2022年山东省五莲县、诸城市、安丘市、兰山区四县区高考数学过程性试卷

这是一份2022年山东省五莲县、诸城市、安丘市、兰山区四县区高考数学过程性试卷，共15页。试卷主要包含了30，lg3≈0等内容，欢迎下载使用。
 2022年山东省五莲县、诸城市、安丘市、兰山区四县区高考数学过程性试卷 1.（5分）已知集合，，则A.  B.
C.  D. 2.（5分）已知，则在复平面内复数对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.（5分）某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为A.  B.  C.  D. 4.（5分）下列区间中，函数单调递减的区间是A.  B.
C.  D. 5.（5分）设是定义在上的奇函数，且当时，，则的解集为A.  B.
C.  D. 6.（5分）按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，年为碳达峰时期，年实现碳中和，到年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式：，其中为常数．为了测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间则该蓄电池的常数大约为 
参考数据：，A.  B.  C.  D. 7.（5分）已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是A.  B.  C.  D. 8.（5分）已知定义在上的函数且，为自然对数的底数，，则A.  B.
C.  D. 与实数的取值有关9.（5分）我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高．“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力，年年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如图所示，根据下面图表、下列说法一定正确的是A. 对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的小
B. 该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民
C. 对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大
D. 年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比年有所上升10.（5分）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，逆时针旋转，后分别得到点，，则A.  B.
C.  D. 点的坐标为11.（5分）已知函数，则下列结论正确的是A. 是周期函数
B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称
D. 在处取得最大值12.（5分）在棱长为的正方体中，为正方形的中心，为棱上的动点，则下列说法正确的是
 A. 点为中点时，
B. 点与点重合时三棱锥外接球体积为
C. 当点运动时，三棱锥外接球的球心总在直线上
D. 当为中点时，正方体表面到点距离为的轨迹的总长度为13.（5分）若函数，则______.14.（5分）若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为 ______.15.（5分）一个箱子中装有形状完全相同的个白球和个黑球，现从中有放回的摸取次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为，若，则______.16.（5分）已知数列中，，对任意，，，成等差数列，公差为，则______．17.（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，， 
若，，求； 
点在边上，且，证明：平分18.（12分）已知数列中，，，，，，，成等差数列． 
求的值和的通项公式； 
设，求数列的前项和19.（12分）如图，四棱锥的底面为梯形，底面，，，，为的中点． 
证明：平面平面； 
若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．
 20.（12分）第届冬季奥林匹克运动会，即年北京冬季奥运会，于年月日星期五开幕，月日星期日闭幕．北京冬季奥运会设个大项，个分项，个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，其中 
甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； 
若甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为，求的值； 
在的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列．21.（12分）已知圆的焦点为，长轴长与短轴长的比值为 
求的方程； 
过点的直线与交于，两点，轴于点，轴于点，直线交直线于点，求证：点，，三点共线．22.（12分）已知函数，且在上的最大值为 
求实数的值； 
讨论函数在内的零点个数，并加以证明．
答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，， 
， 
故选： 
利用交集的运算直接求解． 
此题主要考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．
 2.【答案】A【解析】解：， 
， 
， 
故对应的点位于第一象限， 
故选： 
根据复数的运算，化简，求出，从而求出答案即可． 
此题主要考查了复数的运算，考查转化思想，是基础题．
 3.【答案】D【解析】解：如图，是正四棱锥的高， 
 
设底面边长为，则底面积为， 
因为正四棱锥的侧棱与底面所成的角为， 
所以，又，所以， 
所以是正三角形，面积为， 
所以，即正四棱锥的侧面与底面的面积之比为， 
故选： 
设底面边长为，由线面角的定义可得侧棱长，然后分别求侧面的面积和底面的面积即可得解． 
此题主要考查棱锥的几何特征，考查学生的运算能力，属于中档题．
 4.【答案】B【解析】解：在区间上，，函数单调递增，故排除； 
在区间上，，函数单调递减，故满足条件； 
在区间上，，函数不单调，故排除； 
在区间上，，函数单调递增，故排除， 
故选： 
由题意，利用诱导公式、正弦函数的单调性，得出结论． 
此题主要考查诱导公式、正弦函数的单调性，属于中档题．
 5.【答案】C【解析】解：是定义在上的奇函数，且当时，， 
所以时，， 
则， 
所以，， 
由得或， 
故或 
故选： 
由已知结合奇函数定义可求出时的函数解析式，进而可求． 
此题主要考查了函数奇偶性在求解不等式中的应用，属于基础题．
 6.【答案】B【解析】解：由题意可得，电池的容量为定值， 
则，即， 
两边取对数可得，，即， 
故 
故选： 
由题意可得，电池的容量为定值，则，即，再结合对数函数的公式，即可求解． 
此题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
 7.【答案】C【解析】解：连接，根据抛物线定义可知，点到抛物线准线的距离等于点到焦点的距离， 
连接圆心与焦点，交圆于点，交抛物线于点，如图所示， 
 
