安徽省阜阳市第一中学2022-2023学年高二数学下学期第一次月考试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省阜阳市第一中学2022-2023学年高二数学下学期第一次月考试卷（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了 求值等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则等于( )
A. 11B. 5C. -8D. -11
【答案】D
【解析】由8a2+a5=0,得=q3=-8,q=-2,
故=-11.
2. 记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S8＝9，则S12等于( )
A. 12B. 18C. 21D. 27
【答案】C
【解析】方法一 因为Sn为等比数列{an}的前n项和，且S4＝3，S8＝9，易知等比数列{an}的公比q≠－1，所以S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，所以(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，所以62＝3(S12－9)，解得S12＝21.
方法二 由方法一知，S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即3,6,12成等比数列，所以S12＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＝3＋6＋12＝21.
3. 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋n，前n项和为Sn，则S6等于( )
A. 282B. 70C. 45D. 147
【答案】D
【解析】因为an＝2n＋n，
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(21＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)
＝＋
＝2n＋1－2＋，
所以S6＝27－2＋＝147.
4. 求值：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2021－2023等于( )
A. －2024B. －1012C. －506D. 1012
【答案】B
【解析】1－3＋5－7＋9－11＋…＋2021－2023＝(1－3)＋(5－7)＋(9－11)＋…＋(2021－2023)＝－2×506＝－1012.
5. 在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2011＝S2018，Sk＝S2006，则正整数k为( )
A. 2020B. 2021C. 2022D. 2023
【答案】D
【解析】因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，
所以由二次函数的对称性及S2011＝S2018，Sk＝S2006，
可得＝，解得k＝2023.
6. 在等比数列中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝，a3a4＝－，则＋＋＋＋＋＝( )
A. B. －C. D. －
【答案】D
【解析】＋＋＋＋＋＝＋＋，
因为等比数列中a3a4＝－，而a1a6＝a2a5＝a3a4，
所以＋＋＋＋＋＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＝－.
7. 已知数列{an}满足an＝n2＋λn(n∈N*)，且对任意n∈N*，anA. (0，+∞)B. (－∞,0)C. D. (－3,+∞)
【答案】D
【解析】方法一 (通解通法)：因为对任意n∈N*, an所以数列{an}是递增数列．
由an＝n2＋λn知点(n，)(n∈N*)是函数f(x)＝x2＋λx图象上的点，
且函数f(x)图象的对称轴为x＝－，
事实上，数列{an}是递增数列，只需满足a1欲满足上述不等关系，需－<，
解得λ>－3.
方法二 (优解)：
由题意得an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)＝2n＋1＋λ> 0恒成立，即λ>－(2n＋1)恒成立．而n∈N*，所以λ>－3.
8. 在等差数列{an}中，7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则使数列的前n项和Sn取得最小值的n 等于( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】∵a9＞a5，
∴公差d＞0.
由7a5＋5a9＝0，
得7(a1＋4d)＋5(a1＋8d)＝0，
∴d＝－a1.
由an＝a1＋(n－1)d＝≤0，且＜0,
解得n≤，
又∵n∈N*，
∴所以使数列的前n项和最小的n为6.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S5＝35，a4＝11，则( )
A. an＝4n－5B. an＝2n＋3C. Sn＝2n2－3nD. Sn＝n2＋4n
【答案】AC
【解析】设等差数列的公差为d，则由S5＝35，a4＝11，可得解得a1＝－1，d＝4，则an＝－1＋4(n－1)＝4n－5，Sn＝＝2n2－3n，故选AC.
10. 已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且满足a1＋5a3＝S8，下列选择正确的是( )
A. a10＝0B. S7＝S12C. S10最小D. S20＝0
【答案】AB
【解析】因为{an}是等差数列，设其公差为d，由a1＋5a3＝S8，可得a1＋9d＝0，即a10＝0，选项A正确；
又S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，选项B正确；
当d>0时，S9或S10最小，当d<0时，S9或S10最大，选项C错误；
又S19＝19a10＝0，a20≠0，所以S20≠0，选项D错误．
11. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 14
【答案】ACD
【解析】由题意可得＝＝＝，则＝＝＝＝3＋，
由于为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3,5,15，
因此，正整数n的可能取值有2,4,14.
