山西省大同市2022-2023学年高三下学2月月考（期阶段性模拟测试）数学试题（B卷）

这是一份山西省大同市2022-2023学年高三下学2月月考（期阶段性模拟测试）数学试题（B卷），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》

大同市高三年级阶段性模拟测试 B 卷答案解析
一、选择题：本题共 8 小题， 每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要 求的.
1.答案：B
解析： 由题意， 集合A = 恳x | _2 < x < 2} ，B = 恳x | x2 _ 1 > 0} = 恳x | x > 1或x 共 _1}，
所以CRB = 恳x | _1< x 4 ，当且仅当 a = b 时，等号成立，
因 a 才 b ，故 B 正确；
选项 C，如 a= 2 ，b = 3 ，c = -1, d = -2 时， ac = |\ 2 )| = 2 ，bd = |\3)| = 9 ，故 C 不正确；
1 1 ( 1 )-1 (1 )-2


1 1 1
选项 D，当a > 0 时， a + = (a +1)+ - 1 > 2 (a +1)根 = 2 - 1 = 1，此时a = 0 或a = -2 ，与
a+1 a+1 a +1
a > 0 矛盾，故 D 不正确.故选 AB.
10. 答案： ABD
解析： 当且仅当 A与B 相互独立时， P (AB) = P (A)P (B) 成立，故 A 不正确；
当 B 和 C 是两个互斥事件时P(B C | A) = P (B | A)+P(C | A)才成立， 故 B 不正确；
P (A A) = 1 ，故 C 正确；P (A B) = > P(AB) ，故 D 不正确.故选 ABD.
11. 答案： BD
解析： 由an + an+1 = 2根(-1)n ，得 - = -2 ，所以数列〈卜是等差数列，
所以 = + (n - 5)(-2) ，即 an = (2n - 9) 根 (-1)n+1

对于 A，a1 = (2〉1一 9)〉(一1)n+1 = 一7 ，故 A 不正确；
对于 B，∵ a2n一1 = 4n 一 11 ，故 B 正确；
对于 C，|an | = |2n 一 9| ，则|a3 | = 3 ，|a4 | = |a5 | = 1 ，所以{| an |} 不是等差数列，故 C 不正确；
1 1 1「 1 1 ]
an an+1 [(2n 一 9)〉(一1)n+ ]〉[(2n 一 7)〉(一1)n+ ] 2 L2n 一 9 2n 一 7 」
对于 D， = 1 2 = 一 | 一 |

所以〈卜的前 n 项和 Sn = 一 一17 一 一15 + 一15一 一13+ . . . + 2n1一 9一 2n1一 = 14nn一
故 D 正确.故选 BD.
12. 答案： AC

x2 +1
|x|
解析： f (x) = lg ( x =R ， x 丰 0 ) 的定义域为 (一w, 0) (0,+w )，关于原点对称，且满足

f (一x) = f (x) ，所以函数f (x) 是偶函数，其图象关于y 轴对称，故 A 正确；
当x > 0 时， f (x) = lg = lg(x + ) ，由y = x + 的性质可知其在(0,1] 上是减函数， 在
x2 +1 1 1
|x| x x

[1, +w) 上是增函数，所以由复合函数单调性可知，f (x) 在(0,1] 上是减函数，在
[1, +w) 上是增函数。又 f (x) 是偶函数，图像关于y 轴对称， 故 B 不正确；
当x > 0 时， x + > 2 (当且仅当x = 1时取等号) ，又 f (x) 是偶函数，所以函数f (x) 的最
小值是lg 2 ，故 C 正确；

由函数定义可得，函数f (x) 与 x = 2 不可能有四个交点，故 D 不正确．故选 AC．

三、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分， 共 20 分。
13.答案: 一10
解析:二项式 一 5 的展开式的通项公式为Tk+1 = C . ( )5一k 一 k = C . (一2)k x 5k ，
令 5 一23k = 1 ，求得k = 1，所以T2 = C . ( )4 一 1 = 一10x ，所以可得展开式中x 项的系数为
一10 ，故答案为一10 ．

