考向15 特殊三角形（基础巩固）-2023年中考数学一轮基础知识复习和专题巩固提升训练+知识梳理+答案与解析

考向15   特殊三角形

【知识梳理】

考点一、等腰三角形

1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

2.性质：
(1)具有三角形的一切性质.
(2)两底角相等(等边对等角)
(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)
(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
3.判定：

(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
方法指导：

(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.
 

考点二、直角三角形

1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

2性质：

(1)直角三角形中两锐角互余.
(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角

等于30°.
(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直

角三角形.

(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

3．判定：

(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.
(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三

角形.
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边

为斜边.

【专项训练】

一、选择题
1．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（   ）
A．　　　B． 　　　C．或　　　 D．或
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 （   ）

A．5个 　　　

B．4个　　　

C．3个　　　

D．2个

3．如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是(    )
　　A. 1：2：4 　　　B. 1：3：5 　　　C. 3：4：7 　　D. 5：12：13
    4．下列条件能确定△ABC是直角三角形的条件有(    )
　　(1)∠A+∠B=∠C；(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3；(3)∠A=90°-∠B；(4)∠A=∠B=∠C.
　　A.1个　　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个

5. 已知：△ABC中，AB=AC=，BC=6，则腰长的取值范围是（   ）
　　A. 　　　

B. 　

C. 　　　

D.　　　　　　　

6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题

7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则_____________度．

8．如图，和都是边长为2的等边三角形，点在同一条直线上，连接，则的长为_________.

9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于D，若AB=10，则△BDE的周长等于____________.
　　

10．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于45°，则这个三角形的顶角等于_________.

11. 如图，AB=AC=AD=4cm，DB=DC，若∠ABC为60度，则BE为　  　，∠ABD=　     ．

12. 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和6两部分，则腰长与底边的长分别为      ．

三、解答题

13.如图14-59，点O为等边ΔABC内一点，∠AOB=1100，∠BOC=1350，试问：

（1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各内角的度数；若不能，请说明理由；

（2）如果∠AOB大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？

14.如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．

（1）如图1，填空∠B=　    ，∠C=　     ；

（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2

①求证：△ANE是等腰三角形；

②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．

15．已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．

1）求证：AB＝CD；
2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
　　
　

16.（1）如图14-63，下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别为1,2,3,…，设边长为n的等边三角形由s个小等边三角形组成，按此规律推断s与n有怎样的关系；

（2）现有一个等角六边形ABCDEF（六个内角都相等的六边形，如图14-64），它的四条边长分别是2、5、3、1，求这个等角六边形的周长；

（3）（2）中的等角六边形能否用（1）中最小的等边三角形无空隙拼合而成？如果能，请求出需要这种小等边三角形的个数.

答案与解析

一、选择题

1.【答案】C.

【解析】提示：分类讨论.

2.【答案】A

3.【答案】D．　　

【解析】常见的一些勾股数如：3、4、5；5、12、13；7、24、25及倍数等，应熟练掌握.
D中设三边的比中每一份为k，则(5k)2+(12k)2=(13k) 2 ，所以该三角形是直角三角形.其它答案都不满足，故选D.

4.【答案】D.

【解析】三角形中有一个角是90°，就是直角三角形.题中四个关系式都可以解得△ABC中∠C =90°.故选D.

5.【答案】B.

6.【答案】A.

【解析】∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，

∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，

∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，

在△CDE与△DBF中，

，

∴△CDE≌△DBF，

∴DE=DF，CE=BF，故①正确；

∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．故选A．

二、填空题

7．【答案】270°.

【解析】提示：根据邻补角的性质可得.

8．【答案】.

【解析】

作DF⊥BE,∵BC=CD，∴∠1=30°，又∵为2的等边三角形

∴DF=，即BD=

9．【答案】10.

10．【答案】90°.

11．【答案】2cm; 75°

【解析】①∵AB=AC，∠ABC为60度，

∴△ABC为等边三角形．

在△ABD和△ACD中，

∵，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD=∠CAD，

∴AE是BC边的中垂线，

∴BE=BC=2cm；

故答案是：2cm；

②∵AB=AD（已知），

∴∠ABD=∠ADB（等边对等角），

∴∠ABD=（180°﹣∠BAD）=（180°﹣30°）=75°．

故答案是：75°．

12．【答案】腰为10，底边长为1.

