北师版高中数学必修第一册第8章§1 走近数学建模学案

§1　走近数学建模

一、实际问题

1．观察实际情景，发现和提出问题

中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．那么在25 ℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？

显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题．为此，需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型．

2．收集数据

我们可以利用秒表、温度计等工具(若用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术更好)，收集茶水温度随时间变化的数据．

例如，某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度，得到表1的一组数据．

表(1)

3．分析数据

茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型．为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型．

设茶水温度从85 ℃开始，经过x min后的温度为y  ℃.根据表(1)，画散点图(图(1))．

图(1)

观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数y＝kax＋25(k∈R,0<a<1，x≥0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律．

4．建立模型

根据实际情况可知，当x＝0时，y＝85，可得k＝60.

为了求出温度的衰减比例a，可从第2 min的温度数据开始，计算每分(y－25)的值与上一分(y－25)值的比值，列出表(2)．

表(2)

计算各比值的平均值，得

a＝(0.903 2＋0.918 1＋0.928 4＋0.935 1＋0.928 5)＝0.922 7.

我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型y＝60×0.922 7x＋25(x≥0)．①

5．检验模型

将已知数据代入①式，或画出函数①的图象(图(2))，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律．

图(2)

6．求解问题

将y＝60代入y＝60×0.922 7x＋25，得

60×0.922 7x＋25＝60.

解得x＝log0.922 7.

由信息技术得x≈6.699 7.

所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7 min.

上述过程可以概括为：

二、数学建模活动的选题

请同学们仿照上述过程开展一次建立函数模型解决实际问题的活动．可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中选择一个：

1．应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？

2．根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重．

3．用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法．

4．估计阅读一本书所需要的时间．

也可以根据自己的兴趣，与老师协商后确定一个课题进行研究．

三、数学建模活动的要求

1．组建合作团队

数学建模活动需要团队协作．首先，在班级中组成3～5人的研究小组，每位同学参加其中一个小组．在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工．拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告．

2．开展研究活动

根据开题报告所规划的研究步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等过程，完成课题研究．在研究过程中，可以借助信息技术解决问题．

3．撰写研究报告

以小组为单位，撰写一份研究报告．

4．交流展示

(1)对同一个课题，先由3～4个小组进行小组交流，每个小组都展示自己的研究成果，相互借鉴、取长补短．在小组研究报告的基础上形成大组的研究报告．选定代表，制作向全班汇报的演示文稿．

(2)与老师一起进行全班研究成果展示与交流，在各组代表作研究报告的基础上，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足．开展自我评价、同学评价和老师评价，完成本次数学建模活动．

四、数学建模活动研究报告的参考形式

建立函数模型解决实际问题

________年________班　　　　完成时间：