此时点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和最小即为的长度， 
其中，故， 
故选： 
根据抛物线定义将线段进行转化，数形结合进行求解． 
此题主要考查抛物线的几何性质，圆锥曲线中的范围与最值问题，属于中等题．
 8.【答案】B【解析】解：根据题意，函数且， 
则， 
则有； 
故； 
故选： 
根据题意，由函数的解析式分析可得，由此分析可得答案． 
此题主要考查函数值的计算，注意分析的值，属于基础题．
 9.【答案】CD【解析】解：对于，由表中数据可知，城镇居民相关数据极差较大，故错误， 
对于：这个图表是到年城镇居民与农村居民可支配收入的增长率，通过这个我们并不能得出该市农村居民可支配收入高于城镇居民，故错误， 
对于：由表中数据可知，对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村的比城镇的大， 
故正确， 
对于：由表中数据可知，增长率为正，故正确， 
故选： 
根据图表中的信息，逐个判断各个选项即可． 
此题主要考查了统计图表的应用，属于基础题．
 10.【答案】ABD【解析】解：由已知可得，， 
点绕点沿顺时针方向旋转相当于点绕点沿逆时针方向旋转， 
， 
， 
， 
又，故，，，故选项正确； 
，故选项正确； 
， 
，故选项正确； 
显然，故选项错误． 
故选： 
根据题意求得，进而求得，，，再逐项判断即可． 
本题以新定义在载体，旨在考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 11.【答案】BD【解析】解：因为，的最小周期是，的最小正周期是，但，， 
所以函数不是周期函数，故错误； 
B.设，，， 
当时，同理可得，且，所以函数是奇函数，故正确； 
C.，，，所以函数的图象不关于直线对称，故错误； 
D.当时，，所以函数取得最大值，故正确． 
故选： 
首先化简函数，再根据函数周期的定义，判断； 
利用函数奇偶性的定义，判断； 
利用对称性的特征，举反例，判断； 
代入验证 
此题主要考查了三角函数性质及诱导公式，属于中档题．
 12.【答案】ACD【解析】解：对于，为的中位线，故， 
又平面，故平面，则，故正确； 
对于，与重合时，三棱锥的外接球即正方体外接球，故，故错误； 
对于，过的中心且垂直于平面，故以为底的三棱锥，球心在上，故正确； 
对于，在平面和平面上轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的两段孤， 
在平面和平面上，轨迹是以为半径，圆心角为的两段弧，故，故正确， 
故选： 
由题意，为棱上的动点，则对应点在不同的位置，对各项进行分析即可． 
此题主要考查点的轨迹方程，及球的体积和表面积，考查学生的推理运算能力，属于难题．
 13.【答案】 -2【解析】解：根据题意，函数， 
则， 
则； 
故答案为： 
根据题意，由函数的解析式计算可得答案． 
此题主要考查分段函数的求值，涉及函数的解析式，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：由双曲线方程可得其焦点在轴上，因为其一条渐近线为， 
所以，， 
故答案为： 
根据渐近线方程，得到、的比例关系，然后去求解离心率可得答案． 
此题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于基础题．
 15.【答案】 2【解析】解：有放回的摸取次，每次随机摸取一球是白球的概率相等，设为， 
而摸取次即为一次试验，只有两个不同结果， 
因此，，则，解得， 
所以 
故答案为： 
根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式计算作答． 
此题主要考查了二项分布的期望、方差公式，属于基础题．
 16.【答案】 299【解析】解：数列中，，对任意，，，成等差数列，公差为，  
，，，，  
． 
故答案为：． 
推导出，，，从而，由此能求出． 
此题主要考查等差数列的第项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 17.【答案】解：（1）由sinA-2sinB，可得a=2b=4， 
所以cosC==-， 
因为C∈（0，π）， 
所以C=； 
（2）证明：设∠BCD=α，∠ACD=β， 
因为sinA=2sinB，由正弦定理得a=2b， 
在△BCD中，由正弦定理得：=，① 
在△ACD中，由正弦定理得：=，② 
因为sin∠BDC=sin∠ADC，a=2b， 
所以可得sinα=sinβ， 
因为0＜α，β＜， 
所以α=β，即CD平分∠ACB．
 【解析】 
根据正弦定理可知，根据余弦定理可求，由此即可求； 
由正弦定理证明即可． 
此题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 18.【答案】解：（1）+，+，+成等差数列， 
所以2（+）=+++， 
得-=-，得（k-1）=（k-1）， 
因为k≠1，所以==2， 
所以，得=； 
（2）， 
当n为偶数时，设n=2k， 
可得Sn=S2k=++⋅⋅⋅++++⋯+==， 
即， 
当n为奇数时，设n=2k-1， 
可得Sn=S2k-1=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+==， 
即， 
综上所述，．【解析】 
由，，成等差数列，可求得，即可求出值和通项公式； 
由可求出的通项公式，分类讨论即可求出数列的前项和 
此题主要考查了数列的递推式和求和，属于中档题．
 19.【答案】证明：（1）因为PD⊥底面ABCD，BC⊂面ABCD，则PD⊥BC， 
由∠BAD=90°，AD=AB=1， 
则，又∠CDA=90°，则AB∥DC， 
若F为CD中点，连接BF， 
易知ABFD为正方形，则BF=1，又CD=2，即FC=1，所以， 
综上BC2+BD2=CD2，即BD⊥BC， 
又BD∩PD=D，则BC⊥面PBD，又BC⊂面BCE， 
所以平面PBD⊥平面BCE； 
 
