f(|4－0＋6|,\r(32＋42))＝2，故选D.
5．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，eq \(BC,\s\up6(→))＝λeq \(FB,\s\up6(→))，则λ的值为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(3,2) C.eq \r(3) D．3
答案 D
解析 设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，
则x1＋2＝6，解得x1＝4，则y1＝4eq \r(2)，
则直线AB的方程为y＝2eq \r(2)(x－2)，令x＝－2，
得C(－2，－8eq \r(2))，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝2\r(2)x－2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝4\r(2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－2\r(2)，))
则B(1，－2eq \r(2))，∴|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，
∴λ＝3，故选D.
6.已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(2),3) C.eq \f(2\r(2),3) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 抛物线C的准线为l：x＝－2，
直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，
如图，过A，B分别作AM⊥l于M，
BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，得|AM|＝2|BN|，
从而点B为AP的中点，连接OB，
则|OB|＝eq \f(1,2)|AF|，所以|OB|＝|BF|，
从而点B的横坐标为1，点B的坐标为(1,2eq \r(2))，
所以k＝eq \f(2\r(2)－0,1－－2)＝eq \f(2\r(2),3)，故选C.
7．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________.
答案 12
解析 焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，
方法一 直线AB的斜率为eq \f(\r(3),3)，
所以直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，
即y＝eq \f(\r(3),3)x－eq \f(\r(3),4)，代入y2＝3x，得eq \f(1,3)x2－eq \f(7,2)x＋eq \f(3,16)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(21,2)，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(21,2)＋eq \f(3,2)＝12.
方法二 由抛物线焦点弦的性质可得
|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(3,sin230°)＝12.
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为eq \r(3)的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))，则p＝________.
答案 2
解析 如图， 由AB的斜率为eq \r(3)，
知∠α＝60°，又eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))，
∴M为AB的中点．
过点B作BP垂直准线l于点P，
则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，
∴|BP|＝eq \f(1,2)|AB|＝|BM|.
∴M为焦点，即eq \f(p,2)＝1，∴p＝2.
9．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为eq \f(1,2)，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.
答案 6
解析 抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，
准线方程为x＝－2.
设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意，c＝2，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
可得a＝4，b2＝16－4＝12.
故椭圆方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
把x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3.
从而|AB|＝6.
10.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________________．
答案 (2,4)
解析 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))
两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条．
当k存在时，x1≠x2，
则有eq \f(y1＋y2,2)·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2，
又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2.
由CM⊥AB，得k·eq \f(y0－0,x0－5)＝－1，
即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，
即M必在直线x＝3上．将x＝3代入y2＝4x，
得y2＝12，则有－2eq \r(3)0，x≥0)和半圆x2＋y2＝r2(x≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和(－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))．
(1)求“黄金抛物线C”的方程；
(2)设P(0,1)和Q(0，－1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解 (1)∵“黄金抛物线C”过点(3,2)和(－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，
∴r2＝(－eq \f(1,2))2＋(eq \f(\r(3),2))2＝1,4＝3m＋1，∴m＝1.
∴“黄金抛物线C”的方程为y2＝x＋1(x≥0)和x2＋y2＝1(x≤0)．
(2)假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB，显然直线l的斜率存在且不为0，
设直线l：y＝kx＋1，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝x＋1，))消去y，
得k2x2＋(2k－1)x＝0，∴xB＝eq \f(1－2k,k2)，yB＝eq \f(1－k,k)，
即B(eq \f(1－2k,k2)，eq \f(1－k,k))，
∴kBQ＝eq \f(k,1－2k)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＋y2＝1，))消去y，得(k2＋1)x2＋2kx＝0，
∴xA＝－eq \f(2k,k2＋1)，yA＝eq \f(1－k2,k2＋1)，即A(－eq \f(2k,k2＋1)，eq \f(1－k2,k2＋1))，
∴kAQ＝－eq \f(1,k)，
∵QP平分∠AQB，∴kAQ＋kBQ＝0，
∴eq \f(k,1－2k)－eq \f(1,k)＝0，解得k＝－1±eq \r(2)，
由图形可得k＝－1－eq \r(2)应舍去，∴k＝eq \r(2)－1，
∴存在直线l：y＝(eq \r(2)－1)x＋1，使得QP平分∠AQB.
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下