高中数学高考第2节 空间几何体的表面积与体积 教案

这是一份高中数学高考第2节 空间几何体的表面积与体积 教案，共21页。

1．多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
eq \O([常用结论])
1．正四面体的表面积与体积
棱长为a的正四面体，其表面积为eq \r(3)a2，体积为eq \f(\r(2),12)a3.
2．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝eq \f(\r(6),12)a，外接球半径R外＝eq \f(\r(6),4)a.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．( )
(2)球的体积之比等于半径比的平方．( )
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝eq \f(\r(3),2)a.
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材改编
1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )
A.eq \f(16,3)π B.eq \f(32,3)π C．16π D．24π
B [设球的半径为R，由题意得4πR2＝16π，
解得R＝2，所以这个球的体积为V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32,3)π，故选B.]
2．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D.eq \f(3,2) cm
B [设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由题意知，2πr＝πl，得l＝2r.
则S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π.
解得r＝2(cm)，故选B.]
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．6 B．3eq \r(3) C．2eq \r(3) D．3
B [由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为eq \r(3)的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以几何体的体积V＝S·h＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×\r(3)))×3＝3eq \r(3).]
4．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 ．
1∶47 [设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)a×eq \f(1,2)b×eq \f(1,2)c＝eq \f(1,48)abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－eq \f(1,48)abc＝eq \f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.]
考点1 空间几何体的表面积
求解几何体表面积的类型及求法
(1)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A．48＋π B．48－π
C．48＋2π D．48－2π
(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12eq \r(2)π B．12π
C．8eq \r(2)π D．10π
(1)A (2)B [(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.
(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2eq \r(2)，底面圆的直径为2eq \r(2)，所以该圆柱的表面积为2×π×(eq \r(2))2＋2π×eq \r(2)×2eq \r(2)＝12π.]
解答本题T(1)时易误认为几何体的上底面不存在，导致计算错误．
1.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )
A．1＋eq \r(3) B．1＋2eq \r(2)
C．2＋eq \r(3) D．2eq \r(2)
C [由题意知题中的几何图形就是如图所示的四面体，其中AB＝AD＝CB＝CD＝eq \r(2)，BD＝2，且平面ABD⊥平面CBD.所以△ABD与△CBD都是等腰直角三角形，而△ABC与△CAD都是边长是eq \r(2)的等边三角形．所以表面积是eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)×2＋eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2))2×2＝2＋eq \r(3)，故选C.]
2．(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
A．18＋36eq \r(5) B．54＋18eq \r(5)
C．90 D．81
B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3eq \r(5))×2＝54＋18eq \r(5).故选B.]
考点2 空间几何体的体积(多维探究)
求体积的常用方法
直接法求体积
(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A.eq \f(π,2)＋1 B.eq \f(π,2)＋3
C.eq \f(3π,2)＋1 D.eq \f(3π,2)＋3
(2)(2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1­BB1D1D的体积为 ．
(1)A (2)eq \f(1,3) [(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1，高为3的半个圆锥和三棱锥S ­ABC组成的，
如图，三棱锥的高为3，底面△ABC中，AB＝2，OC＝1，AB⊥OC.故其体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×π×12×3＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×1×3＝eq \f(π,2)＋1.故选A.
(2)四棱锥A1­BB1D1D的底面BB1D1D为矩形，其面积S＝1×eq \r(2)＝eq \r(2)，又四棱锥的高为点A1到平面BB1D1D的距离，即h＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(\r(2),2)，所以四棱锥的体积V＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,3).]
直接法求体积关键是求几何体的底面面积和高这两个量．
[教师备选例题]
某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )
A．4π B．2π
C.eq \f(4π,3) D．π
B [由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝eq \f(\r(3),1)＝eq \r(3)，得α＝eq \f(π,3)，故底面面积为eq \f(1,2)×eq \f(π,3)×22＝eq \f(2π,3)，则该几何体的体积为eq \f(2π,3)×3＝2π.]
割补法求体积
(1)[一题多解](2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A．90π B．63π
C．42π D．36π
(2)[一题多解]如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,2)
(1)B (2)A [(1)法一：(割补法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．
将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的eq \f(1,2)，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×eq \f(1,2)＝63π.
故选B.
法二：(估值法)由题意，知eq \f(1,2)V圆柱＜V几何体＜V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．
故选B.
