高中数学高考58第九章 平面解析几何 9 5 椭圆 第1课时 椭圆及其性质课件PPT
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题型分类 深度剖析
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_____.这两个定点叫做椭圆的_____,两焦点间的距离叫做椭圆的_____.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若_____,则集合P为椭圆;(2)若_____,则集合P为线段;(3)若_____,则集合P为空集.
ZHISHISHULI
2.椭圆的标准方程和几何性质
1.在椭圆的定义中,若2a=|F1F2|或2a<|F1F2|,动点P的轨迹如何?
提示 当2a=|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的.
2.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系?
3.点和椭圆的位置关系有几种?如何判断.
提示 点P(x0,y0)和椭圆的位置关系有3种
4.直线与椭圆的位置关系有几种?如何判断?
提示 直线与椭圆的位置关系有三种:相离、相切、相交.判断方法为联立直线与椭圆方程,求联立后所得方程的判别式Δ.(1)直线与椭圆相离⇔Δ<0.(2)直线与椭圆相切⇔Δ=0.(3)直线与椭圆相交⇔Δ>0.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( )(2)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
2.[P49T4]椭圆 的焦距为4,则m等于A.4 B.8 C.4或8 D.12
解析 当焦点在x轴上时,10-m>m-2>0,10-m-(m-2)=4,∴m=4.当焦点在y轴上时,m-2>10-m>0,m-2-(10-m)=4,∴m=8.∴m=4或8.
解析 设P(x,y),由题意知c2=a2-b2=5-4=1,所以c=1,则F1(-1,0),F2(1,0).由题意可得点P到x轴的距离为1,所以y=±1,
5.若方程 表示椭圆,则m的取值范围是A.(-3,5) B.(-5,3) C.(-3,1)∪(1,5) D.(-5,1)∪(1,3)
解得-3
题型一 椭圆的定义及应用
1.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
解析 由条件知|PM|=|PF|,∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R>|OF|.∴P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.
2.已知△ABC的顶点B,C在椭圆 +y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是A. B.6 C. D.12
设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,
4.已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为______,最小值为______.
设F1是椭圆的右焦点,则F1(2,0),
又-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立),
椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
题型二 椭圆的标准方程
例1 (1)已知A(-1,0),B是圆F:x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为
(2)在△ABC中,A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长是18,则顶点C的轨迹方程是
解析 由|AC|+|BC|=18-8=10>8知,顶点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(A,B,C不共线).
由A,B,C不共线知y≠0.
解析 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n).
(2)一个椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,焦点F1,F2在x轴上,P(2, )是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为___________.
解析 ∵椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,
(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程,要注意条件2a>|F1F2|;利用待定系数法要先定形(焦点位置),再定量,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.
跟踪训练1 (1)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为 ,且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为
∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12,∴2a=12,∴a=6,
(2)设F1,F2分别是椭圆E:x2+ =1(0解析 设点B的坐标为(x0,y0).
∵AF2⊥x轴,设点A在x轴上方,
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 求离心率的值(或范围)
例3 (1)(2018·深圳模拟)设椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为
解析 方法一 如图,在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°,|F1F2|=2c,
∵|PF1|+|PF2|=2a,
方法二 (特殊值法):在Rt△PF2F1中,令|PF2|=1,
由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF1|2+2|PF1||PF2|+|PF2|2=4a2,又∵|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,∴|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2,则|PF1|2+|PF2|2+8c2=4a2,∴(x+c)2+y2+(x-c)2+y2+8c2=4a2,整理得x2+y2+5c2=2a2,
(3)已知椭圆 (a>b>c>0,a2=b2+c2)的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于 (a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是________.
而|PF2|的最小值为a-c,
所以(a-c)2≥4(b-c)2,所以a-c≥2(b-c),所以a+c≥2b,所以(a+c)2≥4(a2-c2),所以5c2+2ac-3a2≥0,所以5e2+2e-3≥0. ①又b>c,所以b2>c2,所以a2-c2>c2,所以2e2<1. ②
命题点2 求参数的值(或范围)
解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上,则0
故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).故选A.
求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),转化为e的关系式,常用方法如下:(1)直接求出a,c,利用离心率公式e= 求解.(2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式e= 求解.(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值,而是得出a与c的关系,从而求得e.
跟踪训练2 (1)已知椭圆 (0解析 由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的定义可知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,
即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=2a2,
∴离心率0
所以c1=c2,所以两个曲线的焦距相等.
解析 依题意可知,c=b,
3.(2018·重庆检测)椭圆 的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2的大小为A.60° B.120° C.150° D.30°
根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a=6,结合|PF1|=4,得|PF2|=6-|PF1|=2.在△F1PF2中,根据余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2,
结合三角形的内角,可得∠F1PF2=120°.故选B.
根据椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a=8,(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=64,所以34+2|PF1|·|PF2|=64,所以|PF1|·|PF2|=15.故选D.
6.(2018·昆明调研)2016年1月14日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过,正式开始实施.如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,给出下列式子:①a1+c1=a2+c2; ②a1-c1=a2-c2;
其中正确式子的序号是A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
解析 观察图形可知a1+c1>a2+c2,即①式不正确;a1-c1=a2-c2=|PF|,即②式正确;
即④式正确,③式不正确.故选D.
7.焦距是8,离心率等于0.8的椭圆的标准方程为____________________.
又b2=a2-c2,∴b2=9,
∴AB⊥x轴,∴A,B两点的横坐标为-c,代入椭圆方程,
又|F1F2|=2c,∠F1F2A=30°,
a2=b2+c2, ③
由①②③解得a2=9,b2=6,c2=3,
又由题意知a2=b2+2,将其代入(*)式整理得3b4-2b2-8=0,所以b2=2,则a2=4,
10.已知A,B,F分别是椭圆x2+ =1(00,则椭圆的离心率的取值范围为_______.
11.已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m分别与PF1,PF2交于M,N两点.求点M的轨迹C的方程.
解 由题意得F1(-1,0),F2(1,0),圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4>|F1F2|,所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
12.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e= ,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=2和2b=1,
13.已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F1的直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的离心率为
解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线,∴∠F1MF2=90°,|MF2|=c,∵|F1F2|=2c,
因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,
得3x2+12x+18-2b2=0,由Δ=122-4×3×(18-2b2)=0,解得b2=3,
又由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a,
因为PF2是△PF1F2的一边,
即c2+2ac-a2>0,所以e2+2e-1>0(0
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