高中数学高考 2021届高考考前冲刺卷 数学（四） 教师版

这是一份高中数学高考 2021届高考考前冲刺卷 数学（四） 教师版，共9页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，若函数，满足，则的值等于，函数的部分图象大致为，《高中数学课程标准》等内容，欢迎下载使用。
（新高考）2021届高考考前冲刺卷数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设，，，若，则（    ）A． B． C．2 D．0【答案】D【解析】由，知，即，得，∴，故选D．2．“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（    ）A． B．C．  D．【答案】A【解析】由方程表示双曲线，知，∴，故它的一个必要不充分条件为，故选A．3．已知复数（为虚数单位），，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，则，则，故选C．4．在中，已知，的面积为2，则边的长有（    ）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【解析】设，，，因为，所以，因为的面积为2，所以，即，所以，得，且，，因为，解得，，所以，所以由余弦定理得，所以，因为，当且仅当时，取等号，所以，所以的最小值为2，无最大值，即的最小值为2，无最大值，故选D．5．若函数，满足，则的值等于（    ）A．2 B．0 C． D．【答案】A【解析】由题意易知，分别在，上单调，若，则不在同一单调区间，又，一定有，，∴，即，∴，∴，故选A．6．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（    ）A． B．5 C． D．10【答案】B【解析】由直线始终平分圆的周长，则直线必过圆的圆心，由圆的方程可得圆的圆心坐标，代入直线的方程可得，又由表示点到直线的距离的平方，由点到直线的距离公式得，所以的最小值为，故选B．7．函数的部分图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，又由，所以函数为偶函数，排除B、D项；当时，可得，排除C项，所以只有A选项适合，故选A．8．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为平面，所以，，所以，在中，，所以，如图所示：三棱锥的外接球即为长方体的外接球，设球的半径为，则，解得，所以球的表面积为，故选D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．《高中数学课程标准》（2017版）给出了数学学科的六大核心素养，为了比较甲乙两名高中同学的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图，图中每项指标值满分为5分，分值高者为优，则下列说法正确的是（    ）A．甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养B．甲的逻辑推理素养优于乙的逻辑推理素养C．甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高D．乙的六个核心素养中只有数据分析水平最高【答案】AC【解析】对于A，由图可知数学运算，甲得5分，乙得4分，所以甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养，所以A正确；对于B，由图可知逻辑推理素养，甲得4分，乙得5分，所以甲的逻辑推理素养低于乙的逻辑推理素养，所以B错误；对于C，由图可知甲只有数学运算素养得5分，所以甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高，所以C正确；对于D，由图可知乙的逻辑推理、数据分析和直观想象都是5分，所以D错误，故选AC．10．函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论正确的是（    ）A．  B．函数的最小正周期为C．函数在区间上单调递增 D．函数关于点中心对称【答案】BC【解析】由图可知，所以，所以，又因为，，所以或，又因为，所以，又因为，所以，所以，当时，，解得，这与矛盾，不符合；当时，，解得，满足条件，所以，所以，A．由上可知A错误；B．因为，所以的最小正周期为，故B正确；C．令，所以，令，此时单调递增区间为，且，故C正确；D．因为，所以不是对称中心，故D错误，故选BC．11．在数列中，若，则称为“和等比数列”．设为数列的前项和，且，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（    ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】因为，所以，两式相减得，所以，故A正确，B错误；，故C正确，D错误，故选AC．12．已知函数对于任意，均满足．当时，若函数，下列结论正确的为（    ）A．若，则恰有两个零点 B．若，则有三个零点C．若，则恰有四个零点 D．不存在使得恰有四个零点【答案】ABC【解析】由可知函数的图象关于直线对称．令，即，作出函数的图象如下图所示：令，则函数的零点个数为函数、的图象的交点个数，的定义域为，且，则函数为偶函数，且函数的图象恒过定点，当函数的图象过点时，有，解得．过点作函数的图象的切线，设切点为，对函数求导得，所以，函数的图象在点处的切线方程为，切线过点，所以，，解得，则切线斜率为，即当时，函数的图象与函数的图象相切．若函数恰有两个零点，由图可得或，A选项正确；若函数恰有三个零点，由图可得，B选项正确；若函数恰有四个零点，由图可得，C选项正确，D选项错误，故选ABC． 第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是______．