12. 已知数列{an}，{bn}均为递增数列，{an}的前n项和为Sn，{bn}的前n项和为Tn，且满足an＋an＋1＝2n，bnbn＋1＝2n(n∈N*)，则下列说法正确的有( )
A. 0【答案】ABC
【解析】数列{an}中an＋an＋1＝2n，an＋1＋an＋2＝2(n＋1)＝2n＋2，
两式相减得an＋2－an＝2，
所以数列{an}为隔项以2为公差的等差数列，
数列{bn}中bnbn＋1＝2n，bn＋1bn＋2＝2n＋1，
两式相除得＝2，
所以数列{bn}为隔项以2为公比的等比数列，
因为an＋an＋1＝2n，
所以即
又因为数列{an}为递增数列，
所以
即
所以0因为bnbn＋1＝2n，
所以即
又因为数列{bn}为递增数列，
所以
所以2b1>，
所以
所以1因为S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n
＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝＋
＝n(a1＋a2)＋2n2－2n＝2n2.
T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n
＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)
＝＋
＝(2n－1)(b1＋b2)．
因为CD选项中只有一个正确，取特值，当n＝6时，
S2n＝S12＝2×62＝72，
T2n＝T12＝(26－1)(b1＋b2)＝63(b1＋b2)≥63×2＝126>72＝S12.
所以C选项正确，D选项错误．
故选ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
13. 若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an= .
【答案】(-2)n-1
【解析】当n=1时,S1=a1+,解得a1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an+-=(an-an-1),∴an=-2an-1,即=-2,
∴{an}是以1为首项的等比数列,其公比为-2,
∴an=1×(-2)n-1,即an=(-2)n-1.
14. 在等比数列{an}中，已知a3＝2，a15＝8，则a9等于________．
【答案】4
【解析】因为a9是a3和a15的等比中项，所以a9＝±＝±4，注意到在等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号也相同，所以a9＝＝4.
15. 已知函数f(x)＝，数列{an}满足an＝f，则数列{an}的前2022项和为________．
【答案】1011
【解析】依题意，函数f(x)＝，f(1－x)＝＝，所以f(x)＋f(1－x)＝1，
因为数列{an}满足an＝f，所以a1＋a2022＝a2＋a2021＝a3＋a2020＝…＝1.
设此数列前2022项的和为S2022，
则有S2022＝a1＋a2＋a3＋…＋a2022，S2022＝a2022＋a2021＋a2020＋…＋a1，
所以2S2022＝1×2022，即S2022＝1011.
16. 已知数列{an}满足an＝n∈N*，若对于任意n∈N*都有an>an＋1，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】∵对于任意的n∈N*都有an>an＋1，
∴数列{an}单调递减，
依题意得
解得因此，实数a的取值范围是.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （10分）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋2anan＋1－an＝0.
(1)写出数列的前5项；
(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式；
(3)实数是否为这个数列中的项？若是，应为第几项？
【答案】解 (1)由已知可得a1＝1,a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.
(2)由(1)可得数列{an}的每一项的分子均为1，分母依次为1,3,5,7,9，…，
所以它的一个通项公式为an＝.
(3)令＝，
解得n＝50，
故是这个数列中的第50项．
18. （12分）如图，将数列{2n}(n∈N*)依次从左到右，从上到下排成三角形数阵，其中第n行有n个数．
(1)求第5行的第2个数；
(2)问数32在第几行第几个；
(3)记第i行的第j个数为ai，j(如a3,2表示第3行第2个数，即a3,2＝10)，求＋＋＋＋＋的值．
【答案】解 (1)记an＝2n，由数阵可知，
第5行的第2个数为a12.