(2)法一：如图所示，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，
因为三棱锥高为eq \f(1,2)，直三棱柱高为1，AG＝eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up20(2))＝eq \f(\r(3),2)，
取AD的中点M，则MG＝eq \f(\r(2),2)，
所以S△AGD＝eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),4)，
所以V＝eq \f(\r(2),4)×1＋2×eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),3).
法二：如图所示，取EF的中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥P­AED和三棱锥P­BCF都是棱长为1的正四面体，四棱锥P­ABCD为棱长为1的正四棱锥．所以V＝eq \f(1,3)×12×eq \f(\r(2),2)＋2×eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(\r(2),3).]
解答本例T(1)中，也可将两个相同的几何体对接为圆柱，圆柱体积的一半即为所求．
等体积法求体积
(2019·武汉模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A­BC1M的体积VA­BC1M＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,12)
C [VA­BC1M＝VC1­ABM＝eq \f(1,3)S△ABM·C1C＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)AB×AD×C1C＝eq \f(1,6)，故选C.]
使用等体积法求体积时，一般是把三棱锥的底面转化到已知几何体的某一个面上．
[教师备选例题]
如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为( )
A.eq \f(\r(3),12) B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(6),12) D.eq \f(\r(6),4)
A [三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，三棱锥A­B1BC1的高为eq \f(\r(3),2)，底面积为eq \f(1,2)，故其体积为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),12).]
1.(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.
118．8 [由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，
对角线长分别为6 cm和4 cm，
故V挖去的四棱锥＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×4×6×3＝12(cm3)．
又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，
所以模型的体积为
V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．]
2．某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的体积为 ．
eq \f(5\r(3),12) [根据几何体的三视图，知该几何体是一个三棱柱在两端各去掉一个全等的三棱锥，如图所示：
底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，EF平行于底面，且EF＝1.过点E作EM⊥AB，垂足为点M，过点E作EN⊥DC，垂足为点N，连接MN.
同理作FM1，FN1，M1N1.
则AM＝eq \f(1,2)，EM＝1，V＝2VE­AMND＋VEMN­FM1N1＝2×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(3),2)×1＝eq \f(5\r(3),12).]
考点3 球与空间几何体的切、接问题
空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
外接球
(1)(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥D­ABC体积的最大值为( )
A．12eq \r(3) B．18eq \r(3)
C．24eq \r(3) D．54eq \r(3)
(2)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A.eq \f(3\r(17),2) B．2eq \r(10)
C.eq \f(13,2) D．3eq \r(10)
(1)B (2)C [(1)如图，E是AC中点，M是△ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为S△ABC＝eq \f(\r(3),4)AB2＝9eq \r(3)，所以AB＝6，BM＝eq \f(2,3)BE＝eq \f(2,3)eq \r(AB2－AE2)＝2eq \r(3).易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝eq \r(OB2－BM2)＝2，所以当D，O，M三点共线且DM＝OD＋OM时，三棱锥D­ABC的体积取得最大值，且最大值Vmax＝eq \f(1,3)S△ABC×(4＋OM)＝eq \f(1,3)×9eq \r(3)×6＝18eq \r(3).故选B.
(2)如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M.因为AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，所以BC＝5.
又AM＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(5,2)，OM＝eq \f(1,2)AA1＝6，
所以球O的半径R＝OA
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))eq \s\up20(2)＋62)＝eq \f(13,2)，故选C.]
[母题探究]
本例(2)中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3eq \r(2)的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？”
[解] 依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3eq \r(2)×eq \r(2)＝6，
高为eq \r(3\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×6))eq \s\up20(2))＝3，
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
本例T(2)中直三棱柱有三条棱两两垂直，因此直三棱柱可补形为长方体，从而其外接球的直径为长方体的体对角线长．
[教师备选例题]
1．点A、B、C、D在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6，则该球的体积为( )
A．32eq \r(3)π B．48π
C．64eq \r(3)π D．16eq \r(3)π
A [由题意知，球心O到△ABC的中心O′的距离为3，
即OO′＝eq \f(1,2)AD＝3，如图所示，
AO′＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)×3＝eq \r(3)，
∴OA＝eq \r(32＋3)＝2eq \r(3)，
∴V球＝eq \f(4,3)π×(2eq \r(3))3＝32eq \r(3)π.]