【答案】1215【解析】∵二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，∴令，得，．的展开式的通项公式为，令，可得，的展开式的常数项为，故答案为1215．14．某医院传染病科室有5名医生，4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生，2名护士，则不同的选取方法有______种．【答案】【解析】符合题意的情况有两种：名医生、名护士和名医生、名护士．选取名医生、名护士的方法有：种；选取名医生、名护士的方法有：种，综上所述：满足题意的选取方法共有种，故答案为．15．已知x，y满足，且的最大值是最小值的2倍，则满足条件的可行域的面积是_________．【答案】【解析】先画出x，y满足的可行域如图所示，由，得；由，得，平移直线，当直线过点时，目标函数有最小值，且；当直线过点时，目标函数有最大值，且，依题意，得，则，得，所以可行域的面积为，故答案为．16．过点的直线与直线垂直，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则双曲线的渐近线方程为_______，离心率为_______．【答案】，【解析】过点的直线与直线垂直，直线的方程为，双曲线的两条渐近线方程为，将两个方程联立，可得，，的中点坐标为，点满足，点在线段的中垂线上，即，，，则，，渐近线方程为，离心率为．故答案为，． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）若函数，的角，，的对边分别为，，，且．（1）当取最大值时，判断的形状；（2）在中，为边的中点，且，，求的长．【答案】（1）是等边三角形；（2）．【解析】因为，所以由，得，因为，所以，所以，．（1），因为，所以，所以当时，取最大值，此时，所以，所以是等边三角形．（2）解：取边的中点，连接，则，且，，在中，由余弦定理得，解得，所以，在中由余弦定理得．18．（12分）设数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知，，所以，，，，，各项累加可得，又，所以，所以．（2）由（1）可得，所以①②①－②，得，所以，整理得．19．（12分）如图，在四棱锥中，，且．（1）证明：；（2）已知，，．在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．【解析】（1）证明：由已知，得，，由，故，又因为，所平面，又平面，所以．（2）假设在棱上存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，由已知和（1），易得，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，令，则，，，，，，取平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，，解得或（舍去），所以．20．（12分）从年月日开始，支付宝用户可以通过“扫福字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福，敬业福），除夕夜，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包．某高校一个社团在年后开学后随机调查了位该校在读大学生，就除夕夜之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福），得到具体数据如下表：是否集齐五福性别是否合计男女合计（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？（2）计算这位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校名在读大学生中集齐五福的人数；（3）以（2）中的频率作为概率，从该校的名在读大学生中随机选取名，记这名大学生集齐五福的人数为，求的数学期望及方差．参考公式：．附表：【答案】（1）不能，详见解析；（2）；（3），．【解析】（1）根据列联表中的数据，得到的观测值为，故不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为“集齐五福与性别有关”．（2）这80位大学生集齐五福的频率为，据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数为．（3）从该校的名在读大学生中随机选取名，每个学生集齐五福的概率为，随机变量，∴，，综上所述，，．21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，实轴长为4．（1）求椭圆的方程；（2）设过点不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个点，使得直线，的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，详见解析．【解析】（1）因为焦距为2，长轴长为4，即，，解得，，所以，所以椭圆的方程为．（2）由（1）知，设点，，，因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，联立，得，所以，所以，，又，，直线，的斜率分别为，，所以，要使得直线，的斜率之积恒为定值，直线，解得．当时，存在点，使得；当时，存在点，使得，综上，在轴上存在点，使得，的斜率之积恒为定值，当点的坐标为时，直线，的斜率之积为定值；当点的坐标为时，直线，的斜率之积为定值．22．（12分）已知函数（）．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，（），，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，则，则．又，∴曲线在处的切线方程为，即．（2）（），．依题意知，是方程的两个不相等的正实根，即，是方程的两个不相等的正实根，，解之得．，令（），则，在上单调递增，∴，∴，∴．