高中数学高考1 第1讲　坐标系 新题培优练

[基础题组练]

1．将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.

(1)求曲线C的标准方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．

解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得

由x＋y＝1，得x2＋＝1，

即曲线C的标准方程为x2＋＝1.

(2)由解得或

不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率为k＝，

于是所求直线方程为y－1＝，

化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，

故所求直线的极坐标方程为ρ＝.

2．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程；

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得

ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.

故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.

由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.

3．(2019·湖南湘东五校联考)平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cos θ.

(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．

解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，

ρsin2θ＝2cos θ，即ρ2sin2θ＝2ρcos θ，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入曲线C的直角坐标方程得y2＝2x.

(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，得

t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0，

设A，B对应的参数分别为t1，t2，

由一元二次方程根与系数的关系得，t1t2＝，

根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝＝40，得α＝或α＝.

又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2α>0，所以α＝.

4．(2019·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)．

(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；

(2)当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．

解：(1)因为(φ为参数)，所以曲线C1的普通方程为＋y2＝1.

由得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝.

因为x2＋y2－2y＝0，

所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(2)由(1)得|OA|2＝ρ2＝，|OB|2＝ρ2＝4sin2α，

所以|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α＝＋4(1＋sin2α)－4，

因为0<α<，所以1<1＋sin2α<2，

所以6<＋4(1＋sin2α)<9，

所以|OA|2＋|OB|2的取值范围为(2，5)．

[综合题组练]

1．(应用型)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.

解：(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，

则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，

由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)(tan θ＝)．

(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，

所以＋＝＝＝.

2．在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为(β为参数)，在极坐标系中，直线l1的方程为α1＝θ，直线l2的方程为α2＝θ＋.

(1)写出曲线M的普通方程，并指出它是什么曲线；

(2)设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．

解：(1)由(β为参数)，消去参数β，得曲线M的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8，

所以曲线M是以(1，1)为圆心，2为半径的圆．

(2)设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，

因为O，A，C三点共线，则|AC|＝|ρ1－ρ2|＝　(*)，

将曲线M的方程化成极坐标方程，得ρ2－2ρ(sin θ＋cosθ)－6＝0，

所以代入(*)式得|AC|＝.

用θ＋代替θ，得|BD|＝，

又l1⊥l2，所以S四边形ABCD＝|AC|·|BD|，

所以S四边形ABCD＝＝2，

因为sin22θ∈[0，1]，所以S四边形ABCD∈[8，14]．

3．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈(，π)．

(1)求θ的值；

(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．

解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，

因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以曲线C的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ.

由ρ＝2，得sin θ＝，

因为θ∈(，π)，所以θ＝.

(2)由题，易知直线l的普通方程为x＋y－4＝0，所以直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0.

又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，

联立，得，解得ρ＝4.

所以点B的极坐标为，

所以|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.

4．(综合型)(2019·长沙模拟)在极坐标系中，已知曲线C1：ρcos＝，C2：ρ＝1(0≤θ≤π)，C3：＝＋sin2θ.设C1与C2交于点M.

(1)求点M的极坐标；

(2)若直线l过点M，且与曲线C3交于不同的两点A，B，求的最小值．

解：(1)曲线C1：ρcos＝，可得x－y＝1，C2：ρ＝1(0≤θ≤π)，可得x2＋y2＝1(y≥0)，由可得点M的直角坐标为(1，0)，因此点M的极坐标为(1，0)．

(2)由题意得，曲线C3的直角坐标方程为＋y2＝1.设直线l的参数方程为(t为参数)，代入曲线C3的直角坐标方程并整理得(3sin2α＋cos2α)t2＋(2cos α)t－2＝0.设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则

t1＋t2＝－，t1t2＝－，

所以|MA|·|MB|＝|t1t2|＝，

|AB|＝|t1－t2|＝

＝

＝.

所以＝.

因为0≤α<π，所以0≤sin2α≤1.

所以当α＝时，sin α＝1，此时有最小值，最小值为.