高中数学高考第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

这是一份高中数学高考第2讲　平面向量基本定理及坐标表示，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1.(必修4P118A组2(6))下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D.e1＝(2，－3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.
答案 B
2.(2016·沈阳质监)已知在▱ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))＝(2，8)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，4)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝( )
A.(－1，－12) B.(－1，12)
C.(1，－12) D.(1，12)
解析 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝(－1，12)，故选B.
答案 B
3.已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.
答案 A
4.如右图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为( )
A.e1＋e2B.－2e1＋e2
C.2e1－e2D.2e1＋e2
解析 以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由题意可得e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，
因为a＝xe1＋ye2＝x(1，0)＋y(－1，1)，＝(x－y，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝－3，,y＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1，))故a＝－2e1＋e2.
答案 B
5.已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A.－eq \f(2,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2k，－2)，因为A，B，C三点共线，所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq \f(2,3).
答案 A
6.(2017·衡水冀州中学月考)在△ABC中，点D在BC边上，且eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AC,\s\up6(→))，则r＋s等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,3) C.－3 D.0
解析 因为eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，所以eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，则r＋s＝eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝0，故选D.
答案 D
7.在△ABC中，点P在BC上，且eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，点Q是AC的中点，若eq \(PA,\s\up6(→))＝(4，3)，eq \(PQ,\s\up6(→))＝(1，5)，则eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A.(－2，7) B.(－6，21)
C.(2，－7) D.(6，－21)
解析 eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))＝(－3，2)，∵Q是AC的中点，
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AQ,\s\up6(→))＝(－6，4)，eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，7)，
∵eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，∴eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(PC,\s\up6(→))＝(－6，21).
答案 B
8.(2017·河南八市质检)已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且eq \(EC,\s\up6(→))＝2eq \(AE,\s\up6(→))，则向量eq \(EM,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))
C.eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→))
解析 如图，∵eq \(EC,\s\up6(→))＝2eq \(AE,\s\up6(→))，
∴eq \(EM,\s\up6(→))＝eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋
eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→)).
答案 C
二、填空题
9.(2017·广州综测)已知向量a＝(x，1)，b＝(2，y)，若a＋b＝(1，－1)，则x＋y＝________.
解析 因为(x，1)＋(2，y)＝(1，－1)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2＝1，,y＋1＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－2，))所以x＋y＝－3.
答案 －3
10.若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的值为________.
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(a－2，－2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,2).
答案 eq \f(1,2)
11.已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________.
解析 因为a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)，v＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3).又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝eq \f(1,2).
答案 eq \f(1,2)
12.在平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝e1，eq \(AC,\s\up6(→))＝e2，eq \(NC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MC,\s\up6(→))，则eq \(MN,\s\up6(→))＝________(用e1，e2)表示.
解析 如图，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(CN,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))
＝eq \(CN,\s\up6(→))＋2eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(CN,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝－eq \f(1,4)e2＋eq \f(2,3)(e2－e1)
＝－eq \f(2,3)e1＋eq \f(5,12)e2.
答案 －eq \f(2,3)e1＋eq \f(5,12)e2
13.(2017·长沙调研)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，且eq \(BP,\s\up6(→))＝2 eq \(PA,\s\up6(→))，则( )
A.x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3) B.x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(2,3)
C.x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(3,4) D.x＝eq \f(3,4)，y＝eq \f(1,4)
解析 由题意知eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))，又eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，所以eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3).
答案 A
14.已知|eq \(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，点C在∠AOB内，且eq \(OC,\s\up6(→))与eq \(OA,\s\up6(→))的夹角为30°，设eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，则eq \f(m,n)的值为( )
A.2 B.eq \f(5,2) C.3 D.4
解析 ∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，∴eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，
以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，
eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3))，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))＝(m，eq \r(3)n).
∵tan 30°＝eq \f(\r(3)n,m)＝eq \f(\r(3),3)，∴m＝3n，即eq \f(m,n)＝3，故选C.
答案 C
15.已知点A(－1，2)，B(2，8)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))，则eq \(CD,\s\up6(→))的坐标为________.
解析 设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).
由题意得eq \(AC,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1－2)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，6)，
eq \(DA,\s\up6(→))＝(－1－x2，2－y2)，eq \(BA,\s\up6(→))＝(－3，－6).
因为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))，所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋1＝1，,y1－2＝2))和eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1－x2＝1，,2－y2＝2.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝4))和eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝－2，,y2＝0.))所以点C，D的坐标分别为(0，4)，(－2，0)，
从而eq \(CD,\s\up6(→))＝(－2，－4).
答案 (－2，－4)
16.(2016·四川卷改编)已知正△ABC的边长为2eq \r(3)，平面ABC内的动点P，M满足|eq \(AP,\s\up6(→))|＝1，eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))，则|eq \(BM,\s\up6(→))|2的最大值是________.
解析 建立平面直角坐标系如图所示，则B(－eq \r(3)，0)，C(eq \r(3)，0)，A(0，3)，则点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.
设P(x，y)，M(x0，y0)，则x＝2x0－eq \r(3)，y＝2y0，代入圆的方程得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)，
所以点M的轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)，它表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))为圆心，以eq \f(1,2)为半径的圆，
所以|eq \(BM,\s\up6(→))|max＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\r(3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－0))\s\up12(2))＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,2)，所以|eq \(BM,\s\up6(→))|eq \\al(2,max)＝eq \f(49,4).
答案 eq \f(49,4)