【解析】提示：注意此类题型要分类讨论，最终结果要进行验证.

三、解答题

13.【答案与解析】

(1)将△ABO绕A点旋转60度，使B与C重合，O点转动后的点为O'，
因为AO=AO'，∠AOO'=60°，所以△AOO'是等边三角形。所以OO'=OA．
转动后O'C=OB，所以△OO'C其实就是以OA、OB、OC为边组成的三角形，
∠COO'=360°-∠AOB-∠BOC-∠O'OA=360°-110°-135°-60°=55°，
∠C O'O=∠AO’C-∠O O'A=∠AOB-∠O O'A=110°-60°=50°，
∠O'CO=180°-∠COO'-∠C O'O=180°-55°-50°=75°．
（2）从上面的角度计算我们可以看出来，当∠BOC可变时，∠C O'O依旧为定值50°.

若三角形为直角三角形，则∠COO'=90°或∠O'CO=90°.
若使∠COO'=90°，则360°-∠AOB-∠BOC-∠O'OA=90°，可解出∠BOC=100°．
若使∠O'CO=90°，则∠COO'=40°，可解出∠BOC=150°.

14.【答案与解析】

解：（1）∵BA=BC，

∴∠BCA=∠BAC，

∵DA=DB，

∴∠BAD=∠B，

∵AD=AC，

∴∠ADC=∠C=∠BAC=2∠B，

∴∠DAC=∠B，

∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°，

∴2∠B+2∠B+∠B=180°，

∴∠B=36°，∠C=2∠B=72°，

故答案为：36；72；

（2）①在△ADB中，∵DB=DA，∠B=36°，

∴∠BAD=36°，

在△ACD中，∵AD=AC，

∴∠ACD=∠ADC=72°，

∴∠CAD=36°，

∴∠BAD=∠CAD=36°，

∵MH⊥AD，

∴∠AHN=∠AHE=90°，

∴∠AEN=∠ANE=54°，

即△ANE是等腰三角形；

②CD=BN+CE．

证明：由①知AN=AE，

又∵BA=BC，DB=AC，

∴BN=AB﹣AN=BC﹣AE，CE=AE﹣AC=AE﹣BD，

∴BN+CE=BC﹣BD=CD，

即CD=BN+CE．

15.【答案与解析】

(1)证明：∵AF平分∠BAC，
　　　　∴∠CAD＝∠DAB＝∠BAC．
　　　　∵D与A关于E对称，
　　　　∴E为AD中点．
　　　　∵BC⊥AD，
　　　　∴BC为AD的中垂线，
　　　　∴AC＝CD．
　　　　∵在Rt△ACE和Rt△ABE中
　　　　∠CAD+∠ACE＝∠DAB+∠ABE＝90°， ∠CAD＝∠DAB．
　　　　∴∠ACE＝∠ABE，
　　　　∴AC＝AB．
　　　　∴AB＝CD．
　　(2)∵∠BAC＝2∠MPC，
　　　 又∵∠BAC＝2∠CAD，
　　　 ∴∠MPC＝∠CAD．
　　　 ∵AC＝CD，
　　　 ∴∠CAD＝∠CDA，
　　　 ∴∠MPC＝∠CDA．
　　　 ∴∠MPF＝∠CDM．
　　　 ∵AC＝AB，AE⊥BC，
　　　 ∴CE＝BE．
　　　 ∴AM为BC的中垂线，
　　　 ∴CM＝BM．
　　　 ∵EM⊥BC，
　　　 ∴EM平分∠CMB，
　　　 ∴∠CME＝∠BME．
　　　 ∵∠BME＝∠PMF，
　　　 ∴∠PMF＝∠CME，
　　　 ∴∠MCD＝∠F(三角形内角和)．

16.【答案与解析】

(1)s=n2 

(2)19.  提示：延长FA、CB交于点P，延长AF、DE交于点Q，延长ED、BC交于点R，可证ΔPAB、ΔQEF、ΔRCD、ΔPQR为等边三角形 ．

∴DC=CR=DR=3，AB=BP=AP=2，即PR=3+2+5=10=QR=QP,∴EF=6，FA=2，

∴周长=1+3+5+2+2+6=19．

(3)能，s=102-22-32-62=51(个)．