2．若一个底面边长为eq \f(\r(6),2)，侧棱长为eq \r(6)的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．
[解] 在底面正六边形ABCDEF中，连接BE、AD交于O，连接BE1，
则BE＝2OE＝2DE，
∴BE＝eq \r(6)，
在Rt△BEE1中，
BE1＝eq \r(BE2＋E1E2)＝2eq \r(3)，
∴2R＝2eq \r(3)，则R＝eq \r(3)，
∴球的体积V球＝eq \f(4,3)πR3＝4eq \r(3)π，球的表面积S球＝4πR2＝12π.
内切球
(1)(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq \f(V1,V2)的值是 ．
(2)已知正三棱锥S­ABC的底面是面积为eq \r(3)的正三角形，高为2eq \r(2)，则其内切球的表面积为 ．
(1)eq \f(3,2) (2)eq \f(8π,9) [(1)设球O的半径为R，
∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，
∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.
∴eq \f(V1,V2)＝eq \f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3,2).
(2)过顶点S作SO⊥平面ABC，则SO＝2eq \r(2).
设正三棱锥S­ABC的底面边长为a，则底面积为eq \f(\r(3),4)a2＝eq \r(3)，即a＝2.
连接AO并延长，交BC于D，连接SD，则SD为斜高，
∴SD＝eq \r(2\r(2)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))eq \s\up20(2))＝eq \f(5\r(3),3).
设正三棱锥S­ABC的内切球的半径为r，
则eq \f(1,3)×eq \r(3)×2eq \r(2)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)＋3×\f(1,2)×2×\f(5\r(3),3)))r，
解得r＝eq \f(\r(2),3).
∴内切球的表面积S＝4πr2＝eq \f(8π,9).]
三棱锥内切球球心位置不易确定，一般用等体积法求解，如本例T(2)．求圆锥内切球的半径，可先作出轴截面利用等面积法求解．
1.一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为eq \f(π,4)，则圆锥的内切球的表面积为( )
A．8π B．4(2－eq \r(2))2π
C．4(2＋eq \r(2))2π D.eq \f(324－\r(2)2,49)π
B [作出圆锥截面图如图，
∵母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为eq \f(π,4)，∴圆锥底面半径与高均为eq \r(2).
设内切球的半径为r，则利用轴截面，
根据等面积可得eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \r(2)＝eq \f(1,2)×(2＋2＋2eq \r(2))r，∴r＝2－eq \r(2).
∴该圆锥内切球的表面积为4π×(2－eq \r(2))2＝4(2－eq \r(2))2π，故选B.]
2．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形， AD＝2，ED＝1, 若鳖臑P­ADE的外接球的体积为eq \f(7\r(14)π,3)，则阳马P­ABCD的外接球的表面积等于( )
A．15π B．16π C．17π D．18π
C [由题意，在三棱锥P­ADE(鳖臑)中，ED⊥DA，PA⊥平面ABCE，所以其外接球的直径2r＝PE.设PA＝h，则2r＝eq \r(PA2＋AD2＋DE2)＝eq \r(h2＋22＋12)＝eq \r(h2＋5)，所以其外接球的体积V＝eq \f(4πr3,3)＝eq \f(4π,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(h2＋5),2)))eq \s\up20(3)＝eq \f(7\r(14)π,3)，解得h＝3.设四棱锥P­ABCD(阳马)的外接球半径为R，则2R＝PC＝eq \r(PA2＋AD2＋AB2)＝eq \r(32＋22＋22)＝eq \r(17)，所以该球的表面积S＝4πR2＝17π.故选C.]
球与简单几何体的切、接问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键．
常用结论
(1)简单多面体外接球的球心的结论．
结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点．
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
(2)构造正方体或长方体确定球心．
(3)利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．
【例1】 (2019·武昌模拟)已知底面为正方形的四棱锥P­ABCD的所有顶点都在球O的球面上，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝AB＝2，则球O的表面积为( )
A.eq \f(7π,3) B.eq \f(14π,3) C.eq \f(21π,3) D.eq \f(28π,3)
D [令△PAD所在圆的圆心为O1，△PAD为正三角形，AD＝2，
则圆O1的半径r＝eq \f(2\r(3),3)，∵平面PAD⊥底面ABCD，AB＝2，
∴OO1＝eq \f(1,2)AB＝1，∴球O的半径R＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq \r(\f(7,3))，
∴球O的表面积＝4πR2＝eq \f(28π,3)，故选D.]
