高中数学高考63第十章 算法、统计与统计案例 10 4 变量的相关性、统计案例

这是一份高中数学高考63第十章 算法、统计与统计案例 10 4 变量的相关性、统计案例，共20页。试卷主要包含了变量间的相关关系，散点图，回归直线方程与回归分析，独立性检验等内容，欢迎下载使用。
§10.4　变量的相关性、统计案例
最新考纲
考情考向分析
1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.
2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用.
4.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用.
回归分析，独立性检验是全国卷高考重点考查的内容，必考一个解答题，选择、填空题中也会出现.主要考查回归方程，相关系数，利用回归方程进行预测，独立性检验的应用等.



1.变量间的相关关系

2.散点图
以一个变量的取值为横坐标，另一个变量的相应取值为纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图形叫做散点图.
3.回归直线方程与回归分析
(1)直线方程 ＝a＋bx，叫做Y对x的 ，b叫做 .要确定回归直线方程，只要确定a与回归系数b.
(2)用最小二乘法求回归直线方程中的a，b有下列公式
＝， ＝－ ，其中的 ， 表示是由观察值按最小二乘法求得的a，b的估计值.
(3)相关性检验
①计算相关系数r，r具有以下性质：|r| 1，并且|r|越接近1，线性相关程度 ；|r|越接近0，线性相关程度 ；
② ，表明有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系，回归直线方程有意义；否则寻找回归直线方程毫无意义.
4.独立性检验
(1)2×2列联表：

B

合计
A
n11
n12
n1＋

n21
n22
n2＋
合计
n＋1
n＋2
n

其中n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＋1＝ ，n＋2＝ ，n＝ .
(2)χ2统计量：
χ2＝.
(3)两个临界值：3.841与6.635
当 时，有95%的把握说事件A与B有关；
当 时，有99%的把握说事件A与B有关；
当 时，认为事件A与B是无关的.
概念方法微思考
1.变量的相关关系与变量的函数关系有什么区别？


2.如何判断两个变量间的线性相关关系？


3.独立性检验的基本步骤是什么？


4.回归直线方程是否都有实际意义？根据回归直线方程进行预报是否一定准确？






题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系.(　 　)
(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.(　 　)
(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.(　 　)
(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得回归直线方程＝－2.352x＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮.(　 　)
(5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的值越大．(　 　)
题组二　教材改编
2.为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力(　　)
A.回归分析 B.期望与方差
C.独立性检验 D.概率
3.下面是2×2列联表：

y1
y2
合计
x1
a
21
73
x2
22
25
47
合计
b
46
120

则表中a，b的值分别为(　　)
A.94,72 B.52,50
C.52,74 D.74,52
4.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋54.9.
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62

75
81
89

现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________.
题组三　易错自纠
5.某医疗机构通过抽样调查(样本容量n＝1 000)，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关.计算得χ2＝4.453，经查阅临界值表知P(χ2>3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是(　　)
A.在100个吸烟的人中约有95个人患肺病
B.若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病
C.有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
D.只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
6.在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)
学生的编号i
1
2
3
4
5
数学成绩x
80
75
70
65
60
物理成绩y
70
66
68
64
62

现已知其回归直线方程为＝0.36x＋，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为______.(四舍五入到整数)

题型一　相关关系的判断
例1 (1)观察下列各图形，

其中两个变量x，y具有相关关系的图是(　　)
A.①② B.①④ C.③④ D.②③
(2)(2018·沈阳质检)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)的柱形图.以下结论不正确的是(　　)

A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
跟踪训练1在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A.－1 B.0
C.－ D.1

题型二　回归分析

命题点1　线性回归分析
例2 下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.

注：年份代码1～7分别对应年份2011～2017.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：i＝9.32，iyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－ .











命题点2　非线性回归
例3 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.




(xi－)2
(wi－)2
(xi－)·
(yi－)
(wi－)·
(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8

表中wi＝，＝i.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋ u的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝，＝－ .








跟踪训练2 (2018·全国Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①： ＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②： ＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预报值；
(2)你认为用哪个模型得到的预报值更可靠？并说明理由.









题型三　独立性检验
例4 (2017·全国Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：


(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量0， >0 B.>0，