解：（2）由题设，以DA，DC，DP分别为x，与y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=m， 
则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），，P（0，0，m）， 
 
所以，，， 
设为面PBC的一个法向量，则， 
令x=1，则， 
设为面EBC的一个法向量，则， 
令a=1，则， 
所以，整理得， 
所以，即，易得PA=2，， 
由PD⊥底面ABCD，AB⊂面ABCD，则PD⊥AB，又∠BAD=90°，即AD⊥AB， 
由PD∩AD=D，则AB⊥面PAD，PA⊂面PAD，即AB⊥PA， 
所以在直角△PAB中，， 
在△PBC中，，，，即PB2+BC2=PC2，则PB⊥BC， 
所以． 
由上有且面PBC的一个法向量， 
则，故E到面PBC的距离．， 
所以．【解析】 
线面垂直的性质可得，若为中点，连接，由正方形的性质及勾股定理可得，再由线面垂直的性质有面，最后根据面面垂直的判定证结论； 
构建空间直角坐标系，设求相关点坐标，再求面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示，结合二面角的余弦值求参数，最后求、向量法求到面的距离，再由体积公式求棱锥的体积． 
此题主要考查了面面垂直的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题．
 20.【答案】解：（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：， 
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：， 
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：， 
∵， 
∴， 
∴， 
∴甲进入决赛可能性最大． 
（2）P=P1×P2×（1-P3）+P1P3（1-P2）+P2P3（1-P1）==， 
解得， 
∵，解得p=或p=， 
∵， 
∴p=． 
（3）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，3， 
P（ξ=0）=， 
， 
，， 
故ξ的分布列为：ξ0123P 【解析】 
分别求出甲，乙，丙三人初赛的两轮均获胜的概率，通过比较，即可求解． 
根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式，即可求解． 
由题意可得，所有可能取值为，，，，分别求出对应的概率，即可求解． 
此题主要考查离散型随机变量分布列的求解，需要学生很强的综合能力，属于难题．
 21.【答案】解：（1）由题设，所以=2， 
又因为c=2，=+，所以2=+4，解得=4，=8， 
所以椭圆M的方程为． 
（2）证明：由题意可知，直线l斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-2）， 
由，得（1+2）-8x+（8-8）=0， 
设A（，），B（，），则，， 
因为AD⊥x轴，所以D（，0）， 
直线BD方程为，所以， 
因为BC⊥x轴，所以C（，0）， 
因为，， 
所以======0， 
所以C，A，E三点共线．【解析】 
由题设，又，，解得，，进而可得答案． 
由题意可知，直线斜率存在，设，，直线的方程为，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由于轴，则，写出直线的方程，进而可得点的坐标，写出直线的斜率，在计算，即可得出答案． 
此题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
 22.【答案】解：（1）因为，所以， 
当时，有， 
当a=0时，，不符合条件， 
当a＜0时，f'（x）＜0，则f（x）在上单调递减， 
即，不符合条件， 
当a＞0时，f'（x）＞0．则f（x）在上单调递增， 
即，解得a=1； 
（2）有（1）知f（x）在单调递增， 
因为，，所以f（x）在内存在唯一的零点， 
当，， 
因为，f'（π）=-ln（π+1）＜0， 
所以f'（x）在内存在零点，即f'（）=0， 
因为， 
所以当时，有f''（x）＜0，即f'（x）在上单调递减， 
所以当时，f'（x）=f'（）=0，即f（x）在上单调递增， 
所以有，即f（x）在无零点， 
当x∈[，π]时，f'（x）＜f'（）=0，所以f（x）在[，π]上单调递减， 
因为f（）＞0，f（π）＜0，所以f（x）在[，π]内有且仅有一个零点， 
综上所述，f（x）在[0，π]内有两个零点．【解析】 
求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的最大值，得到关于的方程，求出的值即可； 
求出函数在上单调递增，得到个零点，再讨论在上的单调性从而求出另个零点即可． 
此题主要考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是难题．