[评析] 求出△PAD所在圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径R，即可求出球O的表面积．
【素养提升练习】
1．(2019·广州模拟)三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P­ABC的外接球的表面积为( )
A．23π B.eq \f(23,4)π C．64π D.eq \f(64,3)π
D [如图，设O′为正△PAC的中心，D为Rt△ABC斜边的中点，H为AC中点．由平面PAC⊥平面ABC.则O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD，OD∥O′H，则交点O为三棱锥外接球的球心，连接OP，又O′P＝eq \f(2,3)PH＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)×2＝eq \f(2\r(3),3)，
OO′＝DH＝eq \f(1,2)AB＝2.
∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝eq \f(4,3)＋4＝eq \f(16,3).
故几何体外接球的表面积
S＝4πR2＝eq \f(64,3)π.]
【例2】 (2019·开封模拟)在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2eq \r(2)，∠BAC＝eq \f(2π,3)，AA1⊥平面ABC，则该三棱柱的外接球的体积为( )
A．40π B．40eq \r(10)π C.eq \f(40π,3) D.eq \f(40\r(10)π,3)
D [由题意可知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝2eq \r(2)，∠BAC＝eq \f(2π,3)，
AA1＝2eq \r(2)，底面三角形ABC的外接圆半径为eq \f(2\r(2),2sin\f(π,6))＝2eq \r(2)，
连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，
外接球的半径为：eq \r(2\r(2)2＋\r(2)2)＝eq \r(10).
∴三棱柱的外接球的体积为V＝eq \f(4,3)π×(eq \r(10))3＝eq \f(40\r(10)π,3)，故选D.]
[评析] 由已知求出底面ABC的外接圆的半径，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出三棱柱的外接球的体积．
【素养提升练习】
2．已知正三棱柱A1B1C1­ABC的所有棱长都是6，则该棱柱外接球的表面积为( )
A．21π B．42π C．84π D．84
C [如图，M，N为上下底面正三角形的中心，
O为MN的中点，即外接球球心，
∵正三棱柱A1B1C1­ABC的所有棱长都是6，
AM＝eq \f(2,3)eq \r(62－32)＝2eq \r(3)，OM＝3，
球半径R＝OA＝eq \r(2\r(3)2＋32)＝eq \r(21)，
该棱柱外接球的表面积为S＝4π×(eq \r(21))2＝84π，故选C.]
常用结论
(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等．
(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合．
(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合．
【例3】 体积为eq \f(4π,3)的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为 ．
6eq \r(3) [设球的半径为R，由eq \f(4π,3)R3＝eq \f(4π,3)，得R＝1，所以正三棱柱的高h＝2.设底面边长为a，则eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)a＝1，所以a＝2eq \r(3).所以V＝eq \f(\r(3),4)×(2eq \r(3))2×2＝6eq \r(3).]
[评析] 球与正三棱柱的两个底面相切，可求球的直径，球与正三棱柱的三个侧面相切，相当于正三棱柱的底面三角形有内切圆．
【素养提升练习】
3．若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则eq \f(S1,S2)＝ .
eq \f(6\r(3),π) [设正四面体的棱长为a，则S1＝eq \r(3)a2.
正四面体的高h＝eq \f(\r(6),3)a，体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3)a2,4)×eq \f(\r(6),3)a＝eq \f(\r(2),12)a3.
设正四面体的内切球半径为r，则eq \f(1,3)×eq \r(3)a2×r＝eq \f(\r(2),12)a3，解得r＝eq \f(\r(6),12)a，
则内切球表面积S2＝4πr2＝eq \f(πa2,6)，∴eq \f(S1,S2)＝eq \r(3)a2×eq \f(6,πa2)＝eq \f(6\r(3),π).]圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
三者关系
S圆柱侧＝2πrleq \(――→,\s\up14(r′＝r))S圆台侧＝π(r＋r′)leq \(――→,\s\up14(r′＝0))S圆锥侧＝πrl
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
求多面体的表面积
先求各个面的面积，再相加即可
求旋转体的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积时
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
直接法
对于规则的几何体，利用相关公式直接计算
割补法
首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算
等体积法
选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换
课外素养提升⑦ 直观想象——巧解球的切、接问题
外接球问题
内切球问题