解析： AD . AC = (AB + BD) . AC = (AB+ BC) . AC = AB . AC + BC . AC

=| AB | . | AC | cos A+ 1 | BC | . | AC | cos C = 3 . 3 . 1 + 1 . 3 . 3 . 1 = 6 。
3 2 3 2
15.答案： 2
解析： 由题意知P 的纵坐标为2 ，代入y2 = 8x 可得P(3, 2 )，由抛物线的性质可得反射光线PQ 经过抛物线y2 = 8x 的焦点F(2,0)，故直线PQ 的斜率k = 一 = 2 .
16.答案： 24几
解析： 四棱锥P 一 ABC 的四个面都是直角三角形，
∵ AB = BC = 2 ， ∴ AB 」BC ，又PA 」BC ，所以BC 」面PAB
∴ BC 」PB ，所以取 PC 中点O，则 O 是P 一 ABC 外接球球心．
由 AB = BC = 2得 AC = 2 ，又 PA = 4 ，则 PC = = 2 ， OP = ， 所以球表面积为S = 4几(OP)2 = 4几人( )2 = 24几 ．
四、解答题：本题共 6 小题， 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (10 分)
解：⑴ f (x) = sin 2Ox + 3 cos2Ox = 2sin(2Ox + ) ，
T = 2 人 = 几 ， T = = ，所以O = 1 …………5 分
⑵ f (x) = 2sin(2x + ) ， 由f (a) = 得sin(2议+ ) = ，
几 几 几 几 几 几 1
cos(2议 一 ) = cos[(2议 + ) 一 ] = cos[ 一 (2议 + )] = sin(2议 + ) = ，
6 3 2 2 3 3 3
即 cos(2议 一 几) = 1 …………10 分
6 3
18. (12 分)

(a + 3d = 7
la1 + 9d = 19
解：(1) 设等差数列恳an } 的首项为a1 ，公差为d ，则〈 1 ，解得 a1 = 1 ，d = 2 ，

an = 1+ 2 (n 一 1) = 2n 一 1 ， …………6 分
(2) bn = 2n an = 2n (2n 一 1)

Tn = b1 + b2 + b3 + + bn_1 + bn
= 21 根1+ 22 根3+ 23 根5 + + 2n_1 根 (2n _ 3)+ 2n 根 (2n _ 1)
2 =22 根1+ 23 根3+ 24 根5 +L + 2n 根(2n _ 3)+ 2n+1 根 (2n _ 1)
_ =21 根1+ 22 根2 + 23 根2 +L + 2n 根2 _ 2n+1 根 (2n _ 1)
_ =2 + 2 22 + 23 +L + 2n _ 2n+1 根 (2n _ 1)
=2n+2 _ 6 _ 2n+1 根 (2n _ 1)
T =2n+1 根(2n _ 1)_ 2n+2 + 6 = 2n+1 (2n _ 3)+ 6 …………12 分
19. (12 分)
解：(1)证明： 取BD中点O ，连接PO, AO ,
因为PB = PD , O 为BD中点， 所以PO 」BD,在编BCD 、编ABD中，



因为BD = 2 ,三DAB = 三BCD = 900 , 三CDB = 300 ,
三ADB = 450 ，所以 AO = DO = 1 ,所以在编PDO中， 又PA = 2 ,所以编PAO为直角三角形， 所以PO 」AO 又 AOn DO = O ，所以PO 」面ABCD ，
又PO 仁面PBD，所以面PBD」面 ABCD。


PO =
P


D

O

B
3 ，
C

A

…………6 分


(2)由于编ABD为等腰直角三角形，O 为斜边BD的中点，所以OA 」OB，由(1)知 PO 」面ABCD ，
A(1,0,0),D(0,_ 1,0),B(0,10 ) ,C 0))||
全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》
所以建立如图所示的坐标系，则P(0,0, 3)，
所以PA = (1,0,_ 3),PD = (0,_1,_ 3),
P
PB = (0,1,_ 3),PC = 3))||
D

C
B
A
设平面PAD与平面PBC 的法向量分别为
m = (x1 , y1 , z1 ) ， n = (x2 , y2 , z2 )
由〈|(PA . m = 0 和〈|(PB . n = 0 得〈(|x1 _ z1 = 0 和〈
|lPD . m = 0 |lPC . n = 0 |l_y1 _ z1 = 0 |l_ 2 x2 + 2 y2 _ 2 = 0

…………4 分
令y1 = ，z2 = 3 ，则m = ( , , 1) ，n = ( ,3, )，设法向量m ，n所成角为 ，



则cos = = ，
所以平面PAD与平面PBC 所成角的余弦值为 .





