湖南省长郡中学2023届高三下学期月考(七)数学试题

这是一份湖南省长郡中学2023届高三下学期月考(七)数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
长郡中学2023届高三月考试卷（七）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（    ）A. B. C. D.2.设b，，若（i为虚数单位）是一元二次方程的一个虚根，则（    ）A.，  B.，C.，  D.，3.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上.其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（    ）A. B. C. D.4.如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ）A.72 B.56 C.48 D.365.已知数列满足：.则的前60项的和为（    ）A.1240 B.1830 C.2520 D.27606.已知，函数，存住常数，使得为偶函数，则的值可能为（    ）A. B. C. D.7.已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（    ）A.3 B. C.2 D.8.若，，，，则a，b，c，d中最大的是（    ）A.a B.b C.c D.d二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中，真命题有（    ）A.数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5B.若随机变量，则C.若事件A，B满足，且，则与独立D.若随机变量，.则10.已知是函数的一个零点，则（    ）A.在区间单调递减B.在区间只有一个极值点C.直线是曲线的对称轴D.直线是曲线的切线11.已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ）A.直线的斜率为 B.C.  D.12.如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ）A.若平面，则动点的轨迹是一条线段B.存在点，使得平面C.当且仅当点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大D.若，那么点的轨迹长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则展开式中当的一次项的系数为______.14.若，，则______，______.15.已知，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则______.16.在数列中给定，且函数的导函数有唯一的零点，函数且.则______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）证明：；（2）若，，求的周长.18.（本小题满分12分）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项.（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和.19.（本小题满分12分）如图，四面体中，，，，E为AC的中点.（1）证明：平面平面；（2）设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）浙江省东魁杨梅是现在世世界上最大果形的杨梅，有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉，东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东香村一棵树龄约120多年的野杨梅树，经过东岙村和白龙岙村村民不断改良，形成了今天东魁杨梅的品种，栽培东魁杨梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水土，增加山区经济收入具有积极意义.根据多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径（单位：），但因气候、施肥和技术的不同，每年的和都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.（1）用频率分布直方图估计样本的平均数近似代替，标准差近似代替，已知.根据以往经验，把果径与的差的绝对值在内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20颗果，请问这20颗果恰好有一颗不是“标准果”的概率.（结果精确到0.01）（2）随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款“9A20”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20颗，售价80元，客户在收到货时如果有坏果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据：若采用A款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足：若采用B款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足 （m为常数）.请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得更大利润?参考数据：；；；；；.21.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为4.（1）求；（2）若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值.22.（本小题满分12分）已知，函数，记为的从小到大的第个极值点.证明：（1）数列是等比数列；（2）若，则对一切，恒成立. 
长郡中学2023届高三月考试卷（七）数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CDACDCAC1.C  【解析】过程略.注：《名师导学•新高考第二轮总复习》.2.D  【解析】过程略.注：《名师导学•新高考第二轮总复习》.4.C  【解析】过程略.注：《名师导学•新高考第二轮总复习》.5.D  【解析】，故，，，，….故，，….从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；，，….从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列.故.故选D.注：《名师导学•新高考第二轮总复习》.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案CDABDACDACD9.CD  【解析】对于A，对数据排序得到1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，由，70%分位数是，A错误；对于B，由知，故B错误；对于C，因为，即，又，即，所以，故与独立，故C正确；对于D，由题设，对应正态曲线关于对称，所以，故D正确.故选CD.10.ABD  【解析】由题意得：，所以，，即，，又，所以时，，故.对A，当时，，由正弦函数图象知在上单调递减；对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，，，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或，，从而得：或，.所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即.故选ABD.注：《名师导学•新高考第二轮总复习》.11.ACD  【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入拋物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立拋物线方程得，设，则，则，代入拋物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选ACD.12.ACD  【解析】对于选项A：取，中点E，F，连接，，，，由且知是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面，公众号：数学北极星同理可得平面，∵，∴平面平面，则点的轨迹为线段，A选项正确；对于选项B：如图，建立空间直角坐标系，则，，，设，，，则，，.设为平面的一个法向量，则 即 得 取，则，若平面，则，即存在，使得，则，解得，故不存在点使得平面，B选项错误；对于选项C：的面积为定值，∴当且仅当到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大.，①若，则，故当时，有最大值1；②若.则，故当时，有最大值；综上，当，即和重合时，三棱锥的体积最大，C选项正确；对于选项D：平面，∴，，∴，Q点的轨迹是半径为，圆心角为的圆弧，轨迹长度为，D选项正确.故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.  【解析】过程略.注：《名师导学・新高考第二轮总复习》.14.    【解析】过程略.注：《名师导学・新高考第二轮总复习》.15.3  【解析】过程略.注：《名师导学・新高考第二轮总复习》.16.  【解析】因为有唯一的零点，为偶函数，则，可得，，数列为等差数列，所以，又因为，令，则为奇函数，因为，所以在上单调递增.由题意得，∵数列是公差不为0的等差数列，其中.则.假设，，∵∴，假设，同理可得，综上，.四、解答题：本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）因为.所以，……2分所以，……3分即，所以.……5分（2）因为，，由（1）得，由余弦定理可得，则，所以，……8分故，所以，所以的周长为.……10分18.【解析】（1）设的公比为，因为为，的等差中项，所以，，所以，又，所以.……4分（2）设的前项和为，，，，①，②……8分得，，∴.……12分19.【解析】（1）因为，E为的中点，所以；在和中，因为，，，所以，所以，又因为为的中点，所以；……3分又因为DE，平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面.……5分（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，所以，所以，当时，最小，即的面积最小.……6分因为，所以，又因为，所以是等边三角形，因为为的中点，所以，，因为，所以，在中，，所以.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，……8分则，，，所以，，设平面的一个法向量为，则取，则，又因为，，所以，所以，设与平面所成的角为，所以，所以与平面所成的角的正弦值为.……12分20.【解析】（1）.……2分所以.……3分所以恰好有一颗不是“标准果”的概率.……5分（2）由得，.……6分所以，，2，3.……7分采用款包装盒获得利润的数学期望为：……8分采用款包装盒获得利润的数学期望为：.……9分因为，，所以当时，，选择B款包装盒获得利润更大；……10分当时，，选择A，B款包装盒获得利润一样；……11分当时，，选择A款包装盒获得利润更大.……12分21.【解析】（1）抛物线的焦点为，，所以，与圆上点的距离的最小值为，解得.……4分（2）拋物线的方程为，即，对该函数求导得，设点，，，直线的方程为，即，即，同理可知，直线的方程为，由于点为这两条直线的公共点，则所以，点A，B的坐标满足方程，所以，直线的方程为.……7分联立可得，由韦达定理可得，，所以，，点到直线的距离为，所以，，∵，由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.……12分22.【解析】（1），其中，.令，由得，即，.对，若，即，则；若，即，则.因此，在区间与上的符号总相反.于是当时，取得极值，所以.此时，.易知，而是常数，故数列是首项为，公比为的等比数列.……5分（2）由（1）知，，于是对一切，恒成立，即恒成立，等价于（*）恒成立（因为），设，则.令得，当时，，所以在区间上单调递减；当时，，所以在区间上单调递增.从而当时，函数取得最小值.……8分因此，要使（*）式恒成立，只需，即只需.而当时，由且.于是，且当时，.因此对一切，，所以.故（*）式亦恒成立.综上所述，若，则对一切，恒成立.……12分