福建省龙岩市2023届高三下学期三月教学质量检测数学试题+答案

龙岩市2023年高中毕业班三月教学质量检测

数学试题参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

8. 简解: 的周长为，为定值，即最小时，的周长最小，如图，将平面展成与平面同一平面，当点共线时，此时最小，在展开图中作，垂足为，，解得：，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，,，连结，平面，且经过的中心，所以三棱锥外接球的球心在上，设球心，则,即，解得：，，所以外接球的表面积，故C正确.

12．简解: 由得:

在单调递增, 错；

有两个零点，方程有两个根

令则

可得在上递增，在上单调递减，

在处取得极大值，，正确；

由上可得：

又由的单调性可得：

正确；

由已知，有

而

 令则

易得在单调递增，

，

，，，又在单调递增，即正确

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．1       14. （答案不唯一）      15．        16．

16．简解: 设直线的方程为，即

设直线，的方程分别为，，即，，

直线与圆相切，，整理得.

同理得.与是方程的两个不同实数根.设，，

则，即.由，得，

，.  

又，，，

解法二：设直线的方程为，即

设直线，的方程分别为，，即，，

的平分线过点，

整理得.，，

下与解法一同。

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17．（本题满分10分）

解：（1）依题意，得：,即

所以，，化简得:

因为，所以  …………………………………3分

所以 …………………………………4分

经检验：成立     …………………………………5分

（2）解法一：

因为

所以

，…………………………………8分

所以

.…………………………10分

解法二：

所以

 .…………………………10分

18．（本题满分12分）

解: （1）由得：，

由正弦定理得：，………………………3分

，所以

又，，，即，

又，   . …………………………………6分

（2）解法一：因为是边上的点，且，

所以，，，

在中，由正弦定理得：，

即…………………………8分

在中，由余弦定理得：；

，  ， 解得：，……11分

又，.  …………………………………12分

解法二：

过作交延长线于，

在中

在等腰中，设为中点，则

中，

又，.  …………………………………12分

19．（本题满分12分）

解：（1）过在平面内作,垂足为，

侧面为矩形，,又

平面，平面平面，

平面 …………………………………2分

,

…………………………………4分

…………………………………5分

（2）如图，以分别为轴建立空间直角坐标系，

则,

设，则

……………7分

设平面的法向量为

则即，

取…………………………………9分

设直线与平面所成角为

则

解得，存在点E满足题意，…………………………………12分

20．（本题满分12分）

解：（1）可能取值为．

…………………………………2分

所以的分布列如下：

．…………………………………4分

（2）前两天中每一天甲以获胜的的概率均为；

乙以获胜的的概率均为

甲以获胜的的概率均为

乙以获胜的的概率均为 …………………………………6分

 …………………………………7分

即获胜方前两天比分为和，或者和再加附加赛

甲获胜的概率为,…………………………………9分

乙获胜的概率为…………………………………11分

.…………………………12分

21．（本题满分12分）

解：（1）设，为线段的中点，

依题意，得：,

所以，，

又，所以

所以椭圆的方程为．…………………………………4分

（2）依题意，当直线斜率为0时，不符合题意；

当直线斜率不为0时，设直线方程为，

联立，得，

易知．

设，，

则，，…………………5分

因为轴，轴，所以，，

所以直线：①，

直线②，

联立①②解得，

…………7分

因为，与直线平行，

所以，……………9分

因为，

所以，

由，解得，…………………………………11分

故存在直线l的方程为或，使得的面积等于．…………………………………12分

22．（本题满分12分）

解：（1）由已知有

曲线在点处的切线方程为：

即：，将代入即有：………2分

由得令得：，此时

可得：曲线在点处的切线方程为：

，将代入化简，

可得：

故曲线在点处的切线也是曲线的切线。…………5分

（2）

，令，得：

   为方程的两根……………7分

即：

   ……………………8分

令，则………………………10分

令 ，则

在单调递减

即 …………………………………12分