高中数学高考第7讲　解三角形应用举例

第7讲　解三角形应用举例

一、选择题

1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)

A. km    B. km

C. km    D.2 km

解析　如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，∴AC＝2×＝(km).

答案　A

2.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)

A.10海里    B.10海里

C.20海里    D.20海里

解析　如图所示，易知，

在 △ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，

根据正弦定理得＝，

解得BC＝10(海里).

答案　A

3.(2017·合肥调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　　)

A.a km    B. a km

C.a km    D.2a km

解析　由题图可知，∠ACB＝120°，

由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB

＝a2＋a2－2·a·a·＝3a2，解得AB＝a(km).

答案　B

4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)

A.8 km/h    B.6 km/h

C.2 km/h    D.10 km/h

解析　设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.选B.

答案　B

5.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)

A.5    B.15

C.5   D.15

解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.

由正弦定理得＝，所以BC＝15.

在Rt△ABC中，AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.

答案　D

二、填空题

6.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分.

解析　由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，

由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝10，

所以海轮航行的速度为＝(海里/分).

答案　

7.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.

解析　如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，ON＝AOtan 30°＝×30＝

10(m)，

在△MON中，由余弦定理得，

MN＝

＝＝10(m).

答案　10

8.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.

解析　如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200 m，∴AC＝(m).

在△ACD中，由余弦定理得，

AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°＝3CD2，

∴CD＝AC＝(m).

答案　

三、解答题

9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin α的值.

解　(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.

在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC

＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.

解得BC＝28.

所以渔船甲的速度为＝14海里/时.

(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，

即sin α＝＝＝.

10.(2015·安徽卷)在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长.

解　设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，

由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，

所以a＝3.

又由正弦定理，得sin B＝＝＝，

由题设知0<B<，

所以cos B＝＝＝.

在△ABD中，因为AD＝BD，

所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B.

由正弦定理，得AD＝＝＝＝.

11.(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　)

A.    B.

C.－    D.－

解析　设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝，BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝＝－3，所以cos A＝－.

答案　C

12.如图所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从D，C两点测得A点仰角分别为α，β(α＜β)，则点A离地面的高AB等于(　　)

A.  　　　 B.

C.  　　　 D.

解析　结合题图示可知，∠DAC＝β－α.

在△ACD中，由正弦定理得：＝，

∴AC＝＝.

在Rt△ABC中，AB＝ACsin β＝.

答案　A

13.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于________m.

解析　如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，

在Rt△ACD中，

CD＝＝＝60(m)，

在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝60(2－)(m)，

∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m).

答案　120(－1)

14.如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449).

解　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里).

在△ABC中，∵AB＝(－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得

BC＝＝(海里).

根据正弦定理，可得

sin∠ABC＝＝＝.

∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，

从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.

在△BCD中，根据正弦定理，可得

sin∠BCD＝＝＝，

∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，

∴BD＝BC＝(海里)，

则有10t＝，t＝≈0.245小时＝14.7分钟.

故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船.