高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 全概率公式学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 全概率公式学案，共8页。

[笔记教材]
知识点 全概率公式与贝叶斯公式
1．全概率公式
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)>0(i＝1,2，…，n)，则对任意一个事件A有P(A)＝__________________，称上式为全概率公式．
2．贝叶斯公式
(1)设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0，P(Bi)>0(i＝1,2，…，n)，则有P(Bi|A)＝________，称上式为贝叶斯公式．
(2)在贝叶斯公式中，称P(Bi)是试验之前就已知的概率，称为先验概率，P(Bi|A)称为后验概率．
答案：1.eq \a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,P)BiPA|Bi)
2．(1)
[重点理解]
全概率公式和贝叶斯公式的理解
从公式结构上看，全概率公式与贝叶斯公式关系密切，如何正确使用这两个公式是本节的一个重要的内容．
如果所求事件的概率与前后两个试验有关，且这两个试验彼此关联，第一个试验的各种结果直接对第二个试验产生影响，而问第二个试验出现某结果的概率，这类问题属于全概率公式的应用问题．至于在什么情况下使用贝叶斯公式，这就要看问题的提法．如果已知某事件已发生，要求样本空间中导致该事件发生的某一事件的概率，应采用贝叶斯公式求之．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)若样本空间是Ω，A，B为事件，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\t(A))P(B|eq \x\t(A))．(√)
(2)全概率公式的主要作用是“由结果推测原因”．()
(3)全概率公式的应用，即已知事件A的发生有各种可能的情形Bi(i＝1,2，…，n)，事件A发生的可能性，就是各种可能情形Bi发生的可能性的和．()
(4)贝叶斯公式也可表示为：当02．若P(BA)＝0.35，P(Beq \x\t(A))＝0.1，则P(B)＝______.
答案：0.45
3．(2022河南新乡一中月考)袋中有a个白球和b个黑球，不放回地摸球两次，则第二次摸到白球的概率为________．
答案：eq \f(a,a＋b)
4．已知P(B|A)＝0.3，P(A)＝0.5，P(B)＝0.8，则P(A|B)的值为________．
答案：eq \f(3,16)
研习1 全概率公式的应用
[典例1] 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．
[解] 设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}，Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1,2.由题意P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.
[巧归纳] 1.在很多实际问题中，由于随机事件的复杂性，很难直接求得所求概率P(B)，但却很容易找到样本空间Ω的一个完备事件组A1，A2，…，An，且一般P(Ai)(i＝1,2，…，n)和P(B|Ai)会在题目中直接给出，或可以通过计算得到，那么就可以用全概率公式求出P(B)．
2．若随机试验可以分成两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果怎样未知，那么如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率．熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效．
[练习1]某次社会实践活动中，甲乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占eq \f(3,5)，乙班中女生占eq \f(1,3)，求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．
解：用A，eq \x\t(A)分别表示社区居民遇到一位进行民意调查的同学是甲班的与乙班的，B表示是女生．则有P(A)＝eq \f(5,8)，P(eq \x\t(A))＝eq \f(3,8)，而且P(B|A)＝eq \f(3,5)，P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(1,3).由全概率公式可知P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\t(A))P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(5,8)×eq \f(3,5)＋eq \f(3,8)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,2).
研习2 贝叶斯公式的应用
[典例2] 三部自动的机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占 40%，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占 35%.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有10%、5%和1%不合格，现从总产品中随机地抽取一个零件，发现是不合格品，求：
(1)它是由机器甲生产出来的概率；
(2)它由哪一部机器生产出来的可能性大．
[解] 设B1，B2，B3分别表示事件：任取的零件为甲、乙、丙机器生产的，A：抽取的零件是不合格品，由条件知，P(B1)＝0.40，P(B2)＝0.25，P(B3)＝0.35，P(A|B1)＝0.10，P(A|B2)＝0.05，P(A|B3)＝0.01，(1)所求概率为P(B1|A)，P(B1|A)＝eq \f(PB1PA|B1,\a\vs4\al(\i\su(j＝1,3,P)BjPA|Bj))≈0.714.
(2)类似(1)的计算可得P(B2|A)≈0.223，P(B3 |A)≈0.063，比较可知是机器甲生产出来的可能性大．
[巧归纳] 把事件B看作某一过程的结果，把A1，A2，…，An看作该过程的若干个原因，根据历史资料，每一个原因发生的概率即P(An)已知，而且每一原因对结果的影响程度(即P(B|An))已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第i个原因引起的概率，则用贝叶斯公式计算P(Ai|B)．
[练习2](多选题)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S.疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S.疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%.则( )
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
答案：ABC
解析：P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05，
P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，
P(S|D2)＝0.18，P(S|D3)＝0.6，
由全概率公式得P(S)＝eq \i\su(i＝1,3,P)(Di)P(S|Di)＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02.由贝叶斯公式得：
P(D1|S)＝eq \f(PD1PS|D1,PS)＝eq \f(0.02×0.4,0.02)＝0.4，
P(D2|S)＝eq \f(PD2PS|D2,PS)＝eq \f(0.05×0.18,0.02)＝0.45，
P(D3|S)＝eq \f(PD3PS|D3,PS)＝eq \f(0.005×0.6,0.02)＝0.15.
