2023届江西省南昌市高三下学期第一次模拟测试数学（文）试题含答案

南昌市2023届高三下学期第一次模拟测试

文科数学

本试卷共4页，23小题，满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．

3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效．

4．考生必须保证答题卡整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．设复数满足，则（    ）

A．2 B． C． D．

3．如图，一组数据，，，…，，的平均数为5，方差为，去除，这两个数抳后，平均数为，方差为，则（    ）

A．， B．， C．， D．，

4．双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

5．已知x，y为正实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

6．已知x，y满足，则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．7

7．对食道和胃粘膜有刺激性的粉末或颗粒，或口感不好、易于挥发、在口腔中易被唾液分解，以及易吸入气管的药需要装入胶囊，既保护了药物药性不被破坏，也保护了消化器官和呼吸道．在数学探究课中某同学设计一个“胶囊形”的几何体，由一个圆柱和两个半球构成，已知圆柱的高是底面半径的4倍，若该几何体表面积为，则它体积为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数，，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．2

10．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：

对于任意实数，

当|x|比较小的时候，取广义二项式定理的展开式的前两项可得：，并且|x|的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．，用这样的方法，估计的近似值约为（    ）

A．2.922 B．2.928 C．2.926 D．2.930

11．如图，已知正四棱台中，，，，点M，N分别为，的中点，则下列平面中与垂直的平面是（    ）

A．平面 B．平面DMN C．平面ACNM D．平面

12．已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，若，则m=______．

14．函数在x=1处的切线平行于直线x－y－1=0，则切线在y轴上的截距为______．

15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，B=60°，则b的取值范围为______．

16．已知一簇圆，直线l：y=kx＋b是它们的一条公切线，则k＋b=______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17．（12分）已知正项数列满足a1=1，a2=2，a4=64，且．

（1）求k的值；

（2）求数列的通项公式．

18．（12分）随着国民旅游消费能力的提升，选择在春节假期放松出行的消费者数量越来越多．伴随着我国疫情防控形势趋向平稳，被“压抑”已久的出行需求持续释放，“周边游”、“乡村游”等新旅游业态火爆，为旅游行业发展注入新活力，旅游预订人数也开始增多，为了调查游客预订与年龄是否有关，调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客预定了，这200名游客中各年龄段所占百分比见下图：

已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的且在19~35岁年龄段的游客概率为．

（1）请将下列2×2列联表补充完整．

能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与年龄有关？请说明理由．

（2）将上述调查中的频率视为概率，按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，在从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率．

附：，其中．

19．（12分）已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积．

20．（12分）已知函数．

（1）若时，函数有2个极值点，求的取值范围；

（2）若，，方程有几个解？

21．（12分）已知抛物线上一点，若处的切线斜率为－1，且该切线与轴相交于．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点的直线与曲线相交于A，B两点，若直线PA，PB分别与轴相交于M，N两点，求M，N两点横坐标的和．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．

（1）当时，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．

（2）直线l与曲线C交于A，B两点，若|AB|=2，求的值．

23．（10分）选修4－5：不等式选讲

已知a＞0，b＞0，且a＋b=ab．

（1）求证：；

（2）求的最小值．

南昌市2023届高三下学期第一次模拟测试

文科数学  参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．2  14．－2  15．  16．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．【解析】（1）因为，所以，

因为，，，所以，

则，所以；

（2）因为，所以，则，

令，所以，则是等比数列，

因为，，所以，所以，

则

18．【解析】（1）预定旅游中，19－35岁年龄段的人数为：人，

18岁以下及36岁以上人数为人．

在所有调查对象中随机抽取1人，

抽到不预订的旅游客群在19~35岁年龄段的人的概率为，

故不预订旅游客群19~35岁年龄段的人为：人，

18岁以下及36岁以上人数为人．

所以列联表中的数据为：

，

则能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游顸订与年龄有关．

（2）按分层抽样，从预定旅游客群中选取5人，

其中在19－35岁年龄段的人数为，分别记为：A，B，C；

18岁以下及36岁以上人数为2人，分别记为：a，b．

从5人中任取2人，共有10种情况：，，，，，，，，，；其中恰有1人是19－35岁年龄段的有：，，，，，6种情况，概率为：．

19．【解析】（1）连接AC交BD于点，连接，

在直四棱柱中，

所以四边形为平行四边形，即，

又因为底面ABCD为棱形，所以点为AC的中点，

点为的中点，即点为的中点，所以，

即四边形为平行四边形，所以，

因为平面，所以平面；

（2）在直棱柱中平面，所以，

又因为上底面为棱形，所以，所以平面，

因为在中，，

且点为BD的中点，所以，即，

所以．

20．【解析】（1）时，，，

则方程有两实根，即有两实根．

设，，则时，，单调递减；

时，，单调递增，

所以，且，时，，

所以当有两个实根时，．

（2）当，时，设，

则，，

因为在上单调递增，且，．

所以恰有一根，且，．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，

且，．

所以有且仅有两个实根，即方程有且仅有两个实根．

21．【解析】（1）由题意可知直线的方程为，

联立方程可得，

又因为直线与抛物线相切，则，解得，

所以抛物线的方程为，此时切点．

（2）设直线的方程为，且，

与抛物线联立方程得，

，得，则有，，

直线AP的方程，令，

，同理可知，

所以，

因为点，在拋物线上，则，，

，

由于韦达定理可得．

22．【解析】（1）当时，直线的参数方程为，

消去参数得，

即直线的普通方程为．

∵，∴，∵，∴，

则曲线的直角坐标方程为．

（2）将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程中得

，化简得，

设A，B两点对应的参数为，，则，，

因为直线过点，

则，

解得．

23．【解析】（1）因为，，且，∴

又∵，∴．

当且仅当时等号成立．

（2）因为，，且∴，∴，，

所以，

，

当且仅当时等号成立，所以最小值为．