…………12 分

20. (12 分)
解： (1)由题图知,所抽取的 20 人中得分落在[0,20]内的人数有 0.0050×20×20=2,得分落在(20,40]
内的人数有 0.0075×20×20=3. …………6 分
(2)由题意可知,X 的可能取值为 0,1,2,
P (X = 0) = = , P (X = 1) = = , P (X = 2) = =

所以X 的分布列为

X
0
1
2
P
1
10
3
5
3
10


1 3 3 6
10 5 10 5
…………12 分
所以E(X) = 0 +1 + 2 =
21. (12 分)
解： (1)由得
直线是抛物线的一条切线。所以
所以椭圆

(2)当直线L与x 轴平行时， 以AB 为直径的圆方程为
当直线L与y 轴重合时， 以AB 为直径的圆方程为

所以两圆的交点为点(0,1)猜想：所求的点T 为点(0,1) .
证明如下。当直线L与x 轴垂直时， 以AB 为直径的圆过点(0，1)
当直线L与x 轴不垂直时，可设直线L为：

由
得
设
则


所以，即以 AB为直径的圆过点(0,1)
所以存在一个定点T，使得以 AB为直径的圆恒过定点T . …………12 分
22. (12 分)
解： (1) 因为f (x) = a (x +1)ln x + 2x ，x =(0, +w) ，所以f ，(x) = a ln x + + 2 ，
(1 ) ( 1 )
所以f ，|\e )| = _a + ae |\e +1)| + 2 = ae + 2 = e + 2 ，解得a = 1 ，
所以f ，(x ) = ln x + x +1+ 2 = ln x + 1 + 3 ，
x x
x x x x
令h (x) = ln x+ 1 + 3(x > 0) ，则h，(x) = 1 _ = ，
当0 < x 共1时， h，(x) 共 0 ，h (x) = ln x+ + 3 单调递减，
当x >1 时， h，(x) > 0 ，h (x) = ln x+ + 3 单调递增，
所以h (x)min = h (1) = 4 > 0 ，所以 f ，(x)> 0 ，
…………4 分
所以函数f (x) 在区间(0, +w)恒单调递增.
(2) 令g (x) = f (x) _ (ex_1 + 2a ln x + x) = a (x _ 1)ln x + x _ ex_1 (x >1)，
f (x)共 ex_1 + 2a ln x + x 恒成立即函数g (x)max 共 0 恒成立，
又g，(x ) = a ln x + +1_ ex_1 (x >1) ，
令m (x) = a ln x + +1_ ex_1 (x >1) ，则m＇(x) = a + _ ex_1 (x >1) ，
① 当a 共 0时， m＇(x) < 0 ，函数m (x) = g，(x)在[1, +w) 上为减函数，
又g，(x)共 g，(1) = 0 ，所以函数g (x)在[1, +w) 上为减函数，
又g (x) 共 g (1) = 0 ，
所以a 共 0 时， f (x)共 ex_1 + 2a ln x + x 在区间[1，+w) 恒成立；
② 当0 < a 共 时， 令p (x) = m＇(x)=a + _ ex_1 ，则 p，(x) = _a + _ ex_1 ，

因为a > 0 ，所以 p,(x) = _a + _ ex_1 < 0，
故函数m＇(x ) 在[1, +w) 上单调递减，又m＇(x)共 m＇(1) = 2a _ 1共 0 ，
所以g,(x ) = a lnx + +1_ ex_1 (x >1) 单调递减， 且g,(x) 共 g,(1) = 0 ，
所以函数g (x)在[1, +w) 上为减函数， 又g (x)共 g (1) = 0 ，
所以0 < a 共 时， f (x)共 ex_1 + 2a ln x + x 在区间[1，+w) 恒成立；
③ 当a > 时， 构造函数q (x) = ex_1 _ x ，其中x eR ，因为q＇(x) = ex_1 _ 1， 当x 1 时，q, (x) > 0 ，此时函数q (x) 单调递增，所以q (x) > q (1) = 0 ，即 ex_1 > x ，
\ x x ) \ x x )
所以m＇(4a) 共 a 1 + _ 4a = 1 + 1 _ 4a < 1 + 1 _ 2 < 0 ，
所以m＇(x) = a 1 + _ ex_1 共 a 1 + _ x ，

\4a 16a ) 4 16a 4 8
又m＇(1) = 2a _ 1 > 0
所以存在x0 e(1, 4a) 使得m＇(x0 ) = 0 ，
即当1 < x < x0 时， m＇(x) > 0 ，此时函数m (x) = g,(x)在(1, x0 ) 上单调递增， 又g,(x) > g,(1) = 0 ，所以函数g (x)在(1, x0 ) 上单调递增，
又g (x) > g (1) = 0 ，不合乎题意.
( 1 ]
综上所述， 实数a 的取值范围是|\_w, 2」| .

…………12 分