研习3 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
[典例3] 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p；若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为eq \f(p,2).若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率．
[解] 记“该学生第i次考试及格”为事件Ai，i＝1,2，显然A1，A2为样本空间的一个完备事件组，且已知P(A1)＝p，P(A2|A1)＝p，P(eq \x\t(A)1)＝1－p，P(A2|eq \x\t(A)1)＝eq \f(p,2)，则由全概率公式得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(eq \x\t(A)1)P(A2|eq \x\t(A)1)＝eq \f(1,2)p(1＋p)．由贝叶斯公式得P(A1|A2)＝eq \f(PA1PA2|A1,PA2)＝eq \f(2p,1＋p).
[巧归纳] 全概率公式和贝叶斯公式在实际生活中的应用是相互联系的，在解决生活中较复杂的问题时往往需要综合应用两个公式，单纯运用其中一个公式很难解决问题，综合运用两个公式往往能使问题更容易被解决．
[练习3]两个车床加工同样的零件，第一台车床出现不合格品的概率是0.03，第二台车床出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件数量比第二台加工的零件数量多一倍．
(1)求任取一个零件是合格品的概率；
(2)如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率．
解：记“取到第一台车床加工的零件”为事件A，“取到合格品”为事件B，则P(A)＝eq \f(2,3)，P(eq \x\t(A))＝eq \f(1,3)，P(B|A)＝0.97，P(eq \x\t(B)|eq \x\t(A))＝0.06，P(B|eq \x\t(A))＝0.94.显然A，eq \x\t(A)为样本空间的一个完备事件组．
(1)由全概率公式得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\t(A))·P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(2,3)×0.97＋eq \f(1,3)×0.94＝0.96.
即任取一个零件是合格品的概率为0.96.
(2)由贝叶斯公式可得
P(eq \x\t(A)|eq \x\t(B))＝eq \f(P\x\t(A)P\x\t(B)|\x\t(A),P\x\t(B))＝eq \f(\f(1,3)×0.06,0.04)＝0.5.
即所求概率为0.5.
1．已知P(BA)＝0.4，P(Beq \x\t(A))＝0.2，则P(B)＝( )
A．0.08B．0.8
C．0.6D．0.5
答案：C
解析：因为P(BA)＝0.4，P(Beq \x\t(A))＝0.2，
所以P(B)＝P(BA)＋P(Beq \x\t(A))＝0.4＋0.2＝0.6.
2．已知P(A)＝0.6，P(eq \x\t(B)|A)＝0.5，P(B|eq \x\t(A))＝0.3，则P(A|B)的值为( )
A.eq \f(5,7)B．eq \f(5,6)
C.eq \f(3,4)D．eq \f(1,8)
答案：A
解析：由题意得P(eq \x\t(A))＝1－0.6＝0.4，P(B|A)＝1－P(eq \x\t(B)|A)＝0.5，
P(A|B)＝eq \f(PAPB|A,PAPB|A＋P\x\t(A)PB|\x\t(A))
＝eq \f(0.6×0.5,0.6×0.5＋0.4×0.3)＝eq \f(5,7).
3．已知P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.3，P(B|eq \x\t(A))＝0.2，则P(B)的值为________．
答案：0.26
解析：由P(A)＝0.6，得P(eq \x\t(A))＝0.4，故P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\t(A))P(B|eq \x\t(A))＝0.6×0.3＋0.4×0.2＝0.18＋0.08＝0.26.
4．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(B|eq \x\t(A))＝0.3，则P(B|A)的值为________．
答案：0.8
解析：由P(A)＝0.4，得P(eq \x\t(A))＝ 0.6.由P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\t(A))P(B|eq \x\t(A))，得0.5＝0.4×P(B|A)＋0.6×0.3，解得P(B|A)＝0.8.
[误区警示]
混淆有关概率公式致错
[示例] 一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，第一次取后不放回．若已知第一只是好的，则第二只也是好的概率为________．
[错解] eq \f(1,3)
[错因分析] 导致上述错误解法的原因：
(1)该事件不是相互独立事件，不能套用概率乘法公式．
(2)该试验为条件概率模型，应用条件概率公式计算．
(3)要正确理解概率乘法公式和条件概率公式的意义，P(AB)为事件A，B同时发生的概率，P(A|B)表示在B发生的前提下，A发生的概率．
[正解] 设Ai(i＝1,2)表示“第i只是好的”．
由题意得P(A1)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，
P(A1A2)＝eq \f(6,10)×eq \f(5,9)＝eq \f(1,3)，
∴P(A2|A1)＝eq \f(PA1A2,PA1)＝eq \f(\f(1,3),\f(3,5))＝eq \f(5,9).故填eq \f(5,9).
[题后总结] 正确理解P(A|B)与P(AB)，正确选择对应的概率公式求解．
新课程标准
新学法解读
1.结合古典概型，会利用全概率公式求概率；
2．了解贝叶斯公式.
1.理解全概率公式，学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率．
2灵活运用乘法公式与全概率公式解决相关问题.