高中数学高考第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题3 第2讲 立体几何(大题)

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热点一 平行、垂直关系的证明
用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.
例1 如图，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点.运用向量方法证明：
(1)OM∥平面BCF；
(2)平面MDF⊥平面EFCD.
跟踪演练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝2，AD＝CD＝1，M是PB的中点.
(1)求证：AM∥平面PCD；
(2)求证：平面ACM⊥平面PAB.
热点二 利用空间向量求空间角
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2).平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).
(1)线线夹角
设l，m的夹角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,2)))，
则cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)＝eq \f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(a\\al(2,1)＋b\\al(2,1)＋c\\al(2,1)) \r(a\\al(2,2)＋b\\al(2,2)＋c\\al(2,2))).
(2)线面夹角
设直线l与平面α的夹角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,2)))，
则sin θ＝eq \f(|a·μ|,|a||μ|)＝|cs〈a，μ〉|.
(3)二面角
设α－a－β的平面角为θ(0≤θ≤π)，
则|cs θ|＝eq \f(|μ·v|,|μ||v|)＝|cs〈μ，v〉|.
例2 (2019·南昌模拟)如图，四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点.
跟踪演练2 (2019·河南名校联盟联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠PAB＝90°，AB∥CD，且PB＝BC＝BD＝eq \r(6)，CD＝2AB＝2eq \r(2)，∠PAD＝120°.E和F分别是棱CD和PC的中点.
(1)求证：CD⊥BF；
(2)求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值.
热点三 利用空间向量解决探索性问题
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题.处理原则是：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.
例3 (2019·临沂模拟)如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝1，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥平面BCE；
(2)线段AD上是否存在一点M，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为eq \f(\r(3),4)？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
跟踪演练3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝AA1＝2，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上一动点.
(1)求证：当点Q为线段A1B的中点时，PQ⊥平面A1BC；
(2)设eq \(BQ,\s\up6(→))＝λeq \(BA1,\s\up6(→))，试问：是否存在实数λ，使得平面A1PQ与平面B1PQ所成锐二面角的余弦值为eq \f(\r(30),10)？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由.
真题体验
(2019·全国Ⅰ，理，18)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求二面角A－MA1－N的正弦值.
押题预测
如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，过A，B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别E，F，AB＝AE＝2，CD＝5，已知DE＝1，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，得空间几何体ADE－BCF，如图2.
(1)若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE；
(2)若DE∥CF，CD＝eq \r(3)，线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正弦值为eq \f(\r(5),20)，求AP的长.
A组 专题通关
1.(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
(1)证明：BE⊥平面EB1C1；
(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值.
2.(2019·全国Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的二面角B—CG—A的大小.
3.(2019·马鞍山模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，A1B⊥AC1，AC＝AA1＝4，BC＝2.
(1)求证：平面A1ACC1⊥平面ABC；
(2)若∠A1AC＝60°，在线段AC上是否存在一点P，使二面角B－A1P－C的平面角的余弦值为eq \f(\r(3),4)？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由.
B组 能力提高
4.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA＝PD＝AD＝2CD＝2BC＝2，且∠ADC＝∠BCD＝90°.
(1)当PB＝2时，证明：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)当四棱锥P－ABCD的体积为eq \f(3,4)，且二面角P－AD－B为钝角时，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.
5.如图，已知圆锥OO1和圆柱O1O2的组合体(它们的底面重合)，圆锥的底面圆O1的半径为r＝5，OA为圆锥的母线，AB为圆柱O1O2的母线，D，E为下底面圆O2上的两点，且DE＝6，AB＝6.4，AO＝5eq \r(2)，AO⊥AD.
(1)求证：平面ABD⊥平面ODE;
(2)求二面角B－AD－O的正弦值.