高中数学高考第38讲 空间几何体的结构特征及表面积与体积（讲）（学生版）

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知识梳理
eq \a\vs4\al(1.简单几何体,1多面体的结构特征)
①特殊的四棱柱
eq \x(四棱柱)eq \(――→,\s\up7(底面为),\s\d5(平行四边形))eq \x(\a\al( 平行,六面体))eq \(――→,\s\up7(侧棱垂直),\s\d5(于底面))eq \x(\a\al(直平行,六面体))eq \(――→,\s\up7(底面为),\s\d5(矩形))eq \x(长方体)eq \(――→,\s\up7(底面),\s\d5(边长相等))eq \x(正四棱柱)eq \(――→,\s\up7(侧棱与底面),\s\d5(边长相等))eq \x(正方体)
②多面体的关系：
eq \x(棱柱)eq \(――――――→,\s\up7(一个底面退化),\s\d5(为一个点))eq \x(棱锥)eq \(―――――――→,\s\up7(用平行于底面的),\s\d5(平面截得))eq \x(棱台)
(2)旋转体的结构特征
2．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
4．空间几何体的表面积与体积公式
题型归纳
题型1 空间几何体的结构特征
【例1-1】给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D.3
【跟踪训练1-1】下列命题正确的是( )
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
【跟踪训练1-2】(多选)给出下列命题，其中真命题是( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
D．存在每个面都是直角三角形的四面体
【名师指导】
辨别空间几何体的2种方法
题型2 空间几何体的表面积
【例2-1】(1)(2019·四川泸州一诊)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
A．(5＋eq \r(2))π B．(4＋eq \r(2))π
C．(5＋2eq \r(2))π D.(3＋eq \r(2))π
(2)(2020·河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为( )
A．4＋4eq \r(2) B．4＋4eq \r(3)
C．12 D.8＋4eq \r(2)
【跟踪训练2-1】在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.
【名师指导】
求解几何体表面积的类型及求法
题型3 空间几何体的体积
【例3-1】(2019·江苏南通联考)已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D­BB1C1的体积为________．
【例3-2】(1)(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．
【例3-3】如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为( )
A.eq \f(\r(3),12) B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(6),12) D.eq \f(\r(6),4)
【跟踪训练3-1】如图，正四棱锥P­ABCD的底面边长为2eq \r(3) cm，侧面积为8eq \r(3) cm2，则它的体积为________cm3.
【跟踪训练3-2】如图，已知体积为V的三棱柱ABC­A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一点，则四棱锥P­AA1C1C的体积为________．
【名师指导】
求空间几何体的体积的常用方法
题型4 与球有关的切、接问题
【例4-1】(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P­ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A．8eq \r(6)π B．4eq \r(6)π
C．2eq \r(6)π D.eq \r(6)π
【例4-2】(1)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq \f(V1,V2)的值是________．
(2)已知正三棱锥的高为1，底面边长为2eq \r(3)，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．
【跟踪训练4-1】(2019·四川成都一诊)如图，在矩形ABCD中，EF∥AD，GH∥BC，BC＝2，AF＝FG＝BG＝1.现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为( )
A．24π B．6π
C.eq \f(16,3)π D.eq \f(8,3)π
【跟踪训练4-2】(2019·广东中山一中七校联合体联考)在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________．
【名师指导】
解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且相等
多边形
互相平行且相似
侧棱
互相平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球▲
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
长度相等且相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r＋r′)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
定义法
紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定
反例法
通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可
求多面体的表面积
只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积时
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
公式法
对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解
割补法
把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积
等体积法
一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积