中考数学一轮复习17等腰、等边三角形讲义（2份打包，教师版+原卷版）

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专题17 等腰、等边三角形1.了解等腰三角形、等边三角形的概念，会识别这二种图形；2.理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定；3.能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题；4.了解直角三角形的概念，并理解直角三角形的性质和判定；一、等腰、等边三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：
(1)具有三角形的一切性质.
(2)两底角相等(等边对等角)
(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)
(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
3.判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
特别提醒：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.
例1．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于(    )
A.顶角的2倍 　　　B.顶角的一半 　　　C.顶角 　　　D.底角的一半
　　　　                      　例2．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC=　  　cm．二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2性质：
(1)直角三角形中两锐角互余.
(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3．判定：
(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.
(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.例3．已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.
　　(1)若∠BAC=30°，求证: AD=BD；
　　(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　图1 　　　　　　　　　图21．（2022·黑龙江九年级期末）如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离为，则这两棵树之间的坡面的长为（    ）A． B． C． D．2．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′，若点B′恰好落到边BC上，则∠CB′C′的度数为（    ）A．50° B．60° C．70° D．80°3．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大小是（    ）A． B． C． D．4．（2022·沙坪坝区·重庆八中九年级二模）下列命题中是真命题的是（    ）A．三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等B．三个角对应相等的两个三角形全等C．直角三角形斜边上的高线等于斜边的一半D．等边三角形是中心对称图形5．（2022·全国九年级课时练习）如图，点为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则的度数为（    ）A． B． C． D．6．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，EF⊥EC交AB于点F．若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；②EF＝EC；③当G为CE中点时，BF＝；④BG•BH＝BE•BO，其中正确的是（　　）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④7．（2022·全国九年级专题练习）如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是________．8．（2022·西宁市教育科学研究院中考真题）如图，是等边三角形，，N是的中点，是边上的中线，M是上的一个动点，连接，则的最小值是________．9．（2022·福建省福州杨桥中学九年级月考）如图，已知，，点E为线段BC上的一点，连接AE．（1）将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，点E的对应点是点F．请用尺规作图作出线段AF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：点F在的平分线上．10．（2022·沙坪坝区·重庆八中九年级二模）如图1，在RtACB中，AC＝BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．（1）如图1，若AC＝6，tan∠ACD＝2，求DE的长；（2）如图2，若CE＝2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF＝DF，在FD上取一点G，使∠EGF＝∠CFG，求证：AF＝EG；（3）如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC＝90°，AC＝6，连接AD，将AD绕A点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出ACH的面积．