高中数学高考 2021届小题必练8 圆锥曲线-学生版

这是一份高中数学高考 2021届小题必练8 圆锥曲线-学生版，共16页。试卷主要包含了已知曲线，当时，方程表示的轨迹可以是等内容，欢迎下载使用。

1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
3．了解圆锥曲线的简单应用；理解数形结合的思想．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
1．【2020全国Ⅰ卷理科】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴，若的斜率为，则的离心率为 ．
2．【2019全国Ⅰ卷理科】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．
若，，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
一、单选题．
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与轴交于点，的内切圆与边切于点，若，则的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
2．过双曲线的右焦点的直线交的右支于，两点，直线（是
坐标原点）交的左支于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线的左、右顶点分别为，，是上一点，且为
等腰三角形，其外接圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．过抛物线的焦点作直线与该抛物线交于，两点，若，为坐标原点，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，分别是双曲线的上、下焦点，是其一条渐近线上的一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点相同，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，，交抛物线的准线于点，
若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题．
9．已知曲线．（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，，则是两条直线
10．当时，方程表示的轨迹可以是（ ）
A．两条直线B．圆C．椭圆D．双曲线
11．已知，分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为B．以为直径的圆的方程为
C．到双曲线的一条渐近线的距离为D．的面积为
12．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，，分别为，在上的射影，且，为中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为等腰直角三角形
C．直线的斜率为D．线段的长为
三、填空题．
13．过抛物线焦点的直线与该抛物线相交于，两点，点是的中点，则的值为_______．
14．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______．
15．已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆上关于轴对称的两点，的中点恰好落在轴上，若，则椭圆的离心率的值为______．
16．能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组，的值是______．
答案与解析
1．【答案】2
【解析】由题可知点的坐标为，所以，且，
代入并化简可得解得或（舍弃）．
【点睛】主要考查双曲线的几何性质、直线的斜率等知识点．
2．【答案】B
【解析】由椭圆的焦点为，，可知，
又，，可设，则，，
根据椭圆的定义可知，得，
所以，，可知，
根据相似可得代入椭圆的标准方程，
得，，
椭圆的方程为．
【点睛】利用椭圆的定义及标准方程运算求解．
一、单选题．
1．【答案】A
【解析】设三角形的内切圆的圆心为，在第一象限，如图所示．
作交于，交于，连接，
则，，．
根据双曲线的定义可知，
而
，
所以，，，即，，
结合，得，
所以双曲线的渐近线方程为，故选A．
2．【答案】C
【解析】设左焦点为．
因为直线交的左支于点，所以，两点关于原点对称，
连接，，，
因为，且，，
所以四边形为矩形．
因为，所以令，
则，，，，
在中，，即，解得，
在中，，即，解得，故选C．
3．【答案】C
【解析】解法一：
不妨设在第一象限，，
因为是等腰三角形，所以结合图形可知，只能．
令，则，，，
由正弦定理可得，所以，
则，，
则，，即．
又点在双曲线上，所以，解得，
则，则，故选C．
解法二：
不妨设在第一象限，因为是等腰三角形，所以结合图形可知，只能．
令，则，，，
由正弦定理可得，所以，
则，，即，，
则，，即，
根据，得，则，故选C．
4．【答案】A
【解析】解法一：
由题意，知，准线，
作于点，与点，过点作于点，交轴于点，
设，则．
由抛物线的定义，知，，，
，．
由，得，即，解得，
所以，故选A．
解法二：
由题意，知，准线，如图，作于点，
设直线的方程为，，，
将代入抛物线方程，得，所以①．
由，得，即，所以②．
联立①②解得，代入抛物线方程，解得．
由抛物线的定义，知，所以，故选A．
5．【答案】C
【解析】设，不妨设点在双曲线的过一、三象限的渐近线上，
因此可得．，，所以，
以为直径的圆的方程为，
又以为直径的圆经过点，所以．
由，得，于是，故选C．
6．【答案】C
【解析】由双曲线方程知其右焦点坐标为，所以，即，
所以抛物线的方程为．
由题意可设直线的方程为，直线的方程为，
则，
于是由，消去，得，
所以，同理可得．
因为为抛物线的焦点，
所以由抛物线的定义可得
，
当且仅当时，取得最小值，故选C．
7．【答案】C
【解析】解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于，抛物线的焦点．
设直线的方程为，代入抛物线的方程，得．
设，，则，．
抛物线的准线方程为，则．
由，得，所以，
即，代入，得，
则，
又，所以，整理得，
解得或（舍去），
所以，所以直线的斜率为．
解法二：如图，设点在第一象限，分别过，作抛物线准线的垂线，垂足为，．
由，得为的中点．
设，则，
根据抛物线的定义得，所以，
在中，，所以，即直线的斜率为，
当点在第一象限时可得直线的斜率为．
综上，直线的斜率为．
8．【答案】B
【解析】由题意设椭圆的方程为，连接，
令，则，．
由椭圆的定义知，，得，故，则点为椭圆的上顶点或下顶点．
令（为坐标原点），则．
在等腰三角形中，，所以，得．
又，所以，
题意的方程为，故选B．
二、多选题．
9．【答案】ACD
【解析】对于选项A，∵，∴，方程可变形为，
∴该方程表示焦点在轴上的椭圆，正确；
对于选项B，∵，∴方程可变形为，该方程表示半径为的圆，错误；
对于选项C，∵，∴该方程表示双曲线，令，正确；
对于选项D，∵，，∴方程变形为，该方程表示两条直线，
正确，
综上选ACD．
10．【答案】ACD
【解析】将分为，，三种情况进行分类讨论，由此确定正确选项．
当时，，，，．
方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆；
当时，，，方程化为，，表示两条直线；
当时，，，，．
方程可化为，表示焦点在轴上的双曲线，所以曲线不可能表示圆，
故选ACD．
11．【答案】ACD
【解析】A．代入双曲线渐近线方程得，正确；
B．由题意得，，则以为直径的圆的方程，不是，错误；
C．，渐近线方程为，距离为，正确；
D．由题意得，，
设，根据，解得，，
则的面积为，正确，
故选ACD．
12．【答案】ACD
【解析】由题意由抛物线的对称性，焦点，准线方程为，
由题意可得直线的斜率不为，由题意设直线的方程为，
设，，由题意可知，，将直线与抛物线联立整理得，，．
A中，因为，所以，即，所以A正确；
B中，由A正确，不可能，更不会或为直角，所以B不正确；
C中，因为，所以，即，，，
所以，解得，，
所以直线的斜率为，所以C正确；
D中，由题意可得弦长，
所以D正确，
故选ACD．
三、填空题．
13．【答案】
【解析】由抛物线方程知，．设，，则，
所以由抛物线的定义知．
14．【答案】
【解析】因为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为．
15．【答案】
【解析】设，因为的中点在轴上，所以，解得，
所以点，，三点共线．
因为，所以，所以垂直平分，所以．
又由椭圆的对称性，知，所以为等边三角形．
因为，所以由，得，
所以．
由椭圆的定义，知，即，所以．
16．【答案】(答案不唯一，满足要求即可)
【解析】当且，时，方程表示的曲线为圆，
取，则(答案不唯一，满足要求即可)．