因为an＝2n，所以第5行的第2个数为24.
(2)因为an＝32，所以n＝16.
由数阵可知，32在第6行第1个数．
(3)由数阵可知a1,1＝2，a2,2＝6，a3,3＝12，a4,4＝20，a5,5＝30，a6,6＝42.所以＋＋＋＋＋＝＋＋＋…＋＝1－＋－＋－…－＝.
19. （12分）已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.
(1)30是不是数列{an}中的项?70呢?
(2)数列中有多少项是负数?
(3)当n为何值时,an有最小值?并求出这个最小值.
【答案】解 (1)由n2-5n+4=30,得n2-5n-26=0,
解得n=.
因为n∈N*,所以30不是数列{an}中的项.
由n2-5n+4=70,得n2-5n-66=0,
解得n=11或n=-6(舍),
故70是数列{an}中的第11项,即a11=70.
(2)由n2-5n+4<0,解得1因为n∈N*,所以n=2或3.
所以数列{an}中有两项是负数.
(3)因为an=,又n∈N*,所以当n=2或n=3时,an有最小值,最小值为a2=a3=-2.
20.（12分）设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＋a5＝1，S15＝75，Tn为数列的前n项和.
(1)求Sn；
(2)求Tn的最小值.
【答案】解 (1)设数列{an}的公差为d.
依题意有解得
∴Sn＝na1＋d＝－2n＋＝.
(2)法一 由(1)知Sn＝，∴＝.
设bn＝＝，则bn＋1－bn＝－＝，
∴数列{bn}是公差为的等差数列，
首项b1＝＝a1＝－2.
又Tn为数列的前n项和，
∴Tn＝－2n＋×＝＝－.
∴当n＝4或n＝5时，(Tn)min＝－5.
法二 易知bn＝，由解得4≤n≤5.
故Tn的最小值为T4＝T5＝－5.
21. （12分）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第1年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r(r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1＋r)n－2，……，用Tn表示到第n年末所累计的储备金总额．
(1)写出Tn与Tn－1(n≥2)的递推关系式；
(2)求证：Tn＝An＋Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列．
【答案】(1)解 Tn＝Tn－1(1＋r)＋an(n≥2)．
(2)证明 T1＝a1，对n≥2反复使用上述关系式，
得Tn＝Tn－1(1＋r)＋an＝Tn－2(1＋r)2＋an－1(1＋r)＋an＝…
＝a1(1＋r)n－1＋a2(1＋r)n－2＋…＋an－1(1＋r)＋an.①
在①式两端同乘(1＋r)，得
(1＋r)Tn＝a1(1＋r)n＋a2(1＋r)n－1＋…＋an－1(1＋r)2＋an(1＋r)．②
②－①，得r Tn＝a1(1＋r)n＋d[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)]－an＝[(1＋r)n－1－r]＋a1(1＋r)n－an.
即Tn＝(1＋r)n－n－.s
如果记An＝(1＋r)n，Bn＝－－n，
则Tn＝An＋Bn.
其中{An}是以(1＋r)为首项，以(1＋r)(r＞0)为公比的等比数列；{Bn}是以(－－)为首项，－为公差的等差数列．
22. （12分）在各项均为正数的数列{an}中，a1＝a且an＋1＝＋.
(1)当a3＝2时，求a1与a4的值；
(2)求证：当n≥2时，an＋1≤an.
【答案】(1)解 ∵a3＝2，∴a3＝＋＝2，
∴a＋4＝4a2，解得a2＝2.
又a2＝＋，∴＋＝2，
∴a＋4＝4a1，解得a1＝2.
∵a4＝＋，a3＝2，∴a4＝2.
(2)证明 要证n≥2时，an＋1≤an，只需证≤1，
即证＋≤1，即证＋≤1，
即证a≥4，即an≥2.
∵an>0，
∴an＝＋≥2＝2(当且仅当an－1＝2时，等号成立)，
∴当n≥2时，an＋1≤an.