高中数学高考第3讲　第1课时　高效演练分层突破

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[基础题组练]1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为(　　)A．   B．  C．   D．解析：选A．－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝.2．(2020·福建五校第二次联考)已知cos＝，则sin 2α＝(　　)A．  B．－  C．  D．－解析：选C．法一：因为cos＝，所以sin 2α＝sin＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝.故选C．法二：因为cos＝，所以(cos α＋sin α)＝，所以cos α＋sin α＝，平方得1＋sin 2α＝，得sin 2α＝.故选C．3．(2020·陕西榆林模拟)已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin 2θ＝(　　)A．   B．  C．   D．解析：选C．因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cos θ.又|θ|<，故sin θ＝，cos θ＝，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，故选C．4．(2020·武汉模拟)已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　)A．  B．－  C．  D．±解析：选A．因为cos＝，所以cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝＝cos＝×＝.故选A．5．(2020·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log等于(　　)A．2  B．3 C．4  D．5解析：选C．因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，所以log＝log52＝4.故选C．6．(2020·洛阳统考)已知sin α＋cos α＝，则cos 4α＝________．解析：由sin α＋cos α＝，得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝，从而cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.答案：7．(2020·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝________，tan α＝________．解析：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝＝.答案：－1　8．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________．解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，所以sin β＝－.又β是第三象限角，因此有cos β＝－，所以sin＝－sin＝－sin βcos －cos βsin ＝.答案：9．已知tan α＝2.(1)求tan的值；(2)求的值．解：(1)tan＝＝＝－3.(2)＝＝＝＝1.10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．解：(1)由角α的终边过点P，得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.(2)由角α的终边过点P，得cos α＝－，由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－或cos β＝.[综合题组练]1．(2020·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin等于(　　)A．－   B．  C．－   D．解析：选C．tan α＋tan ＝2tan αtan －2⇒＝－2⇒tan＝－2，因为α为第二象限角，所以sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin －sincos ＝－.2．(创新型)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)A．8  B．4 C．2  D．1解析：选C．因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.所以＝＝＝＝＝2.故选C．3．已知0<α<，且sin α＝，则tan＝________；＝________．解析：因为0<α<，且sin α＝，所以cos α＝＝，所以tan α＝＝，则tan＝tan(α＋)＝＝7.＝＝＝＝.答案：7　4．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，所以α－β＝，所以即≤α≤π，所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝sin.因为≤α≤π，所以≤α＋≤，所以－1≤sin≤1，即取值范围为[－1，1]．答案：[－1，1]5．已知函数f(x)＝sin，x∈R.(1)求f的值；(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．解：(1)f＝sin＝sin＝－.(2)f＝sin＝sin＝(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)＝×＝.6．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.(1)求sin 2α和tan 2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.又2α∈，所以cos 2α＝ ＝，所以tan 2α＝＝.(2)因为β∈，所以β－∈，又sin＝，所以cos＝，于是sin 2＝2sin·cos＝.又sin 2＝－cos 2β，所以cos 2β＝－，又2β∈，所以sin 2β＝，又cos2α＝＝，α∈，所以cos α＝，sin α＝.所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝－.