高中数学高考第10章 §10 7　离散型随机变量及其分布列、数字特征

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知识梳理
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
3．离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
4．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq \i\su(i＝1,n, )(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称eq \r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
常用结论
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的次数是随机变量．( √ )
(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × )
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )
(4)方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．( √ )
教材改编题
1．设随机变量X的分布列如下：
则p为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,12)
答案 C
解析 由分布列的性质知，
eq \f(1,12)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＋p＝1，
∴p＝1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4).
2．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________．
答案 0
解析 因为P(X＝c)＝1，
所以E(X)＝c×1＝c，
所以D(X)＝(c－c)2×1＝0.
3．已知随机变量X的分布列如下：
若Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________．
答案 eq \f(7,3)
解析 E(X)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)，
则E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq \f(2,3)＋3＝eq \f(7,3).
题型一 分布列的性质
例1 (1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则q等于( )
A．1 B.eq \f(\r(2),2)或－eq \f(\r(2),2)
C．1＋eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2)
答案 D
解析 由离散型随机变量分布列的性质得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋1－q＋q－q2＝1，,0≤1－q≤\f(1,2)，,0≤q－q2≤\f(1,2)，))
解得q＝eq \f(\r(2),2).
(2)(多选)设随机变量ξ的分布列为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则( )
A．a＝eq \f(